淺談類比推理在數學解題中的應用

楊文青

【摘 要】類比推理已經成為初高中數學中越來越熱門的考點，既考查學生的研究能力，同時也考察學生的發散思維和邏輯推理能力。對于一些疑難問題的解決有著事半功倍的作用。本文通過一些具體例題來體現類比推理的應用。

【關鍵詞】類比；類比思想；推理過程

一、類比推理

類比是根據兩個數學對象的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法，它通常稱為類比法。它是以比較為基礎，通過對兩個（或兩類）不同的對象進行比較，找出它們的相同點或相似點，然后以此為依據，將關于某一些知識或結論推移到另一種對象中去。其結論的可靠程度依賴于兩個研究對象的共同屬性，一般說來，共有屬性愈多，結論的可靠程度就愈大。類比既是一種邏輯方法又是一種科學研究的方法，它是人們思考問題和處理問題的重要手段，是發明創造的一把金鑰匙。

類比分為簡單類比和復雜類比兩類。簡單類比是一種形式性類比，它具有明顯性、直接性的特征，其模式為

復雜類比是一種是實質性類比，需要用過較為深入的分析后才能得出新的猜測，其模式為

類比是一種主觀的不充分的似真推理，因此，要確認其正確性，還必須經過嚴格的邏輯論證。運用類比法解決問題，其基本過程可用框圖表示如下：

二、類比推理的應用

類比思維在數學知識的延伸拓展過程中常借助于比較、聯想，用作啟發誘導以尋求思維的變異和發散。在數學學習中，我們可以通過類比學習新知識，也可以通過類比來尋求解題思路，甚至通過類比來推廣數學命題。利用類比法，可使我們的思維能力、觀察能力得到良好的鍛煉。下面我們從數學解題的角度來談談類比法的應用。

1.平面幾何與立體幾何的類比

有些立體幾何問題的解決可類比于平面幾何問題解決的思路方法，有時可簡化運算與推理，優化解題過程.

【例1】如圖1，在四面體ABCD中，截面AEF經過四面體的內切球（于四個面都相切的球）的球心O，且與BC、DC分別截于E、F，如過截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A—BEFD與三棱錐A—EFC的表面積分別為S1，S2，則必有（ ）

（A） S1>S2（B）S1

（D）S1與S2的大小關系不能確定

圖1 圖2

分析：本題是立體幾何問題，將立體中的有關圖形、有關量與平面相應的元素進行類比：

空間 平面

三棱錐 三角形

三棱錐的內切球 三角形的內接圓

三棱錐的表面積 三角形的周長

三棱錐的體積 三角形的面積

由此可得到平面幾何中相應的問題：

如圖2，在△ABC中，直線EF經過其內切圓的圓心O，且與AB、AC分別交于E、F，如果線段EF將△ABC分成面積相等的兩部分，設△AEF與四邊形EBCF的周長分別為L1、L2，求L1、L2關系。

設內切圓半徑為r，將四邊形BCEF分割為△EOB、△BOC、△COF三部分， 將△AEF分割為△AOE、△AOF，則：

S△EOB+S△BOC+S△COF=S△AOE+S△AOF

（BE+BC+CE）r=（AE+AF）r，

∴AE+AF=BE+BC+CE

由此得L1=L2，由類比思維可以猜想例1中的 S1=S2 ，其思路與相應的平面幾何問題相仿，即將四棱錐A-BEFD分割為O-ABD，O-ABE，O-ADF與O-BEFD四部分，而將三棱錐A-EFC分割為O-AEC，O-AFCO-EFC三部分，再利用兩部分體積相等求解，本題答案為C。

我們也可以利用兩類事物之間的相似性或一致性，用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題或猜想。

2.解析幾何中的類比推理

【例2】已知兩個圓：X2+Y2=1①與X2+（Y-3）2=1②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，既要求得到一個更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為 。

【分析】將題設中所給出的特殊方程①、②推廣歸納到一般情況：

設圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2③與（x-c）2+（y-d）2=r2④，其中a≠c或b≠d，則由③式減去④式可得兩圓的對稱軸方程。

評注：本題通過類比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。

3.數列中的類比推理

【例3】定義等和數列：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。已知數列{an}，是等和數列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為 ，這個數列的前n項和Sn的計算公式為 。

