對一道物理高考題錯解分析及創新解答

金旭統 黃國龍

[浙江省寧波鎮海中學高二(1) 浙江 寧波 315200] (浙江省寧波鎮海中學 浙江 寧波 315200)

1 物理高考原題

【題目】(2013年高考浙江理綜卷第25題)為了降低潛艇噪音，提高其前進速度，可用電磁推進器替代螺旋槳.潛艇下方有左、右兩組推進器，每組由6個相同的用絕緣材料制成的直線通道推進器構成，其原理示意圖如圖1所示.在直線通道內充滿電阻率ρ1=0.2 Ω·m的海水，通道中a×b×c=0.3 m×0.4 m×0.3 m的空間內，存在由超導線圈產生的勻強磁場，其磁感應強度B=6.4 T，方向垂直通道側面向外.磁場區域上、下方各有a×b=0.3 m×0.4 m的金屬板M,N，當其與推進器專用直流電源相連后，在兩板之間的海水中產生了從N到M,大小恒為I=1.0×103A的電流，設電流只存在于磁場區域.不計電源內阻及導線電阻，海水密度ρ2=1.0×103kg/m3.

(1)、(2)略.

(3)當潛艇以恒定速度v0=30 m/s前進時，海水在出口處相對于推進器的速度vr=34 m/s，思考專用直流電源所提供的電功率如何分配，求出相應功率的大小.

圖1

2 常見的錯誤解答

為了突出重點，簡化討論，本文中只討論一個通道推進器所消耗的電功率.

筆者發現較多學生和教師解答這個問題時存在如下常見錯誤解答.

錯解1：在地面參照系中，安培力推動潛艇功率為P電1，滿足

P電1=BIcv0

(1)

從管道右側出來的海水相對地面的速度為vd=vr-v0=4 m/s，Δt時間內有質量為m的水相對地面由靜止加速到速度為vd.令右端出水口面積為S3，安培力做功使水加速消耗電功率為P電2，滿足

(2)

(3)

m=ρS3vrΔt

(4)

電阻上消耗的熱功率為

Pr=I2R

(5)

(6)

由式(1)～(6)，結合S3=0.12 m2，解得Pr=5×105W，P電1=5.76×104W，P電2=3.264×104W，消耗的總電功率為

P電=P1r+P電1+P電2=5.902 4×105W

(7)

m=ρS3vrΔt

(8)

由式(7)、(8)，結合S3=0.12 m2解得

消耗總電功率為

P電=Pr+P電2′=1.022 24×106W

3 錯解原因分析

二種錯解的共同錯因是沒有考慮到使水加速的因素除了安培力做功外，潛艇通道左右端的水對進入通道的水也要做功.這一點我們可以從以下特殊事例得到證實.

假若沒有安培力，潛艇通道向左運動，根據連續性原理(v1S1=v3S3)可知流出右端管道口S3水流速度v3比流入左端通道口S1水流速度v1要大，主要是由于通道兩端水對進入管道的水要做功，從而導致這部分水動能增加.在本問題中，由于安培力對水做功和通道左右的水對流入通道的水共同做功使這部分水動能增加.不能認為安培力做功所消耗的電能等于流進通道部分水的動能增量.下面通過在地面和潛艇參照系中分析、計算安培力做功所消耗的電能.

3.1 潛艇參照系中分析

圖2

如圖2所示，在潛艇參照系中，水相對潛艇在3個橫截面上的速度分別為v1r=30 m/s,v2r=v3r=34 m/s，壓強分別為p1r,p2r,p3r.

