高中數學課堂教學中的合作探究案例分析

湯林松

蘇霍姆林斯基說過：“人的內心有一種根深蒂固的需要，人們總想感到自己是發現者、研究者、探尋者。”可見，學生都有著發現、探究知識并獲得成功的強烈愿望。因此，一次高效的課堂探究活動，在激發學生的思維、提高學生的學習能力方面，具有不可估量的作用。那么，如何讓學生在課堂的有限時間內完成對問題的深入探究？如何讓不同層面的學生都積極參與到學習活動中來？這就要求教師能夠精心地設計問題，充分考慮提出問題的時機，讓各小組的學生之間能有合作和分享，在學生交流、互動的過程中教師能進行必要的點撥，把握好探究的方向和節奏，對于課堂生成教師能做到機智應對。筆者在2012年12月份參加了第八屆“名師之路”大型教研活動暨南通市高中高效課堂推進會，對上課教師的課堂探究活動進行了認真的觀察、分析，收獲良多，在此，摘選幾個優秀案例，供同行們參考。

一、精心創設問題情境，培養學生的探究欲望

【案例片段】蘇教版必修5的正弦定理——對公式和定理的建構

如圖1，Rt△ABC中的邊角關系：（用邊a，b，c，角A，B，C，外接圓半徑R表示）

sin A= ；sin B= ；sin C = .

a= ；b= ；c= .

如圖2、3，任意△ABC中的邊角關系也可以如此表示嗎？如何證明？（圖2、3中線段BD和CD是在探究過程中逐步加上去的）

教師先用投影儀給出第一個問題讓學生解答，因為是在熟悉的直角三角形中求解，學生們很快就得出結論：■=■=■=2R。接著，教師給出第二個問題讓學生們分組合作探究，筆者觀察了身旁一個小組的互動情況。

學生顯得很好奇，探究欲望很強烈，躍躍欲試。

生1： 這個結論應該是成立的，在等邊三角形中顯然成立。

生2：是啊，可怎么證明呢？

師：看能不能把任意三角形問題轉化為直角三角形問題來解決。

學生抬頭看圖1 。（沉思）

生3： 圖1中有直徑的，這里也作一條直徑試試。

生4： 對啊！ 這樣就可以有直角三角形了。（興奮）

學生開始各自動手作圖、研究、討論，得出這個問題的證明方法，互相交流并完善，然后由小組代表交給教師，教師再用實物投影儀展示其中寫得較好的幾組作品并做適當的補充，最后用投影儀給出這個問題的證明過程如下：

證明：不妨設∠A為最大角。

（1）若∠A為直角（圖1），我們已經證得結論成立。

（2）若∠A為銳角（圖2），作△ABC的外接圓圓O，作直徑BD交圓O于D，連結CD。因為直徑所對的圓周角是直角，所以∠BCD=90°，因為同弧所對的圓周角相等，所以∠D=∠A，所以■=■=BD（直徑）=2R。同理可得■=2R，所以 ■=■=■=2R

（3）若∠A為鈍角（圖3），作ABC的外接圓圓O，作直徑BD交圓O于D，連結CD。因為∠D=180°-∠A，所以■=■=■=2R，同理可得■=2R，所以■=■=■=2R。

由（1）（2）（3）知，結論成立。

狄更斯說過：“ 教學的藝術全在于如何恰當地提出問題和巧妙地引導學生作答。”在該案例中，教師沒有照搬教材上的設計引入正弦定理，也沒有按照教材上的兩種證法給出證明，而是在習題的基礎上精心設計問題情境，引發學生的認知沖突，體現了教師獨具匠心的一面。首先，在直角三角形這個學生的“最近發展區”上建構新知，能有效地激發學生的思維，自然地喚起學生的探究欲望。其次，教師通過三角形的外接圓，引領學生把任意三角形問題轉化為直角三角形問題，這不僅提高了學生分析問題和解決問題的能力，而且讓學生從一開始就充分認識到正弦定理中的比值是三角形外接圓的直徑，這樣有助于學生更全面、更深刻地理解定理和公式。教材上的兩種證法因為沒有引入外接圓，故沒有明確比值為直徑，雖然在后面的習題中有所補充，但總有些“相見恨晚”的感覺。尤其是證法2利用了向量的數量積公式，方法雖好但門檻較高，筆者認為這種方法更適合課堂講授或者課外探究。

