拉格朗日中值定理的一些應用

劉磊

摘 要： 拉格朗日中值定理是微分學的基礎定理之一，它有眾多應用，本文闡述了拉格朗日中值定理的一些應用.

關鍵詞： 拉格朗日中值定理 極限 不等式 恒等式 零點

一、拉格朗日中值定理

若函數f（x）滿足如下條件：（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）內可導，則在（a，b）內至少存在一點ξ，使f′（ξ）= .

二、拉格朗日中值定理的應用

1.求極限

例1：求 .

解：令f（x）=tanx，則

= = = sec ξ=sec π=1（ξ介于x與π之間）

（介于與之間）

2.證明不等式

例2：證明0）.

證明：設f（x）=ln（1+x）.則f（x）在[0，+∞）上連續，在（0，+∞）內可導.

對？坌x>0，在[0，x]上運用拉格朗日中值定理可知：

f（x）-f（0）=ln（1+x）=f′（ξ）x= x，ξ∈（0，x）

于是

3.證明恒等式

例3：證明arctanx+arccotx= （x∈R）.

證明：令f（x）=arctanx+arccotx，對？坌x∈R，有f′（x）= - =0，于是f（x）=c（c為常數）.任取一實數，如 ，有 f（ ）=arctan +arccot = + = ，所以結論成立.

4.討論函數零點的個數

例4：證明：方程x +x-1=0有唯一正根.

證明：令f（x）=x +x-1，顯然f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，f（0）f（1）=-1<0，于是存在x ∈（0，1）使f（x ）=0即方程有正根.

下面用反證法證明正根的唯一性：

設f（x）還有一個根x >0，不妨設x

這與f′（x）=3x +1>0矛盾，于是該方程只有一個正根.

5.函數的單調性

例5：證明：若函數f（x）在[0，a）可導，f′（x）單調遞增，且f（0）=0，則函數 在（0，a）單調遞增.

證明：對任意x ，x ∈（0，a），且x

f′ξ = = ，f′（ξ ）= ，

因為f′（x）單調增加，于是f′（ξ ）

≤ ，

從而 ≤ ，

即函數 在（0，a）內單調遞增.

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001：139-145.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]南京大學數學系.數學分析習題全解[M].合肥：安徽人民出版社，1999.

摘 要： 拉格朗日中值定理是微分學的基礎定理之一，它有眾多應用，本文闡述了拉格朗日中值定理的一些應用.

關鍵詞： 拉格朗日中值定理 極限 不等式 恒等式 零點

一、拉格朗日中值定理

若函數f（x）滿足如下條件：（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）內可導，則在（a，b）內至少存在一點ξ，使f′（ξ）= .

二、拉格朗日中值定理的應用

1.求極限

例1：求 .

解：令f（x）=tanx，則

= = = sec ξ=sec π=1（ξ介于x與π之間）

（介于與之間）

2.證明不等式

例2：證明0）.

證明：設f（x）=ln（1+x）.則f（x）在[0，+∞）上連續，在（0，+∞）內可導.

對？坌x>0，在[0，x]上運用拉格朗日中值定理可知：

f（x）-f（0）=ln（1+x）=f′（ξ）x= x，ξ∈（0，x）

于是

3.證明恒等式

例3：證明arctanx+arccotx= （x∈R）.

證明：令f（x）=arctanx+arccotx，對？坌x∈R，有f′（x）= - =0，于是f（x）=c（c為常數）.任取一實數，如 ，有 f（ ）=arctan +arccot = + = ，所以結論成立.

4.討論函數零點的個數

例4：證明：方程x +x-1=0有唯一正根.

證明：令f（x）=x +x-1，顯然f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，f（0）f（1）=-1<0，于是存在x ∈（0，1）使f（x ）=0即方程有正根.

下面用反證法證明正根的唯一性：

設f（x）還有一個根x >0，不妨設x

這與f′（x）=3x +1>0矛盾，于是該方程只有一個正根.

5.函數的單調性

例5：證明：若函數f（x）在[0，a）可導，f′（x）單調遞增，且f（0）=0，則函數 在（0，a）單調遞增.

證明：對任意x ，x ∈（0，a），且x

f′ξ = = ，f′（ξ ）= ，

因為f′（x）單調增加，于是f′（ξ ）

≤ ，

從而 ≤ ，

即函數 在（0，a）內單調遞增.

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001：139-145.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]南京大學數學系.數學分析習題全解[M].合肥：安徽人民出版社，1999.

摘 要： 拉格朗日中值定理是微分學的基礎定理之一，它有眾多應用，本文闡述了拉格朗日中值定理的一些應用.

關鍵詞： 拉格朗日中值定理 極限 不等式 恒等式 零點

一、拉格朗日中值定理

若函數f（x）滿足如下條件：（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）內可導，則在（a，b）內至少存在一點ξ，使f′（ξ）= .

二、拉格朗日中值定理的應用

1.求極限

例1：求 .

解：令f（x）=tanx，則

= = = sec ξ=sec π=1（ξ介于x與π之間）

（介于與之間）

2.證明不等式

例2：證明0）.

證明：設f（x）=ln（1+x）.則f（x）在[0，+∞）上連續，在（0，+∞）內可導.

對？坌x>0，在[0，x]上運用拉格朗日中值定理可知：

f（x）-f（0）=ln（1+x）=f′（ξ）x= x，ξ∈（0，x）

于是

3.證明恒等式

例3：證明arctanx+arccotx= （x∈R）.

證明：令f（x）=arctanx+arccotx，對？坌x∈R，有f′（x）= - =0，于是f（x）=c（c為常數）.任取一實數，如 ，有 f（ ）=arctan +arccot = + = ，所以結論成立.

4.討論函數零點的個數

例4：證明：方程x +x-1=0有唯一正根.

證明：令f（x）=x +x-1，顯然f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，f（0）f（1）=-1<0，于是存在x ∈（0，1）使f（x ）=0即方程有正根.

下面用反證法證明正根的唯一性：

設f（x）還有一個根x >0，不妨設x

這與f′（x）=3x +1>0矛盾，于是該方程只有一個正根.

5.函數的單調性

例5：證明：若函數f（x）在[0，a）可導，f′（x）單調遞增，且f（0）=0，則函數 在（0，a）單調遞增.

證明：對任意x ，x ∈（0，a），且x

f′ξ = = ，f′（ξ ）= ，

因為f′（x）單調增加，于是f′（ξ ）

≤ ，

從而 ≤ ，

即函數 在（0，a）內單調遞增.

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001：139-145.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]南京大學數學系.數學分析習題全解[M].合肥：安徽人民出版社，1999.