突破數學概念的教學“瓶頸”

謝小寧

摘要：數學概念的教學是技校數學課中必不可少的一部分。針對數學概念的重要性，本文通過對概念教學的分析，結合具體的教學案例，提出在加強數學概念的形成過程進行教學，注重學生對概念實質的理解和運用，避免過度抽象和形式化，從而有效地突破數學概念的教學“瓶頸”。

關鍵詞：數學概念形成過程運用

數學概念是用簡練的語言對研究對象的本質屬性進行高度的概括，是學生學習數學、接受新知識的基礎。準確而又徹底地理解和掌握數學課堂學習中的概念是學生學好數學的必備條件。

數學概念以抽象著稱，技校學生向來往往難以理解。中技數學教學應加強對基本概念和基本思想的理解掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿數學教學的始終。數學概念的教學要將概念的形成過程呈現給學生，在教師的指導下使學生的學習過程成為再創造的過程。那么如何將數學概念的教學變成學生可把握和操作的活動呢？筆者在具體的教學中從以下幾方面進行突破。

一、 注重探求概念的形成過程，避免結論直接呈現

在數學概念的教學中要強化學生對概念的“探求”過程：“情境 ——疑問——探求——結論——辨析——獲得”，學生在探求親身“經歷”概念的發展過程，拓展學生的思想方法和提升學生的創造力。對于情景的設置，教師可以先提供背景材料，讓學生在其中發現和提出問題，材料既要符合學生已有的經驗，又要隱含構建新概念的問題情景，隱含新概念所描述事物的本質。也可以直接由教師提出問題。解決問題的探求過程可以是開放的，讓學生大膽假設和猜想，合作交流，教師注意把握方向，及時引導學生朝著揭示概念的本質特征的方向上來。讓學生認識到提出新概念的必要性和合理性，并在此基礎上歸納概括出概念的本質特征。

例如在等差數列概念的教學中，采用以下引入過程。

在現實生活中，經常遇到下面的特殊數列。

1、 我們經常這樣數數，從0開始，每隔5個數一次，可以得到數列：

0，，，15 ，，……

2、水庫的管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚，如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5 m，那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數列（單位：m）：

18，，，10.5，，5.5.

問題：上面的數列有什么共同特點？你能用數學語言（符號）描述這些特點嗎？

讓學生通過親身體驗各個數列中項的形成，得到規律，發現2個數列有一個共同特點：從第二項起后一項減去前一項的差值是一個常數，從而得到概念，經歷了一個數學發現和創造的過程。

二、注重概念的人文價值，避免內容缺失文化

數學是人類文化的重要組成部分，有它自己的文化淵源。在數學概念的教學中應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神。在概念教學中，教師要善于挖掘素材和創設氛圍，滲透數學的人文價值于數學概念的教學中。例如在復數概念教學中，可以先閱讀以下文字：

數的概念是從實踐中產生和發展起來的。早在人類社會初期，人們在狩獵、采集果實等勞動中奧，由于計數的需要，就產生了1，2，3，4等數以及表示“沒有”的數0，自然數的全體構成自然數集N。隨著生產和科學的發展，數的概念也得到了發展。

為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足計數的需要，人們又引入了負數，這樣就把數集擴充到了有理數集Q，顯然NQ.如果把自然數集（含正整數和0）與負整數集合并在一起，構成整數集Z，則有ZQ、NZ。如果把整數看作分母為1的分數，那么有理數集實際上就是分數集。

有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數表示，為了解決這個矛盾，人們引入了無理數。所謂無理數，就是無限不循環小數。有理數集與無理數集合并在一起，構成實數集R。因為有理數都可看作循環小數（包括整數和有限小數），無理數都是無限不循環小數，所以實數集實際上就是小數集。

然后教師總結：數集因生產和科學發展的需要而逐步擴充，數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，分數解決了在整數集中不能整除的矛盾，無理數解決了開方開不盡的矛盾。但是數集擴充到實數集R以后，像x2=1這樣的方程還是無解，因為沒有一個實數的平方等于-1。由于解方程的需要，人們引入了一個新數虛數單位，于是引入復數的概念。

這樣既能讓學生了解數的發展過程，又培養了學生嚴密的邏輯思維能力。

三、注重區別類似概念，注意相互的聯系

數學概念不是孤立的，具有很強的系統性。在數學概念系統中存在著縱橫兩種關系：縱關系多表現從屬關系，引導學生進行系統歸納，明確概念的聯系與區別；橫關系多表現為并列關系，可利用原有概念的正遷移作用，理解新概念，著重區別概念之間差異。例如，立體幾何中直線與平面的垂直概念多次出現，可在小結課上啟發學生從不同于課本知識的順序進行歸納，發展學生的求異思維。

垂直有： 相交垂直線線垂直線面垂直面面垂直

從而使學生理解每種垂直概念的聯系與區別。各類垂直之間的從屬關系，類似地對平行概念、距離概念進行歸納小結。再如，對數概念比較抽象，在引入概念時先復習：在等式ab=N中，已知a、b求是乘方運算；已知b、N求a是開方運算；再指出：已知a、N求b就是對數運算。所以對數概念也同乘方、開方概念一樣，在a、N、b三數中已知兩數求第三數的問題，不同之處是已知兩數的不同，對數是已知的底數和冪。開方數是用符號bN表示；對數是用符號log表示。對這些近似并列的概念進行類比，分析異同點。這樣分析消除了學生對對數概念的陌生感，拉近了認知對數函數的距離，從而達到準確把握概念的內涵，促進新概念的理解、原有概念的鞏固。

四、注重融合概念的運用，避免知識脫離實際

數學概念是對空間形式和數量關系的反映，數學概念來源于現實，并服務于現實。因此，數學概念教學也要聯系實際，并大力加強和數學應用的聯系。數學概念教學應提供概念在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力。應用問題要來源于生活，貼近生活，注重學生的親身實踐，注重符合學生認知水平，在應用的基礎上建立概念模型。例如：在函數概念教學中，首先引入以下實例：

（1）一枚炮彈發射后，經過60s落到地面擊中目標。炮彈的射高為4410m，且炮彈的射距離地面的高度h隨時間t的變化規律是

（2）國際上常用恩格爾系數反映一個國家人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高。下表中恩格爾系數隨時間（年）變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城鎮居民的生活質量發生了顯著變化。

時間

（年）1199111992119931199411995119961199711998119991200012001恩格爾

系（%）153.8152.9150.1149.9149.9148.6146.4144.5141.9139.2137.9問題；分析以上兩個實例，對任一個給定的t，射高、恩格爾系數是否有值與之對應？若有，有幾個？在學生充分分析和討論的基礎上，總結歸納以上兩個實例的共同特點，從而建立變量之間的對應關系，得出函數概念的本質特征，充分體現了數學從實踐中來。

總之，數學概念教學對整個數學教學起著至關重要的作用，教師在數學的概念教學中應努力通過揭示概念的形成、發展、鞏固和應用的過程，培養學生的辯證唯物主義觀念。完善學生的認知結構，發展學生的思維能力，從而提高數學教學質量。

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