二、設計課堂有效對話，引領學生深入探究

【案例片段】蘇教版選修2-1的空間角的計算——對用向量法求二面角的進一步探究

如圖4， 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A1-BD-C1的大小。

學生通過計算分別得到了平面A1BD的法向量n1和平面C1BD的法向量n2的坐標，由于選取法向量方向的不同，在求cos時出現了兩個不同的結果■和-■，而二面角A1-BD-C1的余弦值是唯一的，應如何取舍呢？

師： 根據圖形可知，二面角A1-BD-C1的余弦值為■。（書本上的做法）

同學們開始議論起來，表示有異議。

生1：為什么不是-■呢？圖形上不好確定該二面角的平面角是鈍角還是銳角。

師： 說得好，你很有想法，那有什么好的方法可以解決這個問題呢？

學生沉思。

生2 ：先確定兩個法向量的方向。

師： 好的， 大家畫一下二面角半平面法向量的所有情況，先獨立思考，再分組研究，尋找規律。

全體學生開始動手畫圖，獨立思考后把自己的想法和小組的同伴交流、分享。

生3：當兩個法向量的方向同時指向半平面或同時離開半平面時，平面角和法向量的夾角互補；當其中一個法向量指向半平面，另一個法向量離開半平面時，平面角和法向量的夾角相等。

師：分析得好，能否用更簡潔的語言描述這個規律呢？

生4： 同進同離則補，一進一離則等。

生5：我有更簡潔的：同則補，異則等。（學生熱列鼓掌）

德國教育家第斯多惠說過：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞。”在該案例中，教師沒有把結論直接告訴學生，而是通過精心設計的師生對話，引導學生發現問題，激起學生生動、活潑的思考，激勵學生通過自己的能力探究和解決問題，學生最終突破難點，獲得了成功。

三、引入科學評價，促成師生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三復習課——對高考真題的數學課堂功能的挖掘

若正實數x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是 .

教師通過引導學生小組合作探究，得出如下三種解法。

方法一：∵2x+y+6=xy，∴y=■，而y>0，∴■>0，即x>1，故x-1>0，∴xy=x·■=2（x-1）+■+10≥18，當且僅當2（x-1）=■即x=3時取等號.

∴xy的最小值為18.

方法二：∵x，y為正數，∴2x+y≥2■，又2x+y+6=xy，∴xy≥2■+6，即（■）2-2■■-6≥0∴xy≥18.∴xy的最小值為18.

方法三：若設2xy=2t，則2x+y=t-6，∴2x，y是方程u2-（t-6）u+2t=0的兩個正根. 從而由△=（t-6）■-8t≥02x+y=t-6>0 2xy=2t>0

同時成立得t≥18.∴xy的最小值為18.

師：請同學們探究一下這三種方法的思想來源。

各小組同學展開熱烈討論。

生1：這三種方法分別從函數、不等式、方程的角度來解決問題 。

生2：解決不等式問題需要函數的幫助，解決函數問題需要方程、不等式的幫助。

師：說得很不錯，函數、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，我們借助函數、方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化難為易、化繁為簡。

師：同學們在剛才合作交流的過程中，表現都很好，下面我想請同組的生3和生4兩位同學互相點評一下對方。

生3：你在別人發言時能認真傾聽；在交流時，把自己的想法和知道的信息都說出來，而且在合作交流的過程中你都在積極思考問題，值得我們學習。

生4： 你對問題有獨到的見解，大家體會到了你豐厚的知識、扎實的基本功。我欣賞的不僅是你優異的成績，還有你執著的精神。

美國著名心理學家威廉·詹姆士曾說過：“人類本質中最殷切的需求是渴望被肯定。”在本案例中，學生通過合作探究，自然地“悟”到了數學思想，完成了對學習方法的升華。同時，教師引入了學生間的相互評價，使學生在得到同伴肯定的同時，全面、正確地認識了自己，增強了自信心，獲得了一次愉快的情感體驗，并促使他們在以后的合作探究中有更好的表現。

三、引入科學評價，促成師生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三復習課——對高考真題的數學課堂功能的挖掘

若正實數x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是 .

