基于全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪參數化設計及接觸特性

翟秀云，張學剛，謝永春，劉 丹，2

(1.攀枝花學院 機械工程學院，四川 攀枝花 617000;2.西華大學 機械工程與自動化學院，成都610039)

0 引言

齒輪被廣泛地應用于各種機械設備中，主要用來傳遞一定的速度和力矩，力矩的傳遞對齒輪輪齒的強度有一定的要求，其中，增加輪齒間接觸線的長度是提高齒輪強度的一種方式。隨著機械工業的不斷發展，相續出現了直齒圓柱齒輪、斜齒圓柱齒輪、人字齒輪等用于傳遞平行軸運動的齒輪，齒輪副在嚙合過程中，這三種齒輪的齒面接觸線依次增加，人字齒輪的接觸線最長，因為人字齒輪的加工是齒輪中間截面的兩邊斜齒分開加工，所以保證人字齒輪的對稱性是比較困難的。早在1952 年，日本學者長谷川吉三郎［1］第一次提出了弧齒圓柱齒輪，并設計了相應的加工機床，弧齒圓柱齒輪具有接觸線長、嚙合性能好、傳動平穩等優點，由于該齒輪的加工效率低、成本高等原因導致沒有大面積推廣。2000 年以后，臺灣學者Tseng 和Tsay［2-5］采用滾刀法和假想齒條加工法對弧齒圓柱齒輪的接觸特性和幾何特性做了一定的理論研究。2012 年，王少江、侯力等人［6-7］借助UG 的二次開發通過弧齒齒條刀具虛擬加工出弧齒圓柱齒輪的三維實體模型，提出了弧齒圓柱齒輪正確嚙合的條件，即曲線齒輪凹面半徑必須大于等于凸面半徑，當凹面半徑等于凸面半徑時，齒輪達到全齒寬嚙合。

基于全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪和非全齒寬嚙合齒輪的主要區別如圖1 所示。宋愛平團隊在全齒寬嚙合弧齒圓柱齒輪方面作了大量的研究［8-13］，但是沒有提及到齒根過渡曲面的數學模型，其齒面接觸曲線是通過計算兩齒面嚙合平面和齒面的交線獲得，齒輪凸面剛進入嚙合時的接觸曲線分布于齒面完整齒寬。本文根據全齒寬嚙合弧齒圓柱齒輪的嚙合原理，推導出全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪精確齒面和過渡曲面的方程，用MATLAB 軟件編寫人性化的人機交互界面，快速獲取不同參數下的弧齒圓柱齒輪齒面和過渡曲面的數據點，經三維實體建模軟件簡單處理生成精確的齒輪三維模型。最后，直接將兩齒輪凹面和凸面分別對應的離散漸開線接觸，用數值解法計算出弧齒圓柱齒輪齒面接觸的離散點，這些離散點便構成齒面真實接觸曲線，輪齒凸面剛進入嚙合時接觸曲線僅分布于齒面中間。

圖1 齒形示意圖

1 弧齒圓柱齒輪的齒面方程

為了得到精確的全齒寬嚙合弧齒圓柱齒輪實體模型，必須根據齒輪嚙合原理推導出齒輪的齒面方程和過度曲面方程。本文的做法是首先根據全齒寬嚙合弧齒圓柱齒輪的嚙合原理采用包絡線法推導出二維精確過渡曲線和漸開線方程，然后通過坐標變換推導出弧齒圓柱齒輪的齒面和過度曲面方程。

1.1 漸開線和過渡曲線方程

漸開線和過渡曲線的生成按照文獻［14］中提及的方法采用齒條刀具包絡法，首先獲得齒條刀具刀尖曲線參數方程:

對刀尖曲線方程進行變換可求得過渡曲線方程:

其中，

同理，可以獲得齒條刀具齒線參數方程:

其中，- m≤θ ≤m

對齒線方程進行變換可求得漸開線方程:

其中，

過渡曲線和漸開線，即方程(1)、(2)之間的交點可以用三分法求得，在交點處將過渡曲線和漸開線連接起來，即可產生一條完整的齒廓曲線。

1.2 齒面和過渡曲面方程

在文獻［12］中提到，齒面和過渡曲面方程分別由漸開線和過渡曲線經坐標變換而成，其坐標系轉換示意圖如圖2 所示。漸開線和過渡曲線由坐標系S2(X2，Y2，Z2)轉換到坐標系S1(X1，Y1，Z1)中，即可得到弧齒圓柱齒輪的齒面方程和過渡曲面方程。

圖2 坐標系轉換示意圖

因此，齒輪的凹面的方程可以表示為如下形式:

其中，

齒輪凹面的過渡曲面方程可以表示為:

