虛擬振動試驗系統(tǒng)開發(fā)

張子標，胡于進

（華中科技大學機械科學與工程學院，湖北 武漢430074）

0 引言

實物振動試驗是了解機電產(chǎn)品整體性能的主要手段之一，對機電產(chǎn)品進行振動試驗可以檢測其動態(tài)性能，及時發(fā)現(xiàn)問題并對其加以改進。但限于試驗條件，振動試驗往往不能全面掌握產(chǎn)品的振動特性，而且可能存在欠試驗或過試驗問題。因此，基于仿真技術的虛擬振動試驗，已成為減少實物振動試驗乃至彌補實物振動試驗的重要發(fā)展方向。

在此，基于振動分析的基本原理，在已有的軟件架構上［1－2］開發(fā)了虛擬振動試驗系統(tǒng)，并進行了仿真分析。

1 虛擬振動試驗關鍵算法研究

對于多自由度系統(tǒng)，其動力學方程為：

對其有時域法和頻域法2種求解方式。頻域法求出系統(tǒng)的頻響函數(shù)，通過傅里葉正、逆變換得到系統(tǒng)的響應信息。時域法包括模態(tài)法和直接積分法，直接積分法直接對系統(tǒng)動力學方程進行求解，常用的有中央差分法、Wilson－θ法、精細積分法和Newmark法；模態(tài)法，經(jīng)過模態(tài)坐標轉換將物理坐標轉換到模態(tài)坐標下求解，再經(jīng)過模態(tài)坐標轉換求解系統(tǒng)響應，該法可以在保證精度前提下利用低階模態(tài)信息，縮減求解的規(guī)模。虛擬振動試驗系統(tǒng)振動分析模塊，采用模態(tài)法求解結構時域振動信息。

對系統(tǒng)作用不同的激勵，對應不同的振動問題，其中，比較典型的有沖擊問題和隨機振動問題，相應的有不同的分析方法。

在沖擊問題中常用的分析方法是沖擊響應譜分析［3－4］。在沖擊作用下，結構響應的最大峰值與自然頻率的關系，稱為沖擊響應譜。目前，沖擊響應譜計算主要基于單自由度彈簧阻尼系統(tǒng)。沖擊響應譜常用的分析方法有遞歸數(shù)字濾波法、改進遞歸數(shù)字濾波法、樣條函數(shù)法和Runge－Kutta法，其中，改進遞歸數(shù)字濾波法因其計算精度高、效率快和易于實現(xiàn)，得到廣泛的應用。記輸入信號采樣值為Ui，可以得到基于斜臺不變模型的改進遞歸數(shù)字濾波法遞歸計算公式為：

在低頻響應計算時，采樣率過高而相應的采樣精度不夠，會引起的計算結果誤差過大，對上式進行適當變形可以很好地解決這個問題。由于低頻時P0，P1，P2→0，q1→2，q2→－1，對式（2）變形可得：

從而避免了低頻計算時有舍入誤差引起的問題。

結構在隨機激勵作用下，將發(fā)生隨機振動，研究某個時域內的隨機響應信息是沒有意義的，故而直接研究響應的統(tǒng)計信息。隨機振動［5－6］常用的統(tǒng)計信息有：功率譜密度、相關函數(shù)和概率密度等。其中，功率譜密度與相關函數(shù)互為傅里葉變換對，即

對于n自由度線性系統(tǒng)，記激勵功率譜密度矩陣為［Sxx］，響應功率譜密度矩陣為［Syy］，則系統(tǒng)的功率譜計算公式為：

計算得到系統(tǒng)響應的功率譜密度函數(shù)后，通過傅里葉逆變換可以得到響應間相關函數(shù)矩陣，進而可以求解響應的相干系數(shù)、相位差以及其他統(tǒng)計信息，對結構在該隨機環(huán)境下隨機響應信息加以掌握。

2 虛擬振動試驗系統(tǒng)基本架構

虛擬振動試驗系統(tǒng)，以Visual Studio2005為開發(fā)工具，調用Intel MKL庫、HOOPS函數(shù)庫，實現(xiàn)模型、結果顯示以及振動分析關鍵算法的求解。

在系統(tǒng)中，通過定義連接關系，將若干完成匹配的子結構裝配成整體。連接關系包括彈性連接和剛性連接，子結構分為理論子結構和試驗子結構。經(jīng)過文件預處理轉化為＊．tst文件和＊．tre文件。完成模型的組裝后，定義載荷信息，即可完成相應的振動分析，系統(tǒng)集成了常見的振動激勵方式，包括正弦激勵、正弦掃頻激勵、周期性方波激勵、周期性三角波激勵、沖擊激勵和隨機激勵等。

2．1 虛擬振動試驗系統(tǒng)功能模塊

系統(tǒng)功能模塊流程如圖1所示。在完成結構定義組裝后，施加載荷即可完成對應的振動分析。若為沖擊載荷，對應的是沖擊問題，可以進行沖擊響應譜分析；若為隨機載荷，對應的是隨機振動問題，可以進行隨機振動分析；若為一般的載荷信息，對應的是時域振動分析問題，可以進行振動求解。