教師通過引導學生小組合作探究，得出如下三種解法。

方法一：∵2x+y+6=xy，∴y=■，而y>0，∴■>0，即x>1，故x-1>0，∴xy=x·■=2（x-1）+■+10≥18，當且僅當2（x-1）=■即x=3時取等號.

∴xy的最小值為18.

方法二：∵x，y為正數，∴2x+y≥2■，又2x+y+6=xy，∴xy≥2■+6，即（■）2-2■■-6≥0∴xy≥18.∴xy的最小值為18.

方法三：若設2xy=2t，則2x+y=t-6，∴2x，y是方程u2-（t-6）u+2t=0的兩個正根. 從而由△=（t-6）■-8t≥02x+y=t-6>0 2xy=2t>0

同時成立得t≥18.∴xy的最小值為18.

師：請同學們探究一下這三種方法的思想來源。

各小組同學展開熱烈討論。

生1：這三種方法分別從函數、不等式、方程的角度來解決問題 。

生2：解決不等式問題需要函數的幫助，解決函數問題需要方程、不等式的幫助。

師：說得很不錯，函數、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，我們借助函數、方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化難為易、化繁為簡。

師：同學們在剛才合作交流的過程中，表現都很好，下面我想請同組的生3和生4兩位同學互相點評一下對方。

生3：你在別人發言時能認真傾聽；在交流時，把自己的想法和知道的信息都說出來，而且在合作交流的過程中你都在積極思考問題，值得我們學習。

生4： 你對問題有獨到的見解，大家體會到了你豐厚的知識、扎實的基本功。我欣賞的不僅是你優異的成績，還有你執著的精神。

美國著名心理學家威廉·詹姆士曾說過：“人類本質中最殷切的需求是渴望被肯定。”在本案例中，學生通過合作探究，自然地“悟”到了數學思想，完成了對學習方法的升華。同時，教師引入了學生間的相互評價，使學生在得到同伴肯定的同時，全面、正確地認識了自己，增強了自信心，獲得了一次愉快的情感體驗，并促使他們在以后的合作探究中有更好的表現。

三、引入科學評價，促成師生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三復習課——對高考真題的數學課堂功能的挖掘

若正實數x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是 .

教師通過引導學生小組合作探究，得出如下三種解法。

方法一：∵2x+y+6=xy，∴y=■，而y>0，∴■>0，即x>1，故x-1>0，∴xy=x·■=2（x-1）+■+10≥18，當且僅當2（x-1）=■即x=3時取等號.

∴xy的最小值為18.

方法二：∵x，y為正數，∴2x+y≥2■，又2x+y+6=xy，∴xy≥2■+6，即（■）2-2■■-6≥0∴xy≥18.∴xy的最小值為18.

方法三：若設2xy=2t，則2x+y=t-6，∴2x，y是方程u2-（t-6）u+2t=0的兩個正根. 從而由△=（t-6）■-8t≥02x+y=t-6>0 2xy=2t>0

同時成立得t≥18.∴xy的最小值為18.

師：請同學們探究一下這三種方法的思想來源。

各小組同學展開熱烈討論。

生1：這三種方法分別從函數、不等式、方程的角度來解決問題 。

生2：解決不等式問題需要函數的幫助，解決函數問題需要方程、不等式的幫助。

師：說得很不錯，函數、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，我們借助函數、方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化難為易、化繁為簡。

師：同學們在剛才合作交流的過程中，表現都很好，下面我想請同組的生3和生4兩位同學互相點評一下對方。

生3：你在別人發言時能認真傾聽；在交流時，把自己的想法和知道的信息都說出來，而且在合作交流的過程中你都在積極思考問題，值得我們學習。

生4： 你對問題有獨到的見解，大家體會到了你豐厚的知識、扎實的基本功。我欣賞的不僅是你優異的成績，還有你執著的精神。

美國著名心理學家威廉·詹姆士曾說過：“人類本質中最殷切的需求是渴望被肯定。”在本案例中，學生通過合作探究，自然地“悟”到了數學思想，完成了對學習方法的升華。同時，教師引入了學生間的相互評價，使學生在得到同伴肯定的同時，全面、正確地認識了自己，增強了自信心，獲得了一次愉快的情感體驗，并促使他們在以后的合作探究中有更好的表現。