基于Isight 和RecurDyn 的4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析*

張海強(qiáng)，徐 豐，朱炎龍，白 龍

(河北工程大學(xué) 裝備制造學(xué)院，河北 邯鄲 056038)

0 引言

在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究中，運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的重要對象之一，包括對機(jī)構(gòu)的正解和逆解的計(jì)算［1-2］。雷靜桃［3］等提出邊界搜索法對4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間進(jìn)行了優(yōu)化分析，陳修龍等［4］采用一階影響系數(shù)和二階影響系數(shù)分別對4UPS-RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度和加速度進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，宋小科等［5］基于虛功原理對空間4自由度并聯(lián)機(jī)床4PUS-RPU 進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。

本文以五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)4-UPS-UPU 為研究對象，利用矢量法推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)的位置、速度、加速度表達(dá)式，得到Jacobian 矩陣和Hessian 矩陣，運(yùn)用RecurDyn和Isight 軟件，采用數(shù)值求解與仿真分析的方法對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。實(shí)際結(jié)果表明，機(jī)構(gòu)的理論求解是正確的。

1 4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型

1.1 機(jī)構(gòu)描述

4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)由上平臺、下平臺、連接上下平臺的4 個(gè)驅(qū)動(dòng)支鏈和中間1 條恰約束主動(dòng)支鏈組成，下平臺通過4 個(gè)完全相同的驅(qū)動(dòng)分支UPS(胡克鉸-移動(dòng)副-球副)與上平臺連接，中間支鏈UPU 依次通過胡克鉸-移動(dòng)副-胡克鉸與上平臺相連接［6］。

圖1 4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖

1.2 自由度計(jì)算

根據(jù)空間自由度的計(jì)算公式［7］

式中，d為機(jī)構(gòu)的階數(shù);n為構(gòu)件數(shù);g為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副數(shù)，fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度。該機(jī)構(gòu)中d=6，n=，則F=5。即沿三坐標(biāo)軸的移動(dòng)和繞X、Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。

2 4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置分析

如圖1 所示，并聯(lián)機(jī)構(gòu)上下平臺為邊長不相等的正方形構(gòu)成，邊長分別為a和b，動(dòng)坐標(biāo)系o -xyz固接于上平臺，定坐標(biāo)系O -XYZ固接于下平臺。o點(diǎn)為上平臺A1A2A3A4的幾何中心，x軸平行于A2A3，y軸平行于A1A2，z軸垂直于定平臺方向向上。O點(diǎn)位于下平臺B1B2B3B4的幾何中心，X軸平行于B1B4，Y軸平行于B1B2，Z軸垂直與上平臺向上;中間胡克鉸鉸點(diǎn)分別與動(dòng)定坐標(biāo)系原點(diǎn)重合。

Ai點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系o - xyz的坐標(biāo)為

則

Bi點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系O - XYZ下的坐標(biāo)為

則

o點(diǎn)在定坐標(biāo)系O - XYZ下的坐標(biāo)為

由于機(jī)構(gòu)限制繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所以γ=0°。設(shè)上平臺繞定坐標(biāo)系X軸、Y軸的旋角分別為α、β，則旋轉(zhuǎn)矩陣R 為:

式中，sα=sinα，cα= cosα，其他類似。

上平臺鉸點(diǎn)Ai在定坐標(biāo)系O-XYZ下的位置矢量可以表示為

驅(qū)動(dòng)支鏈的向量可以表示為

則驅(qū)動(dòng)支鏈的長度為

若已知上平臺的位姿，則可求出驅(qū)動(dòng)支鏈的長度，即運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。

2.2 4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)速度分析

設(shè)4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)上平臺的o點(diǎn)的速度為V，則

其中上平臺線速度ν

上平臺角速度為ω，由于機(jī)構(gòu)限制繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所以ωz =0°

上平臺鉸點(diǎn)Ai的速度VAi

其中ri為球鉸鉸點(diǎn)Ai相對于上平臺參考點(diǎn)o的矢徑。

第i條驅(qū)動(dòng)支鏈的速度可以表示為

其中qi為連桿li的單位方向矢量。

將式子(14)代入(15)中，可得

其中，

若J 為非奇異矩陣，則該機(jī)構(gòu)的速度正解為

2.3 4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)加速度分析

驅(qū)動(dòng)支鏈的加速度為桿長對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)［8］，可以表示為

上平臺的加速度可以表示為

其中H 為海賽矩陣，是雅可比矩陣J 關(guān)于位姿參數(shù)φ 對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即

