淺談用分類與整合的思想解高考數學題

2014-07-04 00:10:45羅海軍

課程教育研究·下 2014年5期

羅海軍

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2014）5-0243-02

考試說明明確指出高考試題在全面考查"基礎知識、基本技能、基本方法"的基礎上，更突出數學思想方法的考查，突出數學與現實生活的聯系。高考主要考查以下七個基本數學思想方法：函數與方程的基本數學思想（通過函數題）、數形結合的基本數學思想（通過函數題，解析幾何綜合題，構造圖形等）、分類與整合的基本數學思想（通過綜合題，排列組合題，參數討論題）、化歸與轉化的基本數學思想（通過綜合題）、特殊與一般的基本數學思想（通過綜合題）、有限與無限的基本數學思想（通過極限、微積分函數題）、或然與必然的基本數學思想（通過概率、統計題）。本文將結合高考試題探討一下用分類與整合的思想解高考數學題。

一、什么是分類與整合的思想

分類與整合就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得出整個問題的解答。分類與整合就是"化整為零，各個擊破，再積零為整"的數學思想。

二、數學題目怎么體現分類與整合的思想

參數廣泛地存在于中學數學的各類問題中，也是近幾年來高考重點考查的熱點問題之一。以命題的條件和結論的結構為標準，含參數的問題可分為兩種類型：一種類型的問題是根據參數在允許值范圍內的不同取值（或取值范圍），去探求命題可能出現的結果，然后歸納出命題的結論；另一種類型的問題是給定命題的結論去探求參數的取值范圍或參數應滿足的條件。要處理好這類問題通常需要從以下幾方面入手：第一，科學合理地分類。科學的分類滿足兩個條件：條件一是保證分類不遺漏；條件二是保證分類不重復。在此基礎上根據問題的條件和性質，應盡可能減少分類。第二，確定分類標準。在確定討論的對象后，最困難是確定分類的標準，一般來講，分類標準的確定通常有三種：（1）根據數學概念來確定分類標準，例如：絕對值的定義是：a=a(a>0)

0(a=0)

-a(a<0)。（2）根據數學中的定理、公式和性質確定分類標準。數學中的某些公式、定理、性質在不同條件下有不同的結論，在運用它們時，就要分類討論，分類的依據是公式中的條件。（3）根據運算的需要確定分類標準。

三、高考題中體現分類與整合的思想

題型一：（2013年全國卷）選修4-5：不等式選講

已知函數f(x)=2x-1+2x+a,g(x)=x+3。（Ⅰ）當a=2時，求不等式f(x)-1,且當x∈（-, )時，f(x)≤g(x),求a的取值范圍。

評析：本題主要考查含絕對值不等式解法。利用絕對值的定義是：a=a(a>0)

0(a=0)

-a(a<0)

進行分類討論。顯然當a=-2時，不等式f(x)

-5x,x<

-x-2,≤x≤1'

3x-6,x>1

畫出圖像可知，當且僅當x∈(0,2)時，y<0，∴原不等式解集是x|0

題型二：（2010年四川高考題文科20）已知等差數列{an}的前3項和為6,前8項和為-4。（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn=(4-an)qn-1(q≠0，n∈N*)，求數列{bn}的前n項和Sn。

（Ⅰ）設{an}的公差為d，由已知得3a1+3d=6

8a1+28d=-4。解得a1=3,d=-1，故an=3-(n-1) =4-n

（Ⅱ）由(Ⅰ)的解答可得bn=n·qn-1，于是Sn=1·q0+2·q1+3·q2+…+(n-1) ·qn-2+n·qn-1，當q≠1時，上式兩邊同乘以q可得qSn=1·q1+2·q2+3·q3+…+(n-1)qn-1+n·qn ，上述兩式相減可得(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-…-qn-1=nqn-=

所以Sn=，當q=1時Sn=1+2+3+…+n=。

綜上所述， Sn=

,q=1

,(q≠1)

評析：本題主要考查等比數列前n項和公式中的分類討論思想。公式