關于保守力判斷的數學形式

劉紅梅 汪 瑜 徐 瑩

(空軍航空大學基礎部 吉林 長春 130022)

對于保守力的概念，在書中基本上都是從討論重力、萬有引力、彈簧彈力做功角度出發，觀察共同特點得出兩種表述方式：一種是做功只與始、末位置有關，與質點經歷的路徑無關，把具有這種做功性質的力稱為保守力；另一種表述即質點沿任意閉合路徑運動一周，保守力對它所做的功為零，數學表達式

A=∮lF·dl=0

課本上這樣講解之后，學生并不能真正理解什么樣的力是保守力，只能片面地記住以上3種力是保守力，并且別人問為什么時，只把前面概念重復一下，對于保守力并沒有深刻的認識.本文從力的數學表達式出發，把抽象的保守力概念形象起來.

先來看幾個力的表達式，為方便我們把它們用直角坐標表示出來，判斷這幾個力中哪些是保守力，如：(1)F=(4-2y)i；(2)F=yi+yj；(3)F=3.5x2+x+5；(4)F=x2i+yj；(5)F=2i-yj+2zk.在這幾個力中(1)、(2)是非保守力，(3)、(4)、(5)是保守力.在文獻[1]中有一道讓學生認識功是過程量的實例，我們從此實例出發，歸納其中的特點.

【例題】[1]一質點沿如圖1所示的路徑運動，求力F=(4-2y)i(SI)對該質點所做的功：

(1)沿ODC；(2)沿OBC.

圖1

解析：(1)質點沿ODC從O運動到C

由題意知Fx=4-2y,Fy=Fz=0，在O到D的路徑上，y=0,x從零變到2 m；在D到C的路徑上，力F與路徑垂直而不做功.因此,F所做的功為

(2)質點沿OBC從O運動到C

同理，在O到B的路徑上力F與路徑垂直而不做功；在B到C的路徑上y=2 m，x從零變到2 m.因此，F所做的功為

可見此力做功與路徑有關，力F=(4-2y)i為非保守力.

依照上題的解法，如果力的表達式變化了，讀者可以自行證明上述5個力的表達式中，哪些力做功與路徑無關，哪些有關，可以清楚地看出之前結論的正確性.

下面我們總結一下，如何從數學表達式上來看一個力是不是保守力.理論很簡單，來源于功的定義：力所做的功(含義1)等于力與力方向上位移的乘積.想讓力所做的功與路徑無關只與始末位置有關，只需要這個力在任一方向上的分量滿足一個條件，即如果力在某一方向上的分量是某一變量的函數，則要求這一變量必須為此方向變量,比如上述5個力表達式中(3)、(4)、(5)在x軸上的分量分別為變量3.5x2+x+5，x2和常量2，均為x的變量；在y軸上的分量分別為常量零和變量y，-y，均為y的變量；在z軸上的分量分別為常量零，零和變量2z，均為z的變量，所以保守力的函數應為

F=f(x)i+f(y)j+f(z)k

以上結論可以加強學生對保守力的認識，更好地理解什么樣的力做功與路徑無關，保守力的特性如何在坐標系中體現出來，更直觀、形象.但我們也要清醒地認識到這一結論僅是保守力的充分條件，并不是所有的保守力都能寫成上述形式.

參考文獻

1 康穎. 大學物理(第二版).北京：科學出版社，2010 . 54～55