附等式約束線性模型的驗后單位權中誤差最小值的估算及其應用

謝波

(重慶水利電力職業技術學院，重慶 402160)

1 引言

在測量數據處理過程中，往往對待估的參數給予一定的先驗約束條件，如果約束條件為等式約束，則稱之為附等式約束線性模型。合理選擇或增加先驗約束能夠改善解的質量［1，2］和使驗后單位權中誤差產生增益［3～5］。姚宜斌［3］從隨機模型誤差和函數模型誤差兩個方面，推導附加約束條件對平差結果的影響，并以平差后的驗后單位權中誤差減小為條件，分析附加額外約束產生精度增益的條件。劉根友等［4］將附有參數先驗精度信息的平差問題擴展為參數約束平差，在數值上統一為自由網平差和附合網平差，得出一旦觀測網形和觀測方案確定，驗后單位權方差是唯一的結論。鄧興升等［5］采用顧及先驗信息的貝葉斯估計方法，通過設計虛擬觀測值，推導顧及先驗信息的平差函數模型和最優參數估計公式，得到先驗精度和虛擬觀測值的質量與平差精度之間的關系及單位權方差的計算式。

本文根據附等式約束線性模型參數估計的平差過程，利用正定二次型矩陣極值的方法，推導出附加等式約束平差系統的驗后單位權中誤差最小值，并用于平差系統的起算點兼容性檢核，數據驗算例子驗證了作者結論的正確性。

2 附等式約束線性模型的驗后單位權中誤差最小值的估算

測量平差概括模型可以描述為［6］:

其中式(1)為誤差方程，式(2)為等式約束方程，L為n×1觀測向量，n為觀測向量的個數，B為n×u系數矩陣，X為u×1未知參數向量，u為未知參數向量的個數，C為s×u系數矩陣，W為s×1約束向量，s為等式約束個數，V為n×1改正數向量，具有0均值與方差－協方差陣D(△)=σ2Q，Q=P－1是協因數矩陣，P是權矩陣。

當無等式約束時，參數估計:

單位權方差估值:

當附加等式約束時，參數估計:

殘差的二次型:

分析ΩR，其由兩項組成，第一項是不受等式約束影響的，僅考慮第二項△Ω。

根據二次型矩陣的性質［7］:對 X∈Cn，A∈Hn×n，λu≤…≤λ2≤λ1是矩陣A的特征根，則λu|X|2≤XTAX≤λ1|X|2。

由于權陣P為對稱正定矩陣，所以BTPB也是正定矩陣。根據正定矩陣的所有特征根都是正數的性質［8］，矩陣BTPB的特征根λmin＞0。所以，當且僅當或無等式約束的觀測方程的參數估計滿足等式約束方程，即 W=C(BTPB)－1BTPL 時，附等式約束線性模型的驗后單位權中誤差可以取得最小值:

上式和一般的測量平差概括模型的單位權中誤差計算公式的區別在于V為無附加等式約束時的殘差，u為無附加等式約束時未知參數的個數。

3 在起算點兼容性檢驗中的應用

如圖1所示，A、B、C、D為已知點的測角網，觀測值的個數為20，待定點為E、F點2個點。表1為原始觀測值和對D點Y坐標添加 100 mm粗差的單位權中誤差的計算結果。

圖1 測角網

數據分析表 表1

分析:

(1)當起算數據為2個點的坐標時，不論A、B、C、D是何種兩點的組合，也無論D點Y坐標是否存在粗差，測角網的單位權中誤差均為0.82 mm，VTPV=(n－u)=0.822×(20－8)=8.07。這是因為測角網的必要起算數據為2個點的坐標，當測角網僅有必要起算點時，該2點坐標為平差系統提供位置基準、方位基準和尺度基準，單位權中誤差僅由觀測值來確定。

(2)當已知點為3個起算點時，驗后單位權中誤差可以取得最小值

(3)當已知點為4個點時，驗后單位權中誤差可以取得最小值

通過上述分析可以總結，判斷起算點中不兼容點的步驟:

②起算點間兼容性好與差的判斷。計算包含所有起算點的驗后單位權中誤差最小值，超出限差，則起算點間的兼容性較差。

③不兼容點的判斷。在必要起算數據(點)個數基礎上逐個增加起算點，計算增加起算點后的驗后單位權中誤差最小值，超出限差)的組合點中包括不兼容點，超限的組合點的共同點為不兼容點。

4 結論

(1)無等式約束的觀測方程的參數估計滿足等式約束方程時，可以使得等式附約束線性模型的驗后單位權中誤差的估值取得最小值，該最小值由無等式附加約束條件的觀測方程、觀測值的個數和約束條件的個數確定。

(2)附等式約束線性模型的驗后單位權中誤差最小值是測量系統的驗后單位權中誤差的“先驗值”，在沒有驗前統計信息時，可以將其作為限差的基準值，在起算點兼容性檢驗中的應用之，該方法比應用方差檢驗的方法簡單且可靠。

［1］歐吉坤.測量平差中不適定問題解的統一表達與選權擬合法［J］.測繪學報，2004，33(4):283～288.

［2］歐吉坤，王振杰.單頻GPS快速定位中模糊度解算的一種新方法［J］.科學通報，2003，48(24):2572～2575.

［3］姚宜斌.GPS精密定位定軌后處理算法與實現［M］.武漢:武漢大學，2004.

［4］劉根友，郝曉光，柳林濤.參數約束平差法［J］.大地測量與地球動力學，2006，26(4):5 ～9.

［5］鄧興升，陳石橋，丁美青.顧及先驗信息的變形監測網平差［J］.大地測量與地球動力學，2013，33(2):45～48.

［6］於宗儔，于正林.測量平差原理［M］.武漢:武漢測繪科技大學出版社，1990:127～130.

［7］王松桂，吳密霞，賈忠貞.矩陣不等式［M］.北京:科學出版社，2006:121～128.

［8］方保镕，周繼東，李醫民.矩陣論基礎(第二版)［M］.南京:河海大學出版社，2003:108～111.