通過“幾何畫板”使抽象思維形象化與動態化

季衛新

(南京師范大學附屬中學江寧分校 江蘇 南京 211102)

“從生動的直觀到抽象的思維”是人類認識發展的基本規律.正確地運用直觀性學習原則，可以激發學生的學習興趣和熱情，引起對教學內容的選擇性知覺，從而有助于對所學知識的領會、理解和掌握,提高學習的質量.因此，抽象思維“形象化”是當前應著手解決的問題，而解決的辦法之一，就是用“畫”來完成對抽象思維的描述和詮釋，通過“幾何畫板”使抽象思維形象化、動態化，可以幫助學生分析和理解問題.

1 一條光學競賽題

【例1】(2009年上海市第二十三屆初中物理競賽初賽試題第26題)如圖1(a)所示，平面鏡OM與ON夾角為θ，光線AB經過平面鏡的兩次反射后出射光線為CD．現將平面鏡OM與ON同時繞垂直紙面過O點的軸轉過一個較小的角度β，而入射光線不變，如圖1(b)所示．此時經過平面鏡兩次反射后的出射光線將

圖1

A．與原先的出射光線CD平行

B．與原先的出射光線CD重合

C．與原先的出射光線CD之間的夾角為2β

D．與原先的出射光線CD之間的夾角為β

1.1 抽象思維解題模式

因為保持平面鏡OM與ON夾角θ不變，將平面鏡OM與ON同時繞垂直紙面過O點的軸轉過一個較小的角度β，則入射角增大或減小β，反射角也增大或減小β，所以反射光線與入射光線的夾角是2β，即反射光線偏轉2β角.

又因為平面鏡OM與ON同時繞垂直紙面過O點的軸轉過一個較小的角度β時，兩平面鏡OM與ON仍互成θ角，角度沒變，所以第二次的反射光線方向不變；又因為入射光線不變，所以此時經過平面鏡兩次反射后的出射光線將與原先的出射光線CD重合．故選項B正確．

1.2 抽象思維解題模式的點評

該題是一道典型的“抽象思維”題，對于初中學生來說，沒有圖1(b)的輔助，幾乎無法思考.該題抽象之處在于，雖然有兩個“不變量”——入射光線AB方向不變和平面鏡OM與ON夾角θ不變.但是，當平面鏡OM與ON同時繞垂直紙面過O點的軸轉過一個較小的角度β時，入射光線AB在平面鏡ON表面進行反射的反射光線B′C′的方向要發生改變；同時，由于平面鏡OM的位置(或者稱之為角度)也會發生改變，導致在轉動過程中出現了3個“變化量”，那么最后的二次反射光線C′D′是否會發生改變呢？如果變，怎么變呢？

所以，即使有了圖1(b)的輔助，但是由于學生“抽象思維”能力的缺陷，仍然無法在頭腦中展現完整的“轉動過程”的“思維圖像”，因此在思維過程中仍然是“抽象”的，無法理清楚3個“變量”導致的結果是什么.

把這3個“變量”再次明確一下，一是平面鏡ON的位置；二是入射光線AB在平面鏡ON表面進行反射的反射光線B′C′的方向；三是平面鏡OM的位置.

1.3 利用“幾何畫板”形象“畫”來分析

本文使用的是《幾何畫板》5.06最強中文版，該軟件可以很容易在網絡上下載，不再多介紹.關于該軟件的基本操作和術語，也請自行學習和參考軟件附帶的《使用手冊》.

1.3.1 “畫”的方法和步驟

(1)點擊“角工具”， 選擇“作45°角”，作出一個固定角度的“角”，并且把兩條邊分別標注為“OM”和“ON”，將角度標注為θ，這就是“夾角為θ的平面鏡OM與ON”.

(2)點擊“直線工具”，畫出一條只與平面鏡ON相交的直線，該直線與ON的交點標注為“B”，則該直線就是“入射光線AB”.

(3)選擇“直線ON”和“點B”，點擊“構造菜單”，選擇“垂線”，并且將該直線改為“虛線”，則該直線就是過B點ON的“法線”.

(4)選擇“ON的法線”，點擊“變換菜單”，選擇“標記鏡面”；然后選擇“入射光線AB”，點擊“變換菜單”，選擇“反射”，即可得到AB的反射光線，該直線與直線OM有一個交點，請標注為“C”，則直線BC就是第一次的反射光線.

(5)選擇“直線OM”和“點C”，點擊“構造菜單”，選擇“法線”，并且將該直線改為“虛線”，則該直線就是過C點OM的“法線”.

(6)選擇“OM的法線”，點擊“變換菜單”，選擇“標記鏡面”；然后選擇“入射光線BC”，點擊“變換菜單”，選擇“反射”，即可得到BC的反射光線，則該直線就是第二次的反射光線.

