《實際問題與一元一次方程》教學之得

蔡夢嫻

【摘 要】我們的學生在小學階段對應用題有一定的了解，但用的是純算術的方法，進入初中后解實際問題用的是代數方法，學生不適應。剛進初一的學生年齡一般都在12、3歲之間，這個年齡段是兒童向青少年過渡的時期，正處于從小學生到初中生的角色過渡期、適應期。因此要把握好這一時期，加緊對他們的數學思維能力的培養。而學習用一元一次方程解決實際問題正是一個很好的培養機會！

【關鍵詞】一元一次方程；解決實際問題

在課間我隨機問了一些學生，“你覺得列方程解應用題難嗎？”，幾乎所有被問的學生都回答“難！”，而老師在問他們的時候并沒有給出具體的題目。由此可得出，列方程解應用題這一知識在學生心目中的印象就是非常難的，只要看到題目是應用題，很多學生就自然而然害怕起來，而從心理上就放棄了該題！

針對這些情況我在教學中做了下面這些嘗試。

一、用一元一次方程解決實際問題初期教學

小學的列算式是用已知數表達計算程序，而方程可用未知數表示相等關系，依據是問題中的等量關系。所以最初主要是訓練學生理解題目的能力和尋找等量關系的能力，為解決更加復雜的問題打下基礎。我們在初期可以主要以圖解分析題目的方法來訓練學生解題的基礎。要清楚的講解列一元一次方程的基本步驟：①設元（分為直接設法和間接設法，單位前為多項式的要用括號括起來）；②分析（主要采用圖解法）；③找題目中等量關系；④列方程；⑤解方程且檢驗（兩層檢驗：檢驗結果是否正確，檢驗結果是否合理）⑥答題。

例一：把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分四本，則還缺25本。這個班有多少學生？

分析：相等關系：這批書的總數是一個定值，表示它的兩個式子相等（這只是該題分析，不寫到解題過程中）

解：設這個班有x名學生。圖解：

（圖一）

列方程：3x+20=4x-25

雖然題目中說是一些圖書和某些學生，似乎是一個不確定的數，但其實，在這批圖書和這個班的學生在已知條件沒有改變它們的情況下，它們是定值，也是未知。而這道題的所求問題是未知的這個班的人數，用字母x代表它，通過已知條件可以用兩個代數式表示這批書，這兩個代數式即存在相等關系。這些復雜的文字描述，我們可以圖一就可以知道，更加直觀，更加具體，不需更多的解釋，這樣可以培養學生數學簡單化的能力和閱圖能力，分析理解能力。

例二：運動場的跑道一圈長400m，甲練習騎自行車，平均每分騎490m，乙練習跑步，每分跑250m，兩個人從同一處同時同向出發，經過多少時間首次相遇？

分析：相等關系：甲路程-乙路程=運動場長度（這只是該題分析，不做解題過程）

解：設經過x分鐘首次相遇

圖解： 250x 400

490x

（圖二）

列方程：490x-250x=400

在一元一次方程解應用題的開始，應該讓學生感覺到是“我可以做到的”，樹立他們對于解應用題的信心，對解應用題有自己的足夠的見解，所以應該讓學生學到，解一元一次方程是有跡可循的，解一元一次方程是有章可依，而圖解法就是把題目中復雜的文字，抽取出來，轉化為圖解，使題目變得簡潔，明了。這樣可以讓學生學會分析題目，讓學生學會從題目中知道什么是我們已知的，什么是它們之間的等量關系。

二、用一元一次方程解決實際問題中期教學

隨著學習一元一次方程解應用題的深入，慢慢題目也越來越復雜，常常涉及兩個方面，三個量，我們的分析方法也應該更加進步，隨之豐富我們的解題思路，這個時候我們可以通過一個簡單列表法鍛煉學生理解題目和尋找復雜一點的等量關系列方程的能力，由于許多學生不懂列表法，所以初期應該老師把表列出來，給予學生正確的引導，讓學生學會合理運用列表法幫助自己解決問題。下面舉幾個例子來說明列表法的運用：

例三：一輛大汽車原來的形勢速度是30千米/時，現在開始均勻加速，每小時提速20千米/時；一輛小汽車原來的行駛速度是90千米/時，現在開始均勻減速，每小時減速10千米/時。經過多長時間兩輛車的速度相等？這時車速是多少？

