奇異雙調和方程無窮多解的存在性

戴 琛

(蘇州高等幼兒師范學校，江蘇蘇州 215008)

奇異雙調和方程無窮多解的存在性

戴 琛

(蘇州高等幼兒師范學校，江蘇蘇州 215008)

本文利用集中緊性原理和變分方程對奇異雙調和方程進行研究，通過截斷技術和分析技巧得到了該問題無窮多個解的存在性。

雙調和方程；集中緊性原理；變分方法

本文研究如下的奇異雙調和方程：

(1)

自從Briezis和Nirenberg所做的經典工作以后[1]，帶有臨界的橢圓方程被眾多學者所研究[2-4].當s=0時，文獻[2]研究了帶有臨界指數的橢圓方程非平凡解的存在性和多解性，但沒有給出解的性質；文獻[3]利用變分方法研究一類帶有奇異的臨界橢圓問題的無窮多解的存在性；文獻[4]研究帶有p-Laplacian算子方程多解的存在性.隨著對臨界問題研究的不斷深入，文獻[5]利用一種新的對稱山路引理獲得了無窮多解的存在性，并給出了這些解的性質.但是對于問題(1)的研究還沒有此類結果，為此本文將利用文獻[5]所建立的對稱山路引理獲得問題(1)無窮多個解的存在性，并給出解的性質.

問題(1)對應的變分泛函為

(2)

定理1 假設f(x,u)滿足下列條件：

(H1)f(x,u)∈C(Ω×R,R),f(x,-u)=-f(x,u)，對任意的u∈R；

則問題(1)有一列非平凡解{un}且un→0，n→∞.

注2 如果在定理1中沒有對稱性條件，可利用本文中的方法得到至少一個非平凡解的存在性.本文的主要難點在于兩個方面：第一個是嵌入失去緊性條件所帶來的困難，我們將利用集中緊性原理[7]來克服這個困難；第二，本文中的非線性項是強不定的，致使對稱的山路引理不能直接應用上去，為此我們將利用截斷的方法來克服這個困難.

注3 由條件(H1)和(H2)可知

(3)

(4)

為了證明定理，首先給出如下的緊性定理，該定理的證明可以利用集中緊性原理[7]證明.

設X是一個Banach空間，記∑={A?X{0}：A是閉的并且關于原點戲稱}.若A∈∑，定義虧格γ(A)為γ(A)=inf{m∈N,?φ∈C(A,Rm{0})，-φ(x)=φ(-x)}.如果對任意的m∈N不存在如上定義的φ，那么約定γ(A)=+∞.令∑k為X中所有的閉對稱子集A的全體，使得0?A并且∑k≥0.

下面對稱的山路引理來自于Kajikiya[5].

引理5 設E是一個無限維空間，I∈C1(E，R).如果下面的條件成立：

則有下面的(R1)或(R2)成立：

(R1)存在序列{uk}，使得I′(uk)=0，I(uk)<0，并且{uk}趨近于零.

為了得到無窮多個解的存在性，需要下面的一些引理.在定理1的假設下，利用Sobolev不等式可得I(u)≥A‖u‖2-B‖u‖2**(s)-λC，其中A，B，C是某些正的常數.

則令φ(u)=χ(‖u‖)，并考慮泛函I(u)的擾動為

(5)

引理6 設G(u)由式(5)所給.則

定理1的證明：

[1]H.Brezis,L.Nirenberg.Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical exponents[J]. Commun.Pure Appl.Math.，1983(34):437-477.

[2]J.G.Azorero,I.P.Alonso.Multiplicity of solutions for elliptic problems with critical exponent or with a nonsymmetric term[J].Trans.Am.Math.Soc.，1991(323):877-895.

[3]X.M.He,W.M.Zou.Infinitely many arbitrarily small solutions for sigular elliptic problems with critical Sobolev-Hardy exponents[J].Proc.Edinburgh Math.Society,2009(52):97-108.

[4]N.Ghoussoub,C.Yuan.Multiple solutions for quasi-linear PDEs involving the critical Sobolev and Hardy exponents[J].Trans.Am.Math.Soc.,2000(352):5703-5743.

[5]R.Kajikiya.A critical-point theorem related to the symmetric mountain-pass lemma and its applications to elliptic equations[J].J.Funct.Analysis,2005(225):352-370.

[6]P.H.Rabinowitz.Minimax methods in critical-point theory with applications to differential equations,CBME Regional Conference Series in Mathematics[M].American Mathematical Society, Providence,RI,1986.

[7]P.L.Lions.The concentration-compactness principle in the caculus of variation:the limit case[J].I,Rev.Mat. Ibero.,1985(1):45-120.

Existence of Infinitely Many Solutions for Biharmonic Equation with Singular Potential

DAI Chen

(Suzhou Higher Infant Normal School, Suzhou Jiangsu 215008, China)

In this paper, by using variational method and concentration-compactness principle, infinitely many solutions are obtained for a class of biharmonic equation with singular potential.

biharmonic equation; concentration-compactness principle; variational method

2014-08-20

戴 琛(1980- )，女，江蘇蘇州人，蘇州高等幼兒師范學校講師，從事應用數學研究。

O175

A

2095-7602(2014)06-0001-03