到此，“畫”的步驟結束，請將文件保存.最終效果圖如圖2所示.

圖2 最終效果圖

1.3.2 “思考”的注意點和過程

將鼠標點擊“移動箭頭工具”，選擇“點N”，鼠標左鍵按住不放，上下拖動，使得“∠MON”繞點“O”轉動，即相當于“將平面鏡OM與ON同時繞垂直紙面過O點的軸轉過一個較小的角度β”.很明顯可以直觀地觀察到“直線CD方向不變”，從而得到答案為選項B.與原先的出射光線CD重合．

(1)為了便于觀察和比較“直線CD方向是否不變”，可以單獨“畫”一條直線，使其與“直線CD重合”.因為單獨“畫”的那條直線位置和方向都不會發生改變，可以作為比較的參照物.

(2)為了使畫面簡潔、明了，可以將兩條“法線”設置為“隱藏”，或者將 “顏色”設置為淺色.

(3)為了使結論更具有普遍性，應該將點“N”向上和向下都拖動.

(4)也可以設置一個函數，用以改變“∠MON”的度數，增加結論的普遍性,甚至調整到90°，來演示“角反射器”的效果.

2 一道力學中考題

圖3

【例2】(2005年北京市海淀區中考試題)古代護城河上安裝的吊橋可以看成一個以O為支點的杠桿，如圖3所示.一個人通過定滑輪用力將吊橋由圖示位置緩慢拉至豎直位置.若用L表示繩對橋板的拉力F的力臂，則關于此過程中L的變化以及乘積FL的變化情況，下列說法正確的是

A．L始終在增加，FL始終在增加

B．L始終在增加，FL始終在減小

C．L先增加后減小，FL始終在減小

D．L先減小后增加，FL先減小后增加

2.1 抽象思維解題模式

當吊橋被吊起的過程中，如圖4中虛線位置1所示，吊橋重力的力臂L′在減小，而吊繩的拉力的力臂L卻在增大，根據杠桿的平衡條件FL=GL′可知，FL在減小；當吊橋被吊到虛線位置2的過程中，重力的力臂L′繼續減小，所以FL仍在減小，而F的力臂L則由大變小．故選項C正確．

圖4 最終效果圖

2.2 抽象思維解題模式的點評

與所有的抽象題型一樣，本題也是一個動態變化題.當吊橋被吊起的過程中，只有一個不變量——吊橋的重力G.在動態變化過程中，存在3個變量，一是吊橋重力的力臂L′；二是吊繩拉力的力臂L；三是吊繩的拉力F.

根據杠桿的平衡條件FL=GL′可知，該過程共存在4個量.一般情況下，利用杠桿的平衡條件進行定性分析時，需要確定兩個量“不變”，那么第4個量隨第3個“變量”而“變”的關系就可以判斷了.如果存在3個同時改變的“變量”，則問題就復雜多變，而且“抽象”了.

同樣，雖然可以通過“畫”分析圖來幫助理解和思考，但是由于 “畫”在紙上的圖片是“靜態”的，無法做到“同步動態”展現，所以導致思維過程仍然具有很大的“抽象性”.

2.3 利用“幾何畫板”形象“畫”來分析

同例1一樣，下面先介紹“動畫”的制作過程.為了使效果更具有適用性，下面的過程將涉及到一些“函數”的使用和較復雜的構造.

2.3.1 “畫”的方法和步驟

(1)點擊“線段工具”，在畫板上畫出一條線段，該線段代表地面.

(2)點擊“點工具”，在“地面”上隨意確定一個點；點擊“線段工具”，過剛才的點畫出一條垂直“地面”的線段，長度適中，該線段代表“城墻”.

(3)點擊“數據菜單”，選擇“新建函數”；將“名稱”命名為“吊橋長度”；“初始值”為“4”；“單位”選擇“距離”.

(4)點擊“點工具”，在“城墻”線段下方確定一個點“O”，作為“吊橋”的支點.

(5)選擇點“O”和函數“吊橋長度”，點擊“構造菜單”，選擇“以圓心和半徑繪圓”，可以得到一個圓O，其半徑可以隨函數“吊橋長度”數值的改變而改變；其位置可以隨點“O”的改變而改變.

(6)點擊“點工具”，在圓O右側弧上確定一個點“D”；選擇點“O”和點“D”，點擊“構造菜單”，選擇“線段”，這樣可以得到線段OD，則代表“吊橋”.

(7)點擊“圓工具”，以“城墻”上端的端點為圓心，畫出一個很小的圓，作為“城墻上的定滑輪”.