分析：相等關系：大車后來的速度=小車后來的速度

解：設經過x小時后輛車車速相等。

圖解： 30 20x 10x

90

（圖三）

圖表1：

原來的速度 后來的速度

大車 30千米/時 30+20x

小車 90千米/時 90-10x

列方程：30+20x=90-10x

在這個題目中給了很多已知條件，大車和小車原來的速度，大車每小時提高的速度，小車每小時減少的速度，從問題可以知道，大車和小車所用時間相同，速度相等。大車和小車經過了x小時后，速度相同。這些分析過程，通過圖表和圖解都可以簡單、明了的顯示，所以在此過程中，要進一步鞏固學生解題方法，通過兩種方法的比較，學會主動分析那種方法更簡單，在哪些題型該用圖解法，哪些題型該用圖表法，或者不用這些方法，用別的方法也可以進行分析，必須給學生一種數學思想。

例四：整理一批圖書，由一個人做要40小時完成，現在計劃由一部分人先做4小時，再增加2人和他們一起做8小時，完成這項工作。假設這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？

分析：這項工作分兩段完成，兩段完成的工作量之和為

解：設先安排x人工作4小時。

圖解：

1

（圖四）

圖表2：

工作效率 工作量

X個人完成 x—40

（x+2）個人完成

列方程：=1

在實際問題難度不斷增加的過程中，我們不止是學會解決了一些比較復雜的題，更是要在潛移默化中學會更多的解題方法，有解決復雜題目的信心，和建立自己一套應對方程解應用題的思路方法，而在利用的過程中，學會反思，用哪種方法更加簡單，更加適合題目，而新學的圖表也鍛煉了學生的總結能力！

三、用一元一次方程解決實際問題后期教學

隨著一元一次方程解實際問題教學的深入，不能只停留在會解決一類型，一系列的題，而是要學會一種應用代數知識的數學思想。

所以，突出了循序漸進的原則，加強變式訓練，更新認知模式，波利亞的理論認為，認知結構的形成和發展是同化作用和順應作用兩種機能的平衡的不斷發展，初一學生往往喜歡套題型，機械模仿，對面臨的新問題抓不住問題的關鍵，針對這個問題宜采取加強變式訓練，更新認知的模式。

一題多解的訓練可以達到這個目的：

例五：一架飛機飛行在兩個城市之間，風速為每小時24千米，順風飛行需要2個小時50分，逆風飛行需3個小時，求兩個城市之間的飛行路程？

分析：由兩城市之間的路程不變，可得到

相等關系：1.順風飛行路程=逆風飛行路程

這就提示我們在變量問題中要善于發現不變量，因此，本題可以設想飛機在無風情況下飛行速度相等。

解1：設飛機在無風時飛行速度為每小時x 千米，則有方程：

（x+24）×25-6=（x-24）×3

解2：順風時風推飛機，逆風時風阻飛機，那么，順風速度與逆風速度每小時相差48 千米。

設：飛機在順風時速度每小時x千米，則有方程：

17-6x=（x-48）×3

解3：設飛機在逆風時速度為每小時x千米，則有方程：

（x+48）×25-6=3x

相等關系2：飛機在無風情況飛行的速度=順風飛行速度-風速=逆風飛行速度+風速

解4：設兩個城市之間的距離為x千米，則有方程：

6-17x-24=x-3+24或6-17x-x-3=48或6-17x-48=x-3

相等關系3：因兩城市距離一定，風速和時間都在變化，聯系小學反比例關系問題知：飛機飛行的速度與時間成反比：

即：順風速度∶逆風速度=逆風時間∶順風時間

分別設出飛機在無風、順風、逆風中飛行速度又可得到三種。

無論是用圖解法，圖表法列一元一次方程解應用題，還是訓練一元一次方程應用題多解。都是數學學習過程總結的一些方法和經驗，卻不是唯一的，也不是必須，通過數學的學習，經歷由實際問題抽象為方程模型的過程，進一步體會模型化的思想，會用一元一次方程解決一些實際問題；培養學生分析問題，解決問題的能力；在積極參與教學活動的過程中，初步一元一次方程的使用價值，感受到數學的應用價值，激發學習數學的信心。