讓學生具備正確、迅速的運算求解能力

陳蓓璞

在使用高中新教材教學的過程中，不少教師感覺學生運算能力差，即便是數學基礎好的學生，其運算也常常出錯，這凸顯了對學生進行運算求解能力培養的緊迫性.

有的教師認為，實施新課程改革后，對運算能力的要求降低了，這在一定程度上削弱了學生的運算能力.讓我們一起回顧一下高考考試說明，看看高考對高中生的運算能力有什么要求.課改前，高考考試說明把運算能力列為四大能力之一，要求：“會根據概念、公式、法則進行數、式、方程的正確運算和變形；能分析條件、尋求與設計合理、簡捷的運算途徑；能根據要求對數據進行估計，并能進行近似計算.”新課程下的高考，提出五大能力和兩項意識的要求，即空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力和應用意識、創新意識.新課程高考考試說明指出：“運算求解能力是思維能力和運算技能的結合，是中學數學中要求培養的重要能力.運算包括對數字的計算、估算和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計算求解等.運算求解能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力.”以上敘述，就運算求解能力的意義、要求范疇、能力范圍做出了明確規定，同時就運算的合理性、準確性、熟練性、簡捷性提出了具體要求.

新課程高考關于運算求解能力的要求不是降低了，而是更具體、更具可操作性了.它不僅是其他數學能力的基礎，而且是思維能力的體現方式之一；不僅有精確運算，還有估算和近似計算；不僅有數的運算，還有式的分解、組合變形；不僅有代數運算，還有幾何量的計算.那么，怎樣讓學生具備正確、迅速的運算求解能力呢？筆者進行了以下思考，求教于方家.

一、厘清相關的概念、原理、法則是前提

在教學中，讓學生牢固掌握運算所需要的概念、性質、公式、法則、定理等，是進行數學運算的基礎.在講授新課時，應讓學生經歷由具體到抽象、由感性到理性的過程，自然地形成概念，導出公式、法則.弄清它們的來龍去脈，明確條件是什么？結論是什么？在什么范圍內使用？要透徹地闡明概念的本質屬性，揭示概念的內涵和外延；要深刻分析公式和法則的實質，揭示出帶規律性的東西.對于那些相關的概念和易混淆的公式、法則，可通過列表、圖示等方法進行對比，指出它們的聯系和區別，澄清容易產生混淆之處.同時，對公式、法則的使用方面，要做到“順用”、“逆用”、“變形用”，以便及時發現典型錯誤，并通過正反例題予以糾正.例如：

1.如圖，已知正六邊形P P P P P P ，下列向量的數量積中最大的是（ ）

A. · B. ·

C. · D. ·

分析：本題考查的是對向量數量積定義的理解， · =| || |cosθ，其中| |cosθ為b在 上的投影，顯然 在 上的投影最大.故選A.即使不清楚投影的概念，也可以算出正確答案，但過程較繁瑣.

2.已知f（x-1）的定義域為[1，2]，求f（2x）的定義域.

分析：本題考查的是函數圖像的變換.f（x-1）向右平移1個單位變換成f（x），f（x）的橫坐標縮短為原來的 ，變換成f（2x）.所以定義域由[1，2]變換成[2，3]，再變換成[1， ].如果不明白函數圖像變換的原理，也能解這種題目，但過程不過直觀，學生不易理解.

3.已知△ABC和點M滿足 + + =0，若存在實數m使得 + =m 成立，則m=（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：本題考查向量的加減運算，利用起點的轉換.因為 + + =0，所以- +（ - ）+（ - ）=0，即 + =3 ，故m=3.如果不領會向量的運算法則，則利用M為△ABC的重心，也能解出答案，但過程較復雜.

以上例子說明厘清相關概念、原理、法則的重要性，它可以幫助學生找到最佳的解題途徑，避免繁瑣的運算.通過批改作業、試卷發現問題，并通過類似上面的例子加深學生對正確應用數學概念、原理、法則解題的認識.