【分析】由等和數列的定義，易知a2n-1=2，a2n=3（n=1，2，...）故a18=3

當n為偶數時，；當n為奇數時，

評注：本題以“等和數列”為載體，解決本題的關鍵是課本中所學的等差數列的有關知識及其數學活動的經驗，本題還考查分類討論的數學思想方法。

4.排列組合中的類比推理

【例4】已知數列{an}（n為正整數）的首項為a1，公比為的q等比數列。

歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明。

【分析】通過大膽猜測，歸納猜想出一般性的結論：

歸納概括的結論為：若數列{an}是首項為a1，公比為q的等比數列，則：

評注：本題主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力，突出了創新能力的考查；通過抓住問題的實質，探討具有共同的屬性，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。

三、結束語

綜上所述，類比的思想在我們處理一些數學問題時的確起著十分重要的作用，我們也應該學習類比的思想，但是在利用類比的思想去處理一些問題時，我們也要注意所類比的兩個事物在本質上是否是相同或相似的，不能只顧形式上的一致而忽略本質不同的問題。類比是數學中發現概念、定理、公式的重要手段，也是開拓新領域、創造新分支的重要手段，類比的關鍵是把兩個對象之間的某種相似性確切的表達出來。類比思想有助于培養學生的靈活性、獨創性、廣闊性和敏捷性，值得我們研討。

參考文獻：

[1]鮑曼.數學邏輯學.哈爾濱工業大學出版社，2009.10.10

[2]朱月珍.一種特殊的數學思維方法——類比法.甘肅高師學報，2008.13.5

[3]孫衛東.淺談類比法在數學教學中的應用.甘肅科技縱橫，2006.2

【摘 要】類比推理已經成為初高中數學中越來越熱門的考點，既考查學生的研究能力，同時也考察學生的發散思維和邏輯推理能力。對于一些疑難問題的解決有著事半功倍的作用。本文通過一些具體例題來體現類比推理的應用。

【關鍵詞】類比；類比思想；推理過程

一、類比推理

類比是根據兩個數學對象的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法，它通常稱為類比法。它是以比較為基礎，通過對兩個（或兩類）不同的對象進行比較，找出它們的相同點或相似點，然后以此為依據，將關于某一些知識或結論推移到另一種對象中去。其結論的可靠程度依賴于兩個研究對象的共同屬性，一般說來，共有屬性愈多，結論的可靠程度就愈大。類比既是一種邏輯方法又是一種科學研究的方法，它是人們思考問題和處理問題的重要手段，是發明創造的一把金鑰匙。

類比分為簡單類比和復雜類比兩類。簡單類比是一種形式性類比，它具有明顯性、直接性的特征，其模式為

復雜類比是一種是實質性類比，需要用過較為深入的分析后才能得出新的猜測，其模式為

類比是一種主觀的不充分的似真推理，因此，要確認其正確性，還必須經過嚴格的邏輯論證。運用類比法解決問題，其基本過程可用框圖表示如下：

二、類比推理的應用

類比思維在數學知識的延伸拓展過程中常借助于比較、聯想，用作啟發誘導以尋求思維的變異和發散。在數學學習中，我們可以通過類比學習新知識，也可以通過類比來尋求解題思路，甚至通過類比來推廣數學命題。利用類比法，可使我們的思維能力、觀察能力得到良好的鍛煉。下面我們從數學解題的角度來談談類比法的應用。

1.平面幾何與立體幾何的類比

有些立體幾何問題的解決可類比于平面幾何問題解決的思路方法，有時可簡化運算與推理，優化解題過程.

【例1】如圖1，在四面體ABCD中，截面AEF經過四面體的內切球（于四個面都相切的球）的球心O，且與BC、DC分別截于E、F，如過截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A—BEFD與三棱錐A—EFC的表面積分別為S1，S2，則必有（ ）

（A） S1>S2（B）S1

（D）S1與S2的大小關系不能確定

圖1 圖2

分析：本題是立體幾何問題，將立體中的有關圖形、有關量與平面相應的元素進行類比：

空間 平面

三棱錐 三角形

三棱錐的內切球 三角形的內接圓

三棱錐的表面積 三角形的周長

三棱錐的體積 三角形的面積

由此可得到平面幾何中相應的問題：

如圖2，在△ABC中，直線EF經過其內切圓的圓心O，且與AB、AC分別交于E、F，如果線段EF將△ABC分成面積相等的兩部分，設△AEF與四邊形EBCF的周長分別為L1、L2，求L1、L2關系。