2．1．1 輸入模塊

輸入模塊包括子結構定義、模型匹配、連接關系、定義和激勵點載荷定義等幾部分，完成子結構的組裝以及載荷添加。

載荷添加除了集成常見的載荷信息，還提供數(shù)據(jù)接口，讀取用戶自定義載荷信息，同時可以實現(xiàn)載荷時域、頻域間的轉換。

2．1．2 預處理模塊

預處理是指對載荷、結構模態(tài)和頻響數(shù)據(jù)等信息進行處理，為之后的求解模塊做準備。

圖1 虛擬振動試驗系統(tǒng)功能模塊流程

振動分析的預處理：載荷的組裝調整，包括離散載荷信息步長、時長調整，頻域載荷信息與頻響函數(shù)的匹配，載荷順序的調整；模態(tài)信息的組裝，提取有效的模態(tài)數(shù)據(jù)。

沖擊響應譜分析的預處理：結構模態(tài)信息的處理，調整模態(tài)頻率、阻尼參數(shù)；分析參數(shù)的求解，包括分析頻段的設置與計算。

隨機振動分析的預處理包括結構頻響矩陣的組裝，載荷功率譜矩陣的組裝，同時保證頻響矩陣與載荷功率譜矩陣中元素對應的節(jié)點自由度一致。

2．1．3 求解模塊

振動分析核心計算部分，主要包括模態(tài)法振動分析相關算法、沖擊分析的遞歸數(shù)字濾波法以及隨機振動功率譜計算算法。求解中涉及的矩陣、向量間運算調用Intel MKL庫編寫，可以顯著地提升計算效率。

模態(tài)法振動分析：模態(tài)坐標轉換；模態(tài)特性方程時域求解；模態(tài)響應到物理響應的轉換。

沖擊響應譜分析：每階分析頻率對應單自由度系統(tǒng)沖擊響應計算；沖擊響應譜組裝。

隨機振動分析：頻響數(shù)據(jù)計算處理；功率譜計算；各響應點隨機響應信息。

2．1．4 后處理模塊

后處理模塊用于實現(xiàn)振動分析結果的可視化與文本輸出，顯示部分基于MFC提供的顯示類以及HOOPS相關函數(shù)編寫。其中，振動分析部分，有分析結果的時域曲線圖繪制、文本輸出要求；沖擊響應譜分析部分，有繪制沖擊作用下結構的沖擊響應譜曲線的要求；隨機振動分析部分，有繪制響應點自功率譜、互功率譜密度函數(shù)曲線，按節(jié)點自由度導出功率譜數(shù)據(jù)文件的要求。

2．2 虛擬振動試驗系統(tǒng)關鍵算法設計

2．2．1 時域振動分析算法設計

采用模態(tài)分析法求解結構的振動響應，對算法進行適當優(yōu)化——模態(tài)矩陣的選擇和脈沖響應函數(shù)法求解公式的變形，可以顯著地提升運算效率。

a．模態(tài)陣型的選擇。模態(tài)法求解時，將系統(tǒng)動力學方程由物理坐標轉換成模態(tài)坐標，對應的模態(tài)載荷為［Φ］T｛f｝，而某些節(jié)點自由度上施加載荷，若采用全部模態(tài)坐標求解模態(tài)載荷，會導致無意義運算的產(chǎn)生，故只選擇定義載荷自由度對應的模態(tài)陣型r，對應的模態(tài)載荷為；在完成模態(tài)方程振動求解后，由｛x｝＝［Φ］｛q｝可以得到振動響應信息，由于關心的往往是某些自由度上振動響應信息，可以只選擇該自由度對應的模態(tài)陣型數(shù)據(jù)求解，簡化求解過程，即。

b．振動響應求解。模態(tài)法振動分析，采用脈沖響應函數(shù)法，積分部分采用數(shù)值積分，振動分析流程如圖2所示。

在振動分析中，將物理坐標轉換為模態(tài)坐標，分別求解每階模態(tài)振動方程響應信息，然后計算響應點振動響應結果。求解模態(tài)振動方程時，先計算各模態(tài)力作用下響應結果，根據(jù)線性系統(tǒng)振動可疊加原理求得模態(tài)振動響應，即

如果直接對上式進行數(shù)值積分，對于每個時間點ti，求解該時刻的響應信息，都要從初始時刻進行數(shù)值分析，對其進行適當?shù)母倪M，可以變成如下形式：

圖2 振動分析流程

而積分項可以寫成如下形式：

可以看出，若將整個求解時長劃分為N個時間段，只考慮積分部分，采用未變形的式子求解需要N×（N－1）／2次數(shù)值積分，而采用變形后的式子則需要2 N次數(shù)值積分，效率得到很大的提升。