二、弄懂弄通算法、算理、算律是基礎

運算能力主要表現為：對“算理”理解透徹，能根據問題的條件尋找并設計合理、有效的運算途徑，通過運算對問題進行推理和探求.其中算法、算理、算律是基礎，這些基礎不扎實，能力培養只能是空中樓閣.因此，我們必須在弄懂、弄通必要的算法、算理、算律上下工夫.比如，數學運算是有層次性的，應要求學生在運算上一步一個腳印地扎扎實實地練習，切不可輕視那些簡單的、低級的運算.又如，數學運算是有程序性的，即第一步做什么，第二步做什么，等等，有一定的規律可循.運算的程序反映了該運算的規律，如果不掌握這些規律去解題，就只能是胡猜亂碰.因此，教師要引導、幫助學生有意識地發現和總結這些帶規律性的東西，從而提高運算的成功率.在數的運算的學習中，重點應該放在提高運算能力上，即要懂“算理”，會設計合理的“算法”.“算理”所講的是各種基本運算的意義、法則、運算律、有關規則和一般步驟之“理”，是對為什么這樣規定、它有什么作用的解釋；“算法”是指“算”的途徑和方法，并且是可行的和有效的.所以在“運算”過程中，要重視講“理”，重視算法多樣化.此外，會按照一定的程序和步驟進行計算，是運算的技能要求，是學生需要掌握的基本技能之一，運算能力的培養離不開運算技能的訓練，它有助于學生理解“算理”、體會“算法”.

三、正確進行運算中的推理是關鍵

運算離不開邏輯推理，運算過程是應用三段論法的過程.要提高學生的運算能力，必須提高其推理能力.在教學時既要使學生了解“怎樣運算”，又要明確“為什么要這樣運算”，這樣才能保證運算的合理性.在實際教學中，許多數學教師對這一點不夠重視，表現在對于學生不合理的運算推理、運算方法不給予評價、校正，常以答案正確與否為評價的唯一標準，甚至在課堂上經常出現這樣的說法：“下面是消去x、y，便可得到結果……”，“下面是具體運算，請同學們課后完成”.學生課后是否會做，如何消元，學生能否解決，教師根本不了解.而且，學生在課后做作業時也熱衷于對答案，發現問題不追查原因，只改抄答案，特別是對復雜的運算不感興趣.久而久之，運算上的不少薄弱環節的累積，直接影響學生運算能力的提高.因此，教師應克服這種重運算結果、輕推理過程的教學現象.endprint

四、重視運算的簡捷性和靈活性

運算的簡捷是運算合理性的標志，是運算速度方面的要求，它是學生思維深刻性和靈活性的體現.要提高學生合理進行運算的能力，“一題多解”是一個很好的訓練方法.因為通過“一題多解”，就可比較哪一種解法既正確又簡捷，從而確定合理的解法.從認知角度看，運算的多解性是感性階段，而合理運算則是運算的理性階段.由多解性通過分析、比較培養學生運算概括能力，從而進入運算合理性的階段，這是一個由量變到質變的過程.為了簡化運算，往往需要應用等價轉換的原則，其實，數學問題的解決過程，就是一系列等價轉換的過程，不同的轉換途徑，會產生不同的推理與計算的程序，而在轉換中具備求簡意識十分重要.

例如：已知函數f（x）= ，x∈[1，+∞），若對任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，試求實數a的取值范圍.

解法一：在區間[1，+∞）上，f（x）= >0恒成立？圳x +2x+a>0恒成立，設y=x +2x+a在[1，+∞）上遞增，當x=1時，y =3+a，所以，當且僅當y =3+a>0時，函數恒成立，即a>-3.

解法二：f（x）=x+ +2，x∈[1，+∞），當a≥0的值恒為正，當a<0時，函數f（x）為增函數，故當x=1時f（x） =3+a，于是當且僅當3+a>0時恒成立，所以a>-3.

解法三：在區間[1，+∞）上f（x）= 恒成立？圳x +2x+a>0恒成立a>-x -2x恒成立，故a應大于u=-x -2x，x∈[1，+∞）時的最大值為-3，∴a>-（x+1） +1，當x=1時，取得最大值-3，所以a>-3.

以上三種解法是處理含參函數中，參數取值范圍的常用方法.本題的三種解法在簡捷性與靈活性方面沒有太大的差異，但是若將其變式，則情況就不同了.

變式：把題目中的f（x）>0改為f（x）>a，應如何求a的取值范圍？

利用法一，f（x）= >a可轉化為x +2x+a>ax即x +（2-a）x+a>0就得分類討論，較復雜.

利用法二，f（x）=x+ +2>a，對于a>0的情形也得分類討論才能得出最值.

利用法三，f（x）= 可轉化為x +2x+a>ax，等價于a< .

而 = =（x-1）+ +4≥4+2 ，

當且僅當x= +1時等號成立，所以a<4+2 .

以上三種解法中，顯然解法三最簡單且不易錯，由“參變分離”，即把參數（已知字母）a和變量x分離在不等式的兩邊，避免了帶參數分類討論這一既繁瑣又容易出錯的運算求解過程.教師講評練習時要注意一題多解，注意題目的變式，一題多變，加強各種解題方法優劣的甄別.幫助學生歸納總結解題思路，全面掌握、正確判斷，采用最簡捷有效的方法解題，從而避免錯誤，提高運算求解能力.

