透鏡加速運動時像的運動規律的探討

王云創 劉俊杰 邢 娟

(濱州醫學院物理學教研室 山東 煙臺 264003)

1 引言

在凸透鏡成像過程中，物距、像距之間的變化關系受透鏡成像高斯公式[1～3]的約束，調節透鏡成像時，透鏡和像的速度之間保持一個動態的關聯關系[4～6].若物固定不動而透鏡沿主光軸做勻加速直線運動時，像也必然隨著透鏡做相應的運動，那么像的速度和加速度隨時間的變化規律如何？下面將推導這種變化規律的函數關系式，并且結合繪制的函數關系曲線對其物理意義進行分析探討.

2 公式的導出

建立如圖1所示的坐標系.

圖1 成像光路圖

物P固定于坐標原點O處，物經凸透鏡成像P1.設x為物距即透鏡L的位置坐標，s(x)為像的位置坐標，則像距為s(x)-x.令透鏡自x=x0>f處(成實像)以恒定加速度a0沿x軸正方向做初速度為零的勻加速直線運動.顯然，透鏡的速度為v0(t)=a0t，物距為

據薄透鏡成像公式

整理可得像的位置坐標為

(1)

對式(1)分別求一階和二階導數，可得像的速度v(t)和加速度a(t)的表達式為

(2)

(3)

為了能定量地看出v(t)、a(t)隨t的變化規律，不妨取a0=5 cm/s2，x0=20 cm，f=15 cm，分別代入式(2)、(3)，繪得像的速度v(t)和加速度a(t)隨時間t的變化規律曲線，如圖2，3所示.從圖2,3 可見，速度v(t)和加速度a(t)的大小和方向均隨時間t發生變化，都有一個極值點，并且經過一定時間后速度v(t)與時間t成線性關系，而加速度a(t)趨向恒定值.

圖2 v(t)-t曲線

圖3 a(t)-t曲線

3 分析討論

3.1 像的速度v(t)的極值

為推導方便，令Δ=x0-f.對v(t)求導即利用式(3)令a(t)=0，整理可得

Δ(Δ2-f2)=0

令y=t2,代入上式整理得

令

代入上式整理得

則上述方程的有效解為

利用上述有關變換關系式可得

(4)

將式(4)代入式(2)可得速度極值的一般表達式，但公式太煩瑣，此處僅以具體數據來驗證，即將a0=5 cm/s2，x0=20 cm，f=15 cm，代入式(4)可得速度v(t)極值點處對應的時間的平方數值為

即

t2≈0.519 s2t≈0.720 s

將該時間值代入式(2)、(3)，可得像的速度極值和該時間對應的像的加速度值分別為v≈-16.834 cm/s和a=0，從圖2,3也可看出.

3.2 像的加速度a(t)的極值

將式(3)求導并令其等于零，整理得像的加速度極值點處對應的時間為

或

(5)

將式(5)分別代入式(2)、(3)，可得加速度極值時對應的像的速度和加速度的一般式為

(6)

(7)

將a0=5 cm/s2，x0=20 cm，f=15 cm，代入式(5)、(6)、(7)，可得像的加速度a(t)的極值點對應的時間t2=2 s2，即t≈1.41 s，此時對應的加速度的極值為a=16.25 cm/s2，該時間對應的像的速度為v=-8.839 cm/s，從圖2,3可看出這種對應關系.

3.3 像的速度和加速度的趨向值

3.4 像的速度和加速度方向發生改變的轉折點

對于速度v(t),令式(2)等于零可解得對應的兩個時間為

取a0=5 cm/s2，x0=20 cm，f=15 cm，可得t=2 s.圖2可見，tt2時，v(t)>0 ，即像的速度與透鏡的速度方向相反；t>t2時，v(t)>0 ，即像的速度與透鏡的速度方向相同.將t2代入物距公式，可得x=2f，說明像的速度方向發生改變的轉折點在兩倍焦距處.

對于加速度a(t),當

時，a(t)<0，即像的加速度與透鏡的加速度方向相反.當時，a(t)>0，即像的加速度與透鏡的加速度方向相同.

4 小結

由于物距和像距受到透鏡成像公式的約束，或者說物和像的速度、加速度間的關系也必然相互制約，因此像的運動規律不但復雜且很難想象，通過上述公式描述、圖形化處理以及關鍵點的分析，對像的運動規律給出了比較清晰的全貌情況，對于學生理解透鏡成像規律具有一定的指導意義.

參考文獻

1 程守洙，江之永．普通物理學(第三分冊)(第五版)．北京：高等教育出版社，1999.168～277

2 王楚，唐浚雄．光學．北京：北京大學出版社，2001.252～262

3 梁紹榮，劉昌年，盛正華．普通物理學(第四分冊) 光學(第二版)．北京：高等教育出版社，1994.30～67

4 黃勇．透鏡成像中物像運動速度的相互關系．物理通報，1998(7)：20

5 齊景榮，曲紅斌，雷桂林．對不同介質中的透鏡成像時物、像運動規律的探討．甘肅聯合大學學報(自然科學版)，2005，19(3)：74～75

6 易志毅．物、像關系初探．廣西物理，1994，15(5)：21～22