TGK46100 數控坐標鏜床機構運動精度可靠性建模分析*

劉 恩，曾 凱，何曉聰，崔崗衛，胡 偉，袁勝萬

(1.昆明理工大學 機電工程學院，昆明 650500;2. 沈機集團昆明機床股份有限公司，昆明650203)

0 引言

裝備制造業是科學技術物化的基礎和高新科技產業化的載體，是國家經濟、國防實力和國際競爭力的突出體現。數控加工中心是數控機床的高端產品，被認為是航空航天、船舶、軍工、汽車等制造業精密零件加工的理想設備［1-2］。TGK46100 數控坐標鏜床是某公司針對市場需求和國內外發展趨勢，研發的具有高速、高精、高效及高可靠性性能的國際先進水平數控臥式坐標鏜床，能夠用于多種復雜零件的精密加工。機床機構的運動精度可靠性是指機構在規定的使用條件下，規定的時間內，準確、及時、協調地完成規定運動的能力［3-4］。運動精度可靠性設計是改善機床質量和提高機床固有可靠性的有效手段［5-7］。由于我國中高檔數控機床的可靠性設計仍處于起步階段，與國外高端數控機床的加工精度和使用壽命相比存在較大差距，因此為了提升產品高精度和高可靠性的指標，對于TGK46100 數控坐標鏜床運動精度可靠性建模及分析的研究具有重要的工程實踐意義。

本文以某公司研制的TGK46100 數控機床為研究對象，基于齊次坐標變換法及多體系統理論，建立了該數控機床的機構運動誤差模型，并將動力源驅動誤差當作隨機變量，參照應力-強度干涉模型建立機構運動精度可靠性計算模型，通過算例分析驗證該方法的可行性。

1 3T1R 型機床機構運動數學建模

TGK46100 數控機床主要由床身、滑座、回轉臺、龍門立柱、滑鞍、主軸箱和主軸等構件組成。機床采用床身和龍門立柱固定連接，工作臺在床身上分別實現Y向移動、繞Z向轉動，主軸在龍門立柱上分別實現X、Z向移動，從而實現了機床對復雜零件的加工。該數控機床的結構如圖1 所示:

圖1 TGK46100 數控機床結構示意圖

在該數控機床的結構基礎上，首先對其進行坐標系的設定。按照成形運動的需要，共有9 個構件，分別是:床身、滑座、回轉臺、工件、滑鞍、主軸箱、主軸、刀具和龍門立柱，對應編號為0～8(如圖1)，由于床身和龍門立柱之間采用螺栓連接，因此在進行坐標系的設定時，可以將其看作一體，基座標系與局部坐標系的方向都與3 個平動方向平行，可以將床身、滑座、回轉臺坐標系的坐標原點都設在回轉臺的中心點O1，滑鞍、主軸箱和主軸坐標系的坐標原點設在主軸端面點O2，刀具坐標系設在刀具下端中心點O3，最后將工作臺坐標系設在工件端面O4。經上述設定，8 個坐標系共有四個位置點，可以將誤差模型的復雜程度降低。

各體之間的特征矩陣包括位置特征矩陣和姿態特征矩陣，而每種特征矩陣又是理想靜止特征矩陣Tsv·p、理想運動特征矩陣Tsv·pe、實際靜止特征矩陣Tsv·s和實際運動特征矩陣Tsv·se組合而成。則在有誤差條件下兩坐標系間的總特征矩陣為:

對于該數控機床的機構運動可靠性分析，我們只考慮動力源驅動力帶來的誤差，其他類型的誤差可以暫時不予考慮，下面對機構進行數學建模。考慮驅動誤差影響下的各個體間的特征矩陣:

滑座和床身間的特征矩陣:

回轉臺和滑座間的特征矩陣:

工件和回轉臺間的特征矩陣:

滑鞍和龍門立柱間的特征矩陣:

主軸箱和滑鞍間的特征矩陣:

主軸和主軸箱間的特征矩陣:

刀具和主軸間的特征矩陣:

式中:ΔβB、ΔγC—繞Y軸和繞Z軸轉動的驅動誤差;