2．2．2 沖擊響應譜分析算法設計

沖擊響應譜采用改進遞歸數(shù)字濾波法求解，其計算流程如圖3所示。

圖3 沖擊響應譜計算流程

在結構沖擊響應譜分析中，根據(jù)給定的沖擊響應譜分析頻率范圍和給定的倍頻程信息，確定頻率點的個數(shù)和頻率信息，每個頻率點的阻尼比按照該頻段結構模態(tài)參數(shù)設置，若在某個頻段范圍內存在多個結構模態(tài)，則要改變該頻段倍頻程，保證每個頻段內至多包含1個模態(tài)信息。對應每階頻率，分別采用改進的遞歸數(shù)字濾波法求解沖擊作用下單自由度系統(tǒng)絕對加速度響應，為了保證計算的精度和效率，設置下限頻率f1，當頻率小于下限頻率時，采用變形后的數(shù)字濾波法求解，當頻率大于下限頻率時，采用改進的數(shù)字濾波法求解。最后分別求出每個頻率點響應的最大值，組成該沖擊信號的沖擊響應譜。

2．2．3 隨機振動分析算法設計

結構隨機振動分析的關鍵是得到結構在隨機載荷作用下響應功率譜信息，系統(tǒng)隨機振動求解部分采用隨機振動基本計算公式，即式（5），隨機振動分析流程如圖4所示。

圖4 隨機振動功率譜密度求解流程

由圖4可以看出，預處理部分組裝完隨機載荷的功率譜矩陣信息后，在設定的頻率范圍內按照隨機振動功率譜計算公式求解結構響應的功率譜密度信息。隨機振動功率譜計算的關鍵是得到結構的頻響函數(shù)信息，可以基于參考文獻［1］的頻響函數(shù)混合建模部分的研究進行分析。

3 虛擬振動系統(tǒng)分析功能驗證

以LMS Virtual．Lab提供的整車相關模型文件數(shù)據(jù)為例，說明系統(tǒng)的具體應用。模型文件包括整車車身線框模型carbody．unv文件，前車身支架有限元模型frontscadle．bdf文件和后車身支架有限元rearscadle．bdf文件。計算得到前車身支架、后車身支架的模態(tài)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)文件通過系統(tǒng)提供的數(shù)據(jù)轉化接口進行轉換，可以分別得到試驗模型數(shù)據(jù)和有限元模型數(shù)據(jù)，將模型導入系統(tǒng)中，完成模型的組裝。

模型間匹配關系、連接屬性定義如表1所示。

表1 模型匹配、連接關系定義

以前車身支架上節(jié)點2005009為激勵點，車身后支架上節(jié)點2255958、車身上節(jié)點359064和459064為響應點，施加隨機激勵。這里只考慮自譜信息，研究車身模型低頻段隨機響應。分析頻率范圍為1～100 Hz，在該頻段隨機激勵的自功率譜設置為2 N2，用系統(tǒng)計算模型的隨機響應。這里只討論節(jié)點359064和459064垂直方向隨機振動響應的自功率譜和互功率譜。系統(tǒng)計算結果與LMS Virtual．Lab分析結果的對比如下所述。

a．節(jié)點359064自由度Z方向自功率譜密度：系統(tǒng)分析結果實部部分在43．0 Hz處取得最大值，為0．055 m2／s4，與LMS Virtual．Lab結果一致，其他頻率點自功率譜變化趨勢一致。

b．節(jié)點459064自由度Z方向自功率譜密度：系統(tǒng)分析結果實部部分在43．0 Hz，58．0 Hz處取得 極 值 點，分 別 為 0．065 m2／s4和 0．033 m2／s4，LMS Virtual．Lab在2處頻率點的響應幅值分別為0．065 m2／s4和0．032 5 m2／s4，也為極值點，其他頻率點自功率譜變化趨勢一致。

c．節(jié)點359064和459064自由度Z方向互功率譜密度：系統(tǒng)分析結果實部部分在43．0 Hz處取得最大值，為0．067 m2／s4，LMS Virtual．Lab在該頻率也取最大值，為0．065 m2／s4，其他頻率點自功率譜變化趨勢一致。

通過對比可以看出，虛擬振動試驗系統(tǒng)分析結果與LMS Virtual．Lab分析結果十分吻合，具有較高的計算精度，可以實現(xiàn)結構振動分析的相關功能。

4 結束語

討論了常見的振動分析基本原理，介紹了隨機振動、沖擊響應譜分析相關問題，開發(fā)了虛擬振動系統(tǒng)軟件，可以實現(xiàn)常見的振動分析。通過具體的分析示例可以看出，本軟件可以完成振動分析功能，并實現(xiàn)結果的可視化功能。

［1］ 王 威．基于頻響函數(shù)的子結構混合建模研究及實現(xiàn)［D］．武漢：華中科技大學，2012．

［2］ 陳澤天，王學林，胡于進．基于HOOPS的混合建模系統(tǒng)設計［J］．計算機與數(shù)字工程，2012，40（4），27－31．

［3］ Alexander J E．Shock response spectrum－a primer［J］．Sound and Vibration，2009，43（6）：6－14．

［4］ Botta F，Cerri G．Shock response spectrum in plates under impulse loads［J］．Journal of Sound and Vibration，2007，308（3／5）：563－578．

［5］ 林家浩．隨機振動的虛擬激勵法［M］．北京：科學出版社，2004．

［6］ Enrique de la Fuente．An efficient procedure to obtain exact solutions in random vibration analysis of linear structures［J］．Engineering Structures，2008，30（11）：2981－2990．