在電磁學體系下討論運動電荷的電場與磁場的聯系

谷建生 李 宏 魏 環 莫文玲

(河北聯合大學理學院 河北 唐山 063000) (河北聯合大學以升創新教育基地 河北 唐山 063000)

靜止電荷產生電場，運動電荷還能產生磁場，這是大學物理教材中的基本教學內容.但兩者之間的相對性，一般的大學物理教材不涉及，或者雖有涉及，但幾乎無一例外地是在狹義相對論基礎上，先得到電磁場的相對論變換，然后再討論運動電荷產生電場和磁場的聯系.物理專業用的電磁學教材[1,2]和一些文獻[3,4]也基本上是按這個思路對此問題進行討論.本文以運動電荷相對導體圓環運動為例，在麥克斯電磁理論的體系下，闡明運動電荷產生的電場和磁場之間的聯系，以展示電磁場的相對性.

圖1 點電荷和導體圓環相對運動時，不同參考系感受到電場和磁場的不同

如圖1所示，當點電荷相對導體圓環以速度v向右運動時，不同參考系會感受到不同的電場和磁場.若以圓環為慣性參考系，如圖1(a)所示，該系不僅感受到了電場E，而且也一定會感受到磁場B，因為電荷運動就形成了能激發磁場的電流.若以點電荷為慣性參考系，相當于圓環向左運動，如圖1(b)所示，該系只感受到靜電場E′，不會感受到磁場B′，即B′=0.那么圓環系下所感受到的這個磁場B是獨立的嗎？還是與電場E有什么聯系呢？下面在圓環系下展開討論.

在圓環系下，由麥克斯韋位移電流假說，有如下的安培環路定理

(1)

其中L是圓環本身所構成的回路，S是以圓環為邊界所構成的曲面，上式可展開為

?SE(t)?dS

(2)

其中的E(t)和E(t+dt)為圓環系不同時刻感受到的電場，如圖2中(a)和(b)所示.麥克斯韋方程組在不同慣性系下都成立，所以圓環系下電場要滿足高斯定理，但要注意圓環系下電場是隨時間變化的，所以我們要用某一時刻電場的高斯定理，這里用時刻t+dt電場E(t+dt)的高斯定理

?側面E(t+dt)?dS+?SE(t+dt)?dS+

?S(t+dt)E(t+dt)?dS=0

(3)

高斯面的選擇如圖2(c)所示，其中的S(t+dt)是假設圓環與電荷一起運動時，t+dt時刻圓環所圍的曲面，圖中用虛線表示，高斯面內顯然不包圍電荷.高斯定理中S(t+dt)和S的正方向都是沿高斯面的外法線方向，現在改變S(t+dt)的正方向以與S的正方向一致，則由式(3)有

?側面E(t+dt)?dS=-?SE(t+dt)?dS-

?S(t+dt)E(t+dt)?dS

(4)

圖2

注意比較圖2(c)和(a)可以看出，t+dt時刻電場E(t+dt)通過S(t+dt)的電通量等于t時刻電場E(t)通過S的電通量，即

?S(t+dt)E(t+dt)?dS=?SE(t)?dS

(5)

將式(2)、(4)和(5)三式聯立，就可得到

(6)

由矢量運算法則有

E(t+dt)?dS=dS?E(t+dt)=

-dl×vdt?E(t+dt)

(7)

將式(7)代入式(6)，式(6)右面的面積分化為沿圓環的線積分，得到

(8)

將式(8)中的前兩個dt直接消去并令最后一個dt→0，就得到

∮LB?dl=μ0ε0∮Ldl×v?E(t)=

μ0ε0∮Ldl×v?E=

μ0ε0∮Lv×E?dl

(9)

上式中的E(t)直接換為E，因為這就是電場和磁場之間的瞬時關系，再利用光速c與μ0，ε0的關系，由式(9)可得

(10)

上式表明，圓環系雖然感受到了磁場B，但這磁場并不是獨立的，與該系感受到的電場E有關，且滿足式(10).實際上，無論是點電荷動還是圓環動，都只是參考系選擇的不同，按相對性原理，兩種情形就不應該有根本的差別.既然點電荷系肯定沒有感受到磁場，而圓環系卻肯定感受到了磁場，那么磁場的有無就只能成為相對的了.式(10)的結論也支持了這點，這說明電場和磁場實際上是同一客體——電磁場在不同參考系下的不同反應而已.此例在麥克斯韋電磁理論的體系下，既給出了運動電荷所產生電場和磁場之間的聯系，也很好地展示了電磁場的相對性.

參考文獻

1 趙凱華，陳熙謀．電磁學(上冊)(第二版)．北京：高等教育出版社，1985

2 賈起民，鄭永令，陳暨耀．電磁學(第二版)．北京：高等教育出版社，2001

3 鄭永令．運動電荷的磁場與畢奧-薩伐爾定律. 大學物理，1993(4):3～6

4 張貴銀，陳素敏．簡析運動電荷的場. 物理通報，1998(8)：42