設內切圓半徑為r，將四邊形BCEF分割為△EOB、△BOC、△COF三部分， 將△AEF分割為△AOE、△AOF，則：

S△EOB+S△BOC+S△COF=S△AOE+S△AOF

（BE+BC+CE）r=（AE+AF）r，

∴AE+AF=BE+BC+CE

由此得L1=L2，由類比思維可以猜想例1中的 S1=S2 ，其思路與相應的平面幾何問題相仿，即將四棱錐A-BEFD分割為O-ABD，O-ABE，O-ADF與O-BEFD四部分，而將三棱錐A-EFC分割為O-AEC，O-AFCO-EFC三部分，再利用兩部分體積相等求解，本題答案為C。

我們也可以利用兩類事物之間的相似性或一致性，用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題或猜想。

2.解析幾何中的類比推理

【例2】已知兩個圓：X2+Y2=1①與X2+（Y-3）2=1②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，既要求得到一個更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為 。

【分析】將題設中所給出的特殊方程①、②推廣歸納到一般情況：

設圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2③與（x-c）2+（y-d）2=r2④，其中a≠c或b≠d，則由③式減去④式可得兩圓的對稱軸方程。

評注：本題通過類比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。

3.數列中的類比推理

【例3】定義等和數列：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。已知數列{an}，是等和數列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為 ，這個數列的前n項和Sn的計算公式為 。

【分析】由等和數列的定義，易知a2n-1=2，a2n=3（n=1，2，...）故a18=3

當n為偶數時，；當n為奇數時，

評注：本題以“等和數列”為載體，解決本題的關鍵是課本中所學的等差數列的有關知識及其數學活動的經驗，本題還考查分類討論的數學思想方法。

4.排列組合中的類比推理

【例4】已知數列{an}（n為正整數）的首項為a1，公比為的q等比數列。

歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明。

【分析】通過大膽猜測，歸納猜想出一般性的結論：

歸納概括的結論為：若數列{an}是首項為a1，公比為q的等比數列，則：

評注：本題主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力，突出了創新能力的考查；通過抓住問題的實質，探討具有共同的屬性，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。

三、結束語

綜上所述，類比的思想在我們處理一些數學問題時的確起著十分重要的作用，我們也應該學習類比的思想，但是在利用類比的思想去處理一些問題時，我們也要注意所類比的兩個事物在本質上是否是相同或相似的，不能只顧形式上的一致而忽略本質不同的問題。類比是數學中發現概念、定理、公式的重要手段，也是開拓新領域、創造新分支的重要手段，類比的關鍵是把兩個對象之間的某種相似性確切的表達出來。類比思想有助于培養學生的靈活性、獨創性、廣闊性和敏捷性，值得我們研討。

參考文獻：

[1]鮑曼.數學邏輯學.哈爾濱工業大學出版社，2009.10.10

[2]朱月珍.一種特殊的數學思維方法——類比法.甘肅高師學報，2008.13.5

[3]孫衛東.淺談類比法在數學教學中的應用.甘肅科技縱橫，2006.2

【摘 要】類比推理已經成為初高中數學中越來越熱門的考點，既考查學生的研究能力，同時也考察學生的發散思維和邏輯推理能力。對于一些疑難問題的解決有著事半功倍的作用。本文通過一些具體例題來體現類比推理的應用。

【關鍵詞】類比；類比思想；推理過程

一、類比推理

類比是根據兩個數學對象的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法，它通常稱為類比法。它是以比較為基礎，通過對兩個（或兩類）不同的對象進行比較，找出它們的相同點或相似點，然后以此為依據，將關于某一些知識或結論推移到另一種對象中去。其結論的可靠程度依賴于兩個研究對象的共同屬性，一般說來，共有屬性愈多，結論的可靠程度就愈大。類比既是一種邏輯方法又是一種科學研究的方法，它是人們思考問題和處理問題的重要手段，是發明創造的一把金鑰匙。

類比分為簡單類比和復雜類比兩類。簡單類比是一種形式性類比，它具有明顯性、直接性的特征，其模式為

復雜類比是一種是實質性類比，需要用過較為深入的分析后才能得出新的猜測，其模式為

類比是一種主觀的不充分的似真推理，因此，要確認其正確性，還必須經過嚴格的邏輯論證。運用類比法解決問題，其基本過程可用框圖表示如下：

二、類比推理的應用

類比思維在數學知識的延伸拓展過程中常借助于比較、聯想，用作啟發誘導以尋求思維的變異和發散。在數學學習中，我們可以通過類比學習新知識，也可以通過類比來尋求解題思路，甚至通過類比來推廣數學命題。利用類比法，可使我們的思維能力、觀察能力得到良好的鍛煉。下面我們從數學解題的角度來談談類比法的應用。

1.平面幾何與立體幾何的類比

有些立體幾何問題的解決可類比于平面幾何問題解決的思路方法，有時可簡化運算與推理，優化解題過程.