根據伯努利方程和連續性原理得p1r，p2r的關系為

(9)

v1rS1=v2rS2=v3rS3

(10)

由式(9)、(10)，結合S2=S3=0.12 m2，解得

v2r=34 m/sp1r=p2r+1.28×105Pa

根據直道內水流勻速運動得

p2rS2+BIc=p3rS3

(11)

由式(11)解得

p2r=p3r-1.6×104Pa

p1r=p3r+1.12×105Pa

(12)

(13)

Δm=ρS3v3rΔt

(14)

由式(12)～(14)得

消耗的總電功率為

3.2 地面參照系中分析

圖3

如圖3所示，在地面參照系中，令在潛艇通道中三個橫截面處水流的速度分別為v1,v2,v3，壓強分別為p1,p2,p3，潛水艇相對地面速度為v0=v1r=30 m/s.根據相對性原理可知3個截面處的壓強p1,p2,p3關系不變，即

p1=p2+1.28×105Pa

p2=p3-1.6×104Pa

p1=p3+1.12×105Pa

通道兩端水對流進通道中水所做功為

W外=p1S1v1Δt-p3S3vdΔt

(15)

由于v1=0，因而式(15)變為

W外=-p3S3vdΔt

(16)

其中vd=4 m/s.通過通道中水的動能增量為

(17)

其中vr=v3r=34 m/s.令安培力做功消耗電功率為P安，水對潛艇阻力為f，方向與潛艇速度v0方向相反(向右).對潛艇和流進通道中水的整體運用功能關系，列出

P安Δt+W外-fv0Δt=ΔEk

(18)

對潛艇和流進通道中的水整體運用動量定理，列出

p1S1Δt-p3S3Δt+fΔt=Δmvd

(19)

由式(16)～(19)解得

ρS3vrvdv0-p1S1v0

(20)

由式(20)結合v0S1=vrS3,v0+vd=vr解得

ρS3vrvdv0

(21)

由式(21)和相關數據解得P安=6.528×104W，消耗的總電功率P電=5.652 8×105W，結果與潛艇參照系所得結果相同，符合相對性原理.

4 創新解答和對高考標準答案中解法的質疑

4.1 創新解法

創新解法1：地面參照系功率法

在地面參照系中，根據連續性原理v2S2=v3S3，水在長方體管通道內應做速度為vd=4 m/s勻速運動.安培力做功消耗電功率即為安培力對流進通道中的水所做功功率和反作用力對潛艇做功功率之和，滿足

P安=BIcv0+BIcvd

(22)

由式(22)，結合v0=30 m/s,vd=4 m/s解得

P安=6.528×104W

消耗的總電功率為

P電=5.6528×105W

創新解法2：潛艇參照系功率法

潛艇參照系中，根據連續性原理，水在長方體管道內應做速度為vr=34 m/s的勻速運動，安培力對流進管道內水所做功消耗的電功率滿足

P安=BIcvr

(23)

由式(23)解得P安=6.528×104W，消耗的總電功率為P電=5.6528×105W，結果與地面參照系解答結果相同，符合相對性原理.

4.2 對高考標準答案解法的質疑

標準答案中，求解電阻上消耗熱功率和安培力推動潛艇做功消耗的電功率的方法是正確的，但求解安培力推動水做功消耗的電功率P電2的方法存在問題.標準答案中具體求解如下

(24)

(25)

m=ρS3vdΔt

(26)

解得

P電2=3.84×103W

P電=Pr+P電1+P電2=5.614 4×105W

根據標準答案中上述解法，可以理解為長方體通道中水受到合外力為安培力(要求p2=p3)，長方體通道中水在安培力作用下向右由靜止開始做勻加速運動.按照這個模型，運用功率法可以求得安培力對長方體通道中水做功的功率為

(27)

由式(27)得P電2=3.84×103W，這個結果與標準答案相同.然而，按照這個模型，長方體通道中水流速度與橫截面積之積(vS)隨著速度變大而變大，與連續性原理矛盾.因而，筆者認為，根據連續性原理，水流運動比較合理的模型應是，在斜通道中，水流速度隨著橫截面積變小而變大；在長方體通道中，由于橫截面積不變，水流速度也不變，水做勻速運動.此情形下，安培力對長方體通道中水做功消耗電功率滿足

P電2Δt=BIcvdΔt

(28)

由式(28)解得P電2=7.68×103W，消耗的總電功率為P電=Pr+P電1+P電2=5.652 8×105W.