(8)點擊“點工具”，在“定滑輪”上部確定一個點“K”，選擇點“K”和點“D”，點擊“構造菜單”，選擇“線段”，這樣可以得到線段“KD”，則代表“吊繩”.

(9)選擇點“O”和線段“KD”，點擊“構造菜單”，選擇“垂線”，該垂線與線段“KD”的交點標注為“A”；選擇點“O”和點“A”，點擊“構造菜單”，選擇“線段”，這樣可以得到線段“OA”，則代表“動力臂L”；隱藏剛才的“垂線”，并且把線段“OA”設置為“虛線”.

(10)點擊“點工具”，在圓O右側弧上確定一個點“E”，使直線“OE”與“城墻”夾角為90°；將點“D”移動到與點“E”重合，此時直線“KD”與圓O有一個交點；點擊“點工具”，在圓O右側弧上該位置確定一個點“N”.

(11)先后選擇點“D”和點“N”，點擊“編輯菜單”，點擊“操作類按鈕”，選擇“移動”，則出現如圖5所示窗口.將“標簽”命名為“向上拉動”，其余設置如圖5所示.

圖5 操作類按鈕

(12)先后選擇點“D”和點“E”，點擊“編輯菜單”，點擊“操作類按鈕”，選擇“移動”.將“標簽”命名為“復位”，其余設置同上.

(13)點擊“點工具”，在線段“OD”大約中點位置上確定一個點“B”；選擇點“B”和“地面”，點擊“構造菜單”，選擇“垂線”，得到的直線代表“豎直方向”(就是重力方向)；點擊“線段工具”，過點“B”畫出一條合適長度的線段，代表“吊橋的重力”.

到此，制作大功告成，可以將一些輔助線條和元素隱藏，使畫板較為清晰.最終效果如圖6(a)所示.

圖6 吊橋長度較小

2.3.2 “思考”的注意點和過程

為了能直觀、顯現地動態顯示“力臂”的變化，可以使用“幾何畫板”的“追蹤功能”.例如，本文采用了“追蹤點”的功能.

方法很簡單,選擇需要“追蹤”的對象，點擊“顯示菜單”，選擇“追蹤……”即可；也可以在選擇需要“追蹤”的對象后，右擊鼠標，在彈出的窗口直接選擇需要的“追蹤對象”.本題中，最好同時追蹤“動力臂L”和“阻力臂L′”.

另外，本題需要分以下兩種情況進行分析：

(1)如圖6(a)所示，如果吊橋長度比城墻高度小得較多.通過軟件的運行和動態過程軌跡顯示，如圖6(b)所示，動力臂OA的末端運動軌跡為b-c-b-a.非常直觀地顯示出動力臂的變化情況是,先由小變大，再由大變小；而且，在整個過程中，動力臂卻是始終大于阻力臂的.

(2)如果吊橋長度比城墻高度大的話，設計界面如圖7(a)所示.通過軟件的運行和動態過程軌跡顯示，如圖7(b)所示.動力臂OA的末端運動軌跡是單一方向的.非常直觀地顯示出動力臂的變化情況是一直變大.

由上可以看出，借助“幾何畫板”巧妙“用圖”不但能解決難題，而且還有發散性探究樂趣，對于抽象的物理問題的分析是非常有益的.

圖7 吊橋長度較大

3 結束語

“幾何畫板”是“直觀幾何計劃”的一部分，它具有豐富的圖形繪制功能、 “動態性”、獨特的“度量”和“計算”功能、操作方便簡單等特點.

強大的圖形和描繪軌跡等動畫功能動態地保持了幾何圖形中內在的、恒定不變的幾何關系及規律，可從中觀察事物的現象，通過類比和分析提出問題、解決問題，從而發現恒定不變的幾何規律，化抽象為形象，化靜態為動態，能寓趣味性、技巧性和知識性于一體.

使用幾何畫板制作課件，體現的不是編程水平，而是教師的教學思想和教學水平以及幾何構建思想.許多物理難題，由于其題設情境一般都是動態的，變化性強，需要學生擁有很強的“抽象思維能力”.借助“幾何畫板”，利用軟件特點，可以很容易做到將“抽象思維”進行“形象‘畫’”，從而使思維變得形象、動態，降低問題的難度，讓學生可以更多地獲取成功的體驗，增強對物理學科的興趣.

參考文獻

1 朱鐵成. 形象思維和抽象思維的本質及其對物理教學的啟示. 浙江師范大學學報(自然科學版),2001(01)

2 朱鐵成,陳報南. 物理學習形象思維和抽象思維的特點探討. 廣西物理,2000(04)

3 潘麗珍. 中學物理教學中形象思維能力培養初探:[學位論文]. 福州：福建師范大學，2013