【例1】如圖1，在四面體ABCD中，截面AEF經過四面體的內切球（于四個面都相切的球）的球心O，且與BC、DC分別截于E、F，如過截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A—BEFD與三棱錐A—EFC的表面積分別為S1，S2，則必有（ ）

（A） S1>S2（B）S1

（D）S1與S2的大小關系不能確定

圖1 圖2

分析：本題是立體幾何問題，將立體中的有關圖形、有關量與平面相應的元素進行類比：

空間 平面

三棱錐 三角形

三棱錐的內切球 三角形的內接圓

三棱錐的表面積 三角形的周長

三棱錐的體積 三角形的面積

由此可得到平面幾何中相應的問題：

如圖2，在△ABC中，直線EF經過其內切圓的圓心O，且與AB、AC分別交于E、F，如果線段EF將△ABC分成面積相等的兩部分，設△AEF與四邊形EBCF的周長分別為L1、L2，求L1、L2關系。

設內切圓半徑為r，將四邊形BCEF分割為△EOB、△BOC、△COF三部分， 將△AEF分割為△AOE、△AOF，則：

S△EOB+S△BOC+S△COF=S△AOE+S△AOF

（BE+BC+CE）r=（AE+AF）r，

∴AE+AF=BE+BC+CE

由此得L1=L2，由類比思維可以猜想例1中的 S1=S2 ，其思路與相應的平面幾何問題相仿，即將四棱錐A-BEFD分割為O-ABD，O-ABE，O-ADF與O-BEFD四部分，而將三棱錐A-EFC分割為O-AEC，O-AFCO-EFC三部分，再利用兩部分體積相等求解，本題答案為C。

我們也可以利用兩類事物之間的相似性或一致性，用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題或猜想。

2.解析幾何中的類比推理

【例2】已知兩個圓：X2+Y2=1①與X2+（Y-3）2=1②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，既要求得到一個更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為 。

【分析】將題設中所給出的特殊方程①、②推廣歸納到一般情況：

設圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2③與（x-c）2+（y-d）2=r2④，其中a≠c或b≠d，則由③式減去④式可得兩圓的對稱軸方程。

評注：本題通過類比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。

3.數列中的類比推理

【例3】定義等和數列：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。已知數列{an}，是等和數列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為 ，這個數列的前n項和Sn的計算公式為 。

【分析】由等和數列的定義，易知a2n-1=2，a2n=3（n=1，2，...）故a18=3

當n為偶數時，；當n為奇數時，

評注：本題以“等和數列”為載體，解決本題的關鍵是課本中所學的等差數列的有關知識及其數學活動的經驗，本題還考查分類討論的數學思想方法。

4.排列組合中的類比推理

【例4】已知數列{an}（n為正整數）的首項為a1，公比為的q等比數列。

歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明。

【分析】通過大膽猜測，歸納猜想出一般性的結論：

歸納概括的結論為：若數列{an}是首項為a1，公比為q的等比數列，則：

評注：本題主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力，突出了創新能力的考查；通過抓住問題的實質，探討具有共同的屬性，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。

三、結束語

綜上所述，類比的思想在我們處理一些數學問題時的確起著十分重要的作用，我們也應該學習類比的思想，但是在利用類比的思想去處理一些問題時，我們也要注意所類比的兩個事物在本質上是否是相同或相似的，不能只顧形式上的一致而忽略本質不同的問題。類比是數學中發現概念、定理、公式的重要手段，也是開拓新領域、創造新分支的重要手段，類比的關鍵是把兩個對象之間的某種相似性確切的表達出來。類比思想有助于培養學生的靈活性、獨創性、廣闊性和敏捷性，值得我們研討。

參考文獻：

[1]鮑曼.數學邏輯學.哈爾濱工業大學出版社，2009.10.10

[2]朱月珍.一種特殊的數學思維方法——類比法.甘肅高師學報，2008.13.5

[3]孫衛東.淺談類比法在數學教學中的應用.甘肅科技縱橫，2006.2