探究時間常量的公式與含義

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

時間常量是高等學校教材如電子線路、電工基礎和電磁學中與暫態電路密切相關的一個比較重要的物理量.暫態電路的充電或放電過程屬于瞬態過程，而時間常量是瞬態過程的一個特征量，不同的瞬態過程具有不同的時間常量公式.下面按3種情況舉例分析.

1 在線性力作用下的物體做變速直線運動過程的時間常量

包括兩種情形，一是物體受恒定動力和線性阻力共同作用的變加速直線運動過程；二是物體只受線性阻力作用的變減速直線運動過程，都為瞬態過程.而線性力是指與速度成正比的力f=kv.

【例1】如圖1所示，光滑U型金屬導軌PQMN水平固定在豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度為B，導軌的寬度為l，QM之間接有阻值為R的電阻，其余部分電阻不計.一質量為m，電阻也為R的金屬棒ab放在導軌上，給棒一個水平向右的初速度v0使之開始滑行，最后停在導軌上.由以上條件，在此過程中可求出的物理量有[1]

圖1

A.在電阻R上產生的焦耳熱

B.通過電阻R的總電荷量

C.ab棒的運動位移

D.ab棒的運動時間

解析[2]：由能量守恒定律可知焦耳熱為

金屬棒所受合外力為安培力

F=Bli

電流隨時間而變化，則安培力對時間的平均值為

由動量定理有

可得總電荷量為

電路中的電流為

金屬棒受到的安培力為

令

則安培力的沖量為

因此由動量定理有

-ks=0-mv0

所以位移為

故答案為選項A，B，C.

那么“選項D”為什么不可求？下面進行分析.

由牛頓第二定律列微分方程為

可變形為常系數線性微分方程的標準形式

穩態速度為v=0，利用瞬態過程的結論[3]可得速度與時間的關系式為

圖2

利用積分公式

可知圖像與坐標軸在區間[0,t]上圍成圖形的面積為

(1)

因此在全區間的最大面積為

這表明，按指數規律遞減的速度圖像的面積即位移等于速度初始值與時間常量之積.

在數學上，運動時間趨于無窮大，但運動位移卻為有限值.這與無窮遞減等比數列的和相似，如

雖然項數無限，但其和為定值1[2].

對于

由等比數列前n項和公式可知

(2)

可見式(1)、(2)相似，都為遞減指數函數，因此只有當自變量無限大時，和才為有限值.由于關系式中的時間變量在數學上為無窮大，所以不可求.

2 暫態電路充電和放電過程的時間常量

2.1 RL暫態電路

【例2】如圖3所示為RL串聯電路，電阻R與純電感線圈串聯，線圈的自感系數為L，直流電源內電阻不計，那么當閉合開關的瞬時，電路中的電流將如何變化呢[4]？

圖3

解析：當開關S閉合后，由于電路中的電流從無到有，突然增大，則線圈產生自感電動勢為

它將阻礙線圈中電流的增大，使電流不能立刻達到最大值，而是經歷一定的時間才能達到最大值，所以電流的變化過程是瞬態過程.由基爾霍夫電壓定律列出回路電壓方程為

E-UR-UL=0

即

變為標準形式

i=i+(i

對函數關系式取導數并將t=0代入，可得過圖像起點切線的斜率為

表明圖像的切線與漸近線交點的橫坐標為τ，等于時間常量.

圖4

對于指數函數

x=x+(x0-x

若x=0，則有

如高中的斷電自感實驗，在斷開電源之后，通過線圈的感應電流變化規律為

其中

可見，放電電流隨著時間變化的關系為單調遞減，其圖像與圖2相似.從數學角度來看，斷電后感應電流持續的時間無限長；而在實際上，經過時間5τ時，感應電流i=0.006 7i0，一般就可以認為電流已減弱為零了，即感應時間也是有限的，所以物理上把這一過程稱之為暫態過程[1].

對于指數函數

x=x+(x0-x

若

x0-x=b>0

則

x=x

表明圖像起點的切線與漸近線交點的橫坐標為時間常量τ.

圖5

所以，瞬態過程的變量隨時間呈指數規律變化的圖像是以x=x=f()為漸近線的指數曲線，指數曲線起點的切線與漸近線交點的橫坐標為時間常量τ.若從變化率的角度而言，則初始變化率等于變化量的最大值與時間常量之比.

如圖4中的A點，當t=τ時，有

則iA=0.63i.這表明，時間常量是表示瞬態過程的變量已經變化了總量(瞬態過程變化量的最大值)的63%所經歷的時間[4].

由于最大變化量x，x0或b=x0-x是一定的，則時間常量τ越小，指數曲線就越陡直，變量的變化就越快；反之，時間常量τ越大，指數曲線就越平緩，變量的變化就越慢.因此時間常量是反映瞬態過程變化快慢的物理量.

以上幾方面是暫態電路時間常量的含義，也是瞬態過程中時間常量的含義.

2.2 RC暫態電路

【例3】如圖6所示的閃光燈電路中，電源的電動勢為E，電容器的電容為C，當閃光燈兩端電壓達到擊穿電壓U時，閃光燈才有電流通過并發光，正常工作時，閃光燈周期性短暫閃光，求電容器兩端的電壓uC如何變化.試畫出uC-t圖像[5].