若雅可比矩陣J 非奇異，則該機(jī)構(gòu)的加速度正解為

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)數(shù)值算例仿真分析

多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化軟件Isight 能夠提供實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、近似模型、探索優(yōu)化和6Simga 質(zhì)量設(shè)計(jì)等算法。運(yùn)用上節(jié)建立的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)位置、速度、加速度數(shù)學(xué)模型，利用Isight 集成Matlab 軟件，可以很方便的對機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)值仿真［9］。

如圖1 所示，模型參數(shù)規(guī)定如下:上平臺邊長a =200mm，下平臺邊長b =400mm，初始位姿角α=0 ，β=0 。設(shè)上平臺的姿態(tài)方程為α=1°/s，β=2°/s。上平臺的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

在Isight 中集成Matlab 組件，如圖2 和圖3 所示，設(shè)置輸入變量和輸出變量。

圖2 Matlab 組件工作流

圖3 Matlab 組件編輯界面

采用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法(DOE)，在仿真時(shí)間10s 內(nèi)生成100 個(gè)隨機(jī)位姿，求解結(jié)束后，History 屬性頁可得到100 個(gè)關(guān)于桿長、速度、加速度的點(diǎn)，如圖4 所示。

圖4 樣本點(diǎn)的參數(shù)值列表

在Graphs 屬性頁中，可以繪制桿長、速度、加速度隨時(shí)間的變化曲線，如圖5、6、7 所示。

圖5 Isight 中驅(qū)動(dòng)支鏈長度曲線

圖6 Isight 中驅(qū)動(dòng)支鏈速度曲線

圖7 Isight 中驅(qū)動(dòng)支鏈加速度曲線

4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真驗(yàn)證

RecurDyn 軟件是由韓國FunctionBay 公司開發(fā)的新一代多體系統(tǒng)仿真軟件，能夠創(chuàng)建復(fù)雜的虛擬樣機(jī)模型，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真測試。

4.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的仿真驗(yàn)證

基于SolidWorks，建立4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型，然后導(dǎo)入RecurDyn 中，建立仿真模型［10-12］。在RecurDyn 中添加球副、胡克鉸、移動(dòng)副和笛卡爾驅(qū)動(dòng)Cmotion，并將下平臺固定于大地。如圖8 所示。

圖8 4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)仿真模型

仿真參數(shù)設(shè)置為時(shí)間t= 10s，步長step =100。仿真分析結(jié)束后，利用后處理功能，測量五個(gè)連桿的長度、速度、加速度曲線，如圖9、10、11所示。

圖9 RecurDyn 中驅(qū)動(dòng)支鏈長度曲線

圖10 RecurDyn 中驅(qū)動(dòng)支鏈速度曲線

圖11 RecurDyn 中驅(qū)動(dòng)支鏈加速度曲線

從圖5～7 和圖9～11 可以看出，4UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的理論求解與仿真分析中的逆解所求的曲線完全一致，說明了運(yùn)動(dòng)學(xué)理論求解的正確性。

4.2 機(jī)構(gòu)正解的仿真驗(yàn)證

Isight 集成MATLAB，利用圖4 所示的桿長數(shù)據(jù)和公式(10)編程，求解得到上平臺參考點(diǎn)的位置，繪制圖12 所示的軌跡曲線。

圖 12 上平臺參考點(diǎn)o 的運(yùn)動(dòng)軌跡

利用Isight 運(yùn)行過程中產(chǎn)生的五個(gè)驅(qū)動(dòng)支鏈長度(見圖4)轉(zhuǎn)化為樣條曲線spline，導(dǎo)入RecurDyn 中作為五個(gè)移動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)函數(shù)。

添加完驅(qū)動(dòng)后對仿真模型進(jìn)行10 秒100 步運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析，RecurDyn 仿真結(jié)束后，利用測量功能，測得上平臺參考點(diǎn)o的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖13 所示。

圖13 上平臺參考點(diǎn)軌跡曲線

從圖12 和圖13 可以看出，點(diǎn)o運(yùn)動(dòng)軌跡與我們預(yù)期設(shè)定的完全一致，說明了理論求解的正解性。

5 結(jié)論

(1)以4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為研究對象，在機(jī)構(gòu)模型和數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，從理論上對位置、速度、加速度進(jìn)行了分析。

(2)借助Isight 軟件和RecurDyn 軟件，對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆解和正解進(jìn)行理論分析和仿真分析。實(shí)際結(jié)果表明，機(jī)構(gòu)理論求解的正確性。

(3)4-UPS-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣和Hessian矩陣求解的正確性，為后續(xù)性能指標(biāo)的建立和優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)。

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