五、培養學生良好的學習習慣

良好的學習習慣是決定運算求解能力的重要因素.數學這門課程，由于它自身嚴密的特點，容不得學生有絲毫的馬虎和粗心.學生在運算中出現的錯誤，有一部分源于不良的學習習慣.在教學中，教師要讓學生養成在做題前認真審題、細心觀察、規范書寫等良好習慣，在數學學習過程中，遇到簡單運算問題不用計算器，在心算、口算、筆算中形成對運算結果正確與否的判斷.

我國中學數學教育具有重視基礎知識、基本技能的訓練和能力培養的傳統，新高中數學課程應發揚這種傳統.教學實踐表明，提高學生的運算求解能力是一項復雜系統的工程，是一項長期的教學任務，不可能一蹴而就.只要我們珍惜每一次訓練機會，有計劃、有目標、有意識地進行長期滲透，使學生逐步領悟運算求解能力的實質，就必然會促使學生養成正確、合理、快速進行運算求解的習慣，真正提高運算求解能力.endprint

四、重視運算的簡捷性和靈活性

運算的簡捷是運算合理性的標志，是運算速度方面的要求，它是學生思維深刻性和靈活性的體現.要提高學生合理進行運算的能力，“一題多解”是一個很好的訓練方法.因為通過“一題多解”，就可比較哪一種解法既正確又簡捷，從而確定合理的解法.從認知角度看，運算的多解性是感性階段，而合理運算則是運算的理性階段.由多解性通過分析、比較培養學生運算概括能力，從而進入運算合理性的階段，這是一個由量變到質變的過程.為了簡化運算，往往需要應用等價轉換的原則，其實，數學問題的解決過程，就是一系列等價轉換的過程，不同的轉換途徑，會產生不同的推理與計算的程序，而在轉換中具備求簡意識十分重要.

例如：已知函數f（x）= ，x∈[1，+∞），若對任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，試求實數a的取值范圍.

解法一：在區間[1，+∞）上，f（x）= >0恒成立？圳x +2x+a>0恒成立，設y=x +2x+a在[1，+∞）上遞增，當x=1時，y =3+a，所以，當且僅當y =3+a>0時，函數恒成立，即a>-3.

解法二：f（x）=x+ +2，x∈[1，+∞），當a≥0的值恒為正，當a<0時，函數f（x）為增函數，故當x=1時f（x） =3+a，于是當且僅當3+a>0時恒成立，所以a>-3.

解法三：在區間[1，+∞）上f（x）= 恒成立？圳x +2x+a>0恒成立a>-x -2x恒成立，故a應大于u=-x -2x，x∈[1，+∞）時的最大值為-3，∴a>-（x+1） +1，當x=1時，取得最大值-3，所以a>-3.

以上三種解法是處理含參函數中，參數取值范圍的常用方法.本題的三種解法在簡捷性與靈活性方面沒有太大的差異，但是若將其變式，則情況就不同了.

變式：把題目中的f（x）>0改為f（x）>a，應如何求a的取值范圍？

利用法一，f（x）= >a可轉化為x +2x+a>ax即x +（2-a）x+a>0就得分類討論，較復雜.

利用法二，f（x）=x+ +2>a，對于a>0的情形也得分類討論才能得出最值.

利用法三，f（x）= 可轉化為x +2x+a>ax，等價于a< .

而 = =（x-1）+ +4≥4+2 ，

當且僅當x= +1時等號成立，所以a<4+2 .

以上三種解法中，顯然解法三最簡單且不易錯，由“參變分離”，即把參數（已知字母）a和變量x分離在不等式的兩邊，避免了帶參數分類討論這一既繁瑣又容易出錯的運算求解過程.教師講評練習時要注意一題多解，注意題目的變式，一題多變，加強各種解題方法優劣的甄別.幫助學生歸納總結解題思路，全面掌握、正確判斷，采用最簡捷有效的方法解題，從而避免錯誤，提高運算求解能力.

五、培養學生良好的學習習慣

良好的學習習慣是決定運算求解能力的重要因素.數學這門課程，由于它自身嚴密的特點，容不得學生有絲毫的馬虎和粗心.學生在運算中出現的錯誤，有一部分源于不良的學習習慣.在教學中，教師要讓學生養成在做題前認真審題、細心觀察、規范書寫等良好習慣，在數學學習過程中，遇到簡單運算問題不用計算器，在心算、口算、筆算中形成對運算結果正確與否的判斷.