Δxx、Δyy、Δzz—沿X軸、Y軸、Z軸平動運動時的驅動誤差;

B、C—Y、Z軸的回轉運動角。

2 運動誤差模型的建立

設刀具上的成形點Pt在其刀具坐標系下的齊次坐標Pt=(xt，yt，zt)T，而由零件加工工藝導出的在工件坐標系內刀具成形點Pw理論位置變換曲線(即刀具路線)為Pw=(xw，yw，zw)T。

所以刀具坐標系下的成形點在基礎坐標系的坐標表達式為:

工件坐標系下理論加工點在基礎坐標系的坐標表達式為:

在理想無誤差情況下，Pt和Pw應該重合。利用特征矩陣，分別沿著刀具-床身和工件-床身的路線，將兩者分別變換到基座標下，所獲得的基座標值應該相等。但是，機床在實際的成形運動過程中，由于各種因素，不可避免地存在誤差［6］，因此，實際成形運動是一種有誤差的運動，兩者之間存在一個差值，即空間位置誤差:

從而可以得出刀具點在三個坐標軸上的誤差模型為:

3 運動精度可靠性模型的建立

當驅動誤差(任意時刻)相互獨立且均符合正態分布(即ΔβB、ΔγC、Δxx、Δyy、Δzz均符合正態分布，且xω、yω、zω、B、C是固定值)時，則易知機構位置誤差在X，Y，Z各方向上服從正態分布［7，8］。其均值和標準差表達式如下:

式中:Kqsi—某原始誤差Δsi的誤差傳遞數;

μsi—某原始誤差Δsi的均值;

σsi—某原始誤差Δsi的標準差;

Ds—輸出位置誤差的方差;

n—原始誤差的個數。

合方向上位置誤差為:

由矩法可以近似求得總位置誤差的均值和方差如下:

因為Δx，Δy，Δz服從正態分布，可以通過蒙特卡洛模擬法確定合方向上位置誤差Δ 的分布特征。由式(15)可以求得Δx，Δy，Δz的均值和方差，從而通過式(17)求得合方向上位置誤差Δ 的均值和方差。

參照應力—強度干涉模型，可以求得機構運動可靠度R為:

式中:δ—允許極限誤差，Z=δ-Δ，

因此，當已知輸出誤差及允許極限誤差數值特征后，即可求出從動件運動軌跡落入許用精度范圍內的概率，即可靠度R。

4 算例分析

以某公司研制的TGK46100 數控機床為例，其動力源驅動誤差影響因素的參數分布特征如表1 所示:

表1 原始誤差分布規律和數字特征

假定X、Y、Z各個方向上允許極限誤差的均值和標準差分別為μ =0.01，σ =0.004。由零件加工工藝導出的在工件坐標系內的刀具成形點軌跡為xω=80cos(ωt)，yω=300sin(ωt)，zω=10，ω =5°/s，由誤差模型可得在t =0(s)時刻，X、Y、Z各個方向上輸出誤差服從正態分布，且Δx，Δy，Δz均值和標準差分別為μs1=0，σs1=0.0040，μs2=0，σs2=0.0047，μs3=0，σs3=0.0042。帶入機構運動精度可靠性模型可以求得X方向機構運動可靠度R1=0.9616，同理求出Y方向機構運動可靠度R2=0.9474，Z方向機構運動可靠度R3=0.9573。由Δx，Δy，Δz的分布特征可以求得合方向上位置誤差Δ 的分布特征，其均值和標準差分別為μs4=0.0069，σs4=0.0029，又已知允許極限誤差的均值及標準差分別為μ0=0.015，σ0=0.005，同理可以求出合方向上的運動可靠度R4=0.9192。

5 結論

運動精度可靠性是衡量各種機構系統質量好壞的重要指標，能夠反映機構運動精密程度的穩定性。為研究TGK46100 數控坐標鏜床的高精度和高可靠性性能，提出了一種基于多體系統理論和應力—強度干涉模型的3T1R 型數控機床機構運動精度可靠性分析技術路線。算例分析驗證了該方法的可行性，為該類型數控機床的運動精度設計和結構優化提供了理論依據。

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