其中，

其中，

在這里只需要推導出弧齒圓柱齒輪一個齒的凹面、凹面的過渡曲面、凸面、凸面的過渡曲面即可，其它齒的齒面可以通過在三維實體造型軟件里面處理完成。

2 弧齒圓柱齒輪齒面參數化程序

由1.2 節推導出的弧齒圓柱齒輪齒面參數方程借助MATLAB 編寫參數化程序，具體操作步驟參見文獻［14］。編寫的用戶交互界面如圖3 所示。

圖3 生成點云的用戶交互界面

將弧齒圓柱齒輪的基本參數輸入人機交互界面，點擊“Generate”按鈕即可顯示出生成的單個齒面圖形和齒面點云文件，將獲得的點云文件轉化為三維實體造型軟件可識別的文件格式導入其中，簡單處理即可生成完整的基于全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪，如圖4所示。

圖4 基于全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪三維實體模型

3 弧齒圓柱齒輪的接觸特性

弧齒圓柱齒輪在嚙合過程中，相互接觸的兩個齒面分別為大(小)齒輪凸面和小(大)齒輪凹面。為了研究齒輪的接觸特性，我們根據1.2 節中推導的齒輪凸面和凹面方程，經坐標變換，分別表達出大(小)齒輪凸面和小(大)齒輪凹面方程使兩齒面的中截面處的兩條漸開線剛好相互接觸，因為在弧齒圓柱齒輪齒面中截面處至少存在一個接觸點。

齒輪1 的轉動動態凸面方程表示為:

其中，

參數φ 表示齒輪1 嚙合時的瞬時轉動角;M1r表示齒輪1 繞齒輪2 中心的轉動矩陣。

齒輪2 的轉動動態凹面方程表示為:

其中，

參數z1、z2分別表示齒輪1 和齒輪2 的齒數;φ＇表示齒輪2 嚙合時的瞬時轉動角;為了使兩齒輪的齒面存在初始接觸，就必須調整齒輪2 齒面的位置，Mcr表示齒輪2 上凸面的調整矩陣;M2r表示齒輪2 繞齒輪2中心的轉動矩陣;矩陣［xc yc zc］T表示齒輪1 和齒輪2之間的中心距。

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為了計算出齒面間的接觸曲線我們將組成齒輪凹面和凸面的漸開線按一定步長分布，使凹面和凸面上的漸開線一一對應，然后計算每兩條對應漸開線間的接觸點，通過B 樣條曲線連接漸開線上的接觸點，從而構成齒面間的接觸曲線，漸開線間步長越小，擬合出的接觸曲線也就越精確。具體計算過程如下(參見圖5):

(1)分別將齒輪1 的凸面和齒輪2 的凹面上的漸開線步長h統一，使兩齒面間的漸開線一一對應，便于計算漸開線間的接觸點;

(2)將兩條漸開線投影到x坐標軸上，找出兩條漸開線公共部分的范圍;

(3)將組成兩條漸開線公共部分的坐標點的x坐標合并在一起，用幾何插值法處理公共部分的坐標點的x坐標;

(4)將處理后得x坐標還原到兩條漸開線上，便于計算公共x坐標點xi對應的y(xi)值，當y2(xi)-y1(xi)=0 時，兩對應漸開線存在接觸點;當y2(xi)-y1(xi)≠0 時，兩對應漸開線間不存在接觸點;

(5)修改步長h重復(1)～(4)步，計算下一個對應漸開線間的接觸點;

(6)將計算出的每個接觸點依次用B 樣條曲線連接，形成齒面間的接觸曲線。

圖5 對應漸開線間接觸點計算說明圖

齒面間的接觸曲線隨著齒輪的轉動而變化。在標準安裝條件下，本文僅分析了齒輪副凸面進入嚙合到退出嚙合四個嚙合位置(轉角φ = 12°，9°，- 9°，-15°)的接觸曲線。齒輪副的基本參數為Z1=20，Z2=30，mc=4，RT=30，B=30。四個嚙合位置齒面接觸曲線如圖6 所示。

圖6 齒輪側面觀察四個嚙合位置在凸面上的接觸曲線

圖6a 到圖6d 依次表示凸面進入嚙合到退出嚙合的過程。從圖可以看出凸齒面剛進入嚙合的時候接觸線分布在齒面中間;凸面完全進入嚙合的時候接觸線分布于整個齒面;退出嚙合的時候接觸線分布于凸齒面兩端。

4 結論

以上內容闡述基于全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪的精確參數化設計，并分析了該齒輪的接觸特性，得出以下結論:

(1)齒根過度曲面模型的建立為全齒寬嚙合的弧齒圓柱齒輪有限元精確齒根應力分析奠定了基礎;

(2)該弧齒圓柱齒輪的嚙合曲線關于齒輪中截面對稱;

(3)齒輪剛進入嚙合和退出嚙合時的接觸曲線均分布于齒面局部。當凸面剛進入嚙合時接觸曲線分布于齒面中間，當凸面剛退出嚙合時接觸曲線分布于齒面兩端;

(4)當齒輪轉動到全齒寬嚙合位置時，接觸曲線比直齒輪接觸曲線更長。

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