我國中學數學教育具有重視基礎知識、基本技能的訓練和能力培養的傳統，新高中數學課程應發揚這種傳統.教學實踐表明，提高學生的運算求解能力是一項復雜系統的工程，是一項長期的教學任務，不可能一蹴而就.只要我們珍惜每一次訓練機會，有計劃、有目標、有意識地進行長期滲透，使學生逐步領悟運算求解能力的實質，就必然會促使學生養成正確、合理、快速進行運算求解的習慣，真正提高運算求解能力.endprint

四、重視運算的簡捷性和靈活性

運算的簡捷是運算合理性的標志，是運算速度方面的要求，它是學生思維深刻性和靈活性的體現.要提高學生合理進行運算的能力，“一題多解”是一個很好的訓練方法.因為通過“一題多解”，就可比較哪一種解法既正確又簡捷，從而確定合理的解法.從認知角度看，運算的多解性是感性階段，而合理運算則是運算的理性階段.由多解性通過分析、比較培養學生運算概括能力，從而進入運算合理性的階段，這是一個由量變到質變的過程.為了簡化運算，往往需要應用等價轉換的原則，其實，數學問題的解決過程，就是一系列等價轉換的過程，不同的轉換途徑，會產生不同的推理與計算的程序，而在轉換中具備求簡意識十分重要.

例如：已知函數f（x）= ，x∈[1，+∞），若對任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，試求實數a的取值范圍.

解法一：在區間[1，+∞）上，f（x）= >0恒成立？圳x +2x+a>0恒成立，設y=x +2x+a在[1，+∞）上遞增，當x=1時，y =3+a，所以，當且僅當y =3+a>0時，函數恒成立，即a>-3.

解法二：f（x）=x+ +2，x∈[1，+∞），當a≥0的值恒為正，當a<0時，函數f（x）為增函數，故當x=1時f（x） =3+a，于是當且僅當3+a>0時恒成立，所以a>-3.

解法三：在區間[1，+∞）上f（x）= 恒成立？圳x +2x+a>0恒成立a>-x -2x恒成立，故a應大于u=-x -2x，x∈[1，+∞）時的最大值為-3，∴a>-（x+1） +1，當x=1時，取得最大值-3，所以a>-3.

以上三種解法是處理含參函數中，參數取值范圍的常用方法.本題的三種解法在簡捷性與靈活性方面沒有太大的差異，但是若將其變式，則情況就不同了.

變式：把題目中的f（x）>0改為f（x）>a，應如何求a的取值范圍？

利用法一，f（x）= >a可轉化為x +2x+a>ax即x +（2-a）x+a>0就得分類討論，較復雜.

利用法二，f（x）=x+ +2>a，對于a>0的情形也得分類討論才能得出最值.

利用法三，f（x）= 可轉化為x +2x+a>ax，等價于a< .

而 = =（x-1）+ +4≥4+2 ，

當且僅當x= +1時等號成立，所以a<4+2 .

以上三種解法中，顯然解法三最簡單且不易錯，由“參變分離”，即把參數（已知字母）a和變量x分離在不等式的兩邊，避免了帶參數分類討論這一既繁瑣又容易出錯的運算求解過程.教師講評練習時要注意一題多解，注意題目的變式，一題多變，加強各種解題方法優劣的甄別.幫助學生歸納總結解題思路，全面掌握、正確判斷，采用最簡捷有效的方法解題，從而避免錯誤，提高運算求解能力.

五、培養學生良好的學習習慣

良好的學習習慣是決定運算求解能力的重要因素.數學這門課程，由于它自身嚴密的特點，容不得學生有絲毫的馬虎和粗心.學生在運算中出現的錯誤，有一部分源于不良的學習習慣.在教學中，教師要讓學生養成在做題前認真審題、細心觀察、規范書寫等良好習慣，在數學學習過程中，遇到簡單運算問題不用計算器，在心算、口算、筆算中形成對運算結果正確與否的判斷.

我國中學數學教育具有重視基礎知識、基本技能的訓練和能力培養的傳統，新高中數學課程應發揚這種傳統.教學實踐表明，提高學生的運算求解能力是一項復雜系統的工程，是一項長期的教學任務，不可能一蹴而就.只要我們珍惜每一次訓練機會，有計劃、有目標、有意識地進行長期滲透，使學生逐步領悟運算求解能力的實質，就必然會促使學生養成正確、合理、快速進行運算求解的習慣，真正提高運算求解能力.endprint