圖6

解析：(1)在電容器充電過程中，閃光燈相當于開路，電容器與電阻R串聯，組成RC串聯電路.

已知電容器電壓的初始值為u0=0，當瞬時值為uC時，電容器中增加的電荷量為q=CuC，則充電電流為

對RC串聯電路由閉合電路的歐姆定律有E=iR+uC.即

這是關于uC的一階常系數微分方程.由此可知電壓穩態值為u=E，時間常量為τ=RC，而電容器電壓的初始值為u0=0，利用瞬態過程的結論可知電容器兩端電壓隨時間的變化規律為

表明在充電過程中電容器兩端電壓隨時間按指數規律變化.

那么電壓的最大值和最小值分別是多少呢？下面通過圖像來說明.

閃光燈與電容器并聯，其兩端電壓等于電容器兩端電壓.在RC串聯電路充電過程中，當電容器兩端電壓升高到一定值U2時，閃光燈開始導通，相當于開關閉合，電容器開始放電，因此電壓的最大值為U2.

當閃光燈導通時，電容器開始放電，相當于整個電路有兩個電源，但由于導通電阻r比分壓電阻R小得多，因此可近似認為電阻R起斷路作用，將電源E與電容器隔離，那么電容器與閃光燈組成rC串聯電路，在閃光燈中產生放電電流，即

則由閉合電路的歐姆定律有uC=ir，即

可知時間常量為τ=rC，而放電初始電壓為U2，所以電容器兩端電壓隨時間的變化規律為

圖7

3 原子核衰變過程的時間常量

【例4】放射性強度定義為放射性物質在單位時間內發生衰變的原子核的數目，由統計規律可知，當原子核數目足夠大時，在衰變過程中，放射性強度跟當時存在的原子核數目成正比，其比例常數用λ表示，稱為衰變常量.天然銣由穩定同位素85Rb(占72.15%)和放射性同位素87Rb(占27.85%)組成，具有放射性，已知RbCl的分子量為120.92，由阿伏伽德羅常數可推出1 g的RbCl含有87Rb的初始原子核數N0.若實驗測得質量為1 g的RbCl的放射性強度是I0，試求87Rb在衰變過程中的衰變常量λ,時間常量τ,半衰期T和平均壽命t0(都用N0和I0表示)[6].

解析：設某時刻未衰變的放射性原子核總數為N，在很短時間dt內，原子核的變化量為dN，因衰變時原子核數目減少，則增量dN為負值，帶上負號為正值，故原子核數變化率應為

可得關于變量N的一階常系數線性微分方程為

可知穩態值為f()=0，時間常量等于衰變常量的倒數.

設初始值為f(0)=N0，利用瞬態過程的結論可知微分方程的解為

這就是原子核剩余量N隨時間t變化的關系即衰變規律的表達式，稱為衰變定律[7]，圖像如圖8所示.

圖8

放射性強度即放射性原子核數目的變化率為

即I0=λN0.已知實驗測得質量為1 g的RbCl的放射性強度是I0，只有其中的87Rb具有放射性，因此87Rb的初始放射性強度是I0.而1 g的RbCl含有87Rb的初始原子核數N0，所以87Rb在衰變過程中的衰變常量為

那么時間常量為

每經過一個半衰期的時間，原子核數量衰變一半，則剩余量為

可得87Rb的半衰期為

從衰變圖像可知，對于一定數量的原子核，在整個衰變過程中，有的一開始就衰變了，存在的時間為零，則其壽命為零；有的經過時間為τ時發生衰變，存在的時間為τ，則其壽命為τ；有的很久才衰變，存在的時間很長，則壽命很長；有極少數的經過無限長的時間發生衰變，則壽命為無限長.把各原子核衰變前存在時間的平均值，即放射性元素組成物質的原子核壽命的平均值，稱為放射性元素的平均壽命[7].從物理量的角度而言，對一個研究對象的過程量取平均值沒有意義，但這里的時間是各原子核對應的時間，因此可以取平均值，即為整個衰變過程中各原子核存在時間的平均值.

在圖8中，遞減指數圖像與坐標軸圍成圖形的面積為S=N0τ，而矩形面積為S=N0t0，由二者相等可得時間的平均值為t0=τ，所以原子核的平均壽命在數值上等于衰變過程的時間常量，即

雖然衰變時間為無窮大，但圖像面積卻為定值，即原子核衰減圖像的面積等于初始值與時間常量之積.

以上幾方面是原子核衰變過程時間常量的含義.

由圖2和圖5可知，指數曲線與縱軸和漸近線圍成圖形的面積，等于變化量的最大值與時間常量之積，而且過曲線起點的切線平分該面積，這是指數瞬態過程時間常量的含義.

參考文獻

1 錢愛華.運動時間是無限還是有限.物理通報，2013(1):128

2 丁廣華.運動時間為什么不可求？物理教師，2012(3)：59

3 鄭金.利用結論巧解“甲蟲和橡膠帶”問題.物理通報，2012(4):61

4 周紹敏.電工基礎(第三版).北京：高等教育出版社，2005.82，133

5 何勇軍.例談含電感與電容類電路問題的解題策略.中學物理，2012(1)：59

6 羅維治.新編物理奧林匹克教程.長沙：湖南師范大學出版社，2001.530

7 曹良騰.對原子核衰變的小議.物理教學，1992(11):34