一類帶時(shí)滯的退化半線性拋物方程組解的存在性研究

陸求賜 (武夷學(xué)院人文與教師教育學(xué)院,福建 武夷山 354300)

江秋香 (閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系,福建福州350121)

一類帶時(shí)滯的退化半線性拋物方程組解的存在性研究

陸求賜 (武夷學(xué)院人文與教師教育學(xué)院,福建 武夷山 354300)

江秋香 (閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系,福建福州350121)

考慮了一類帶時(shí)滯的退化半線性拋物型方程組解的存在性問(wèn)題。在一定的假設(shè)條件下,利用上下解與正則化方法證明了方程組的解是局部存在的,在一定條件下解甚至?xí)谟邢迺r(shí)刻產(chǎn)生猝滅的現(xiàn)象;同時(shí)也證明了初值函數(shù)滿足一定條件時(shí)解是全局存在的。

退化半線性拋物方程組;時(shí)滯;初值函數(shù);存在性;熄滅

拋物方程(組)的存在性與熄滅現(xiàn)象在研究穩(wěn)定或不穩(wěn)定的燃燒過(guò)程中都起著重要作用,同時(shí)在研究生態(tài)理論和相應(yīng)的環(huán)保理論過(guò)程中也起著重要作用[1-15]。自從Kawarada的關(guān)于帶奇異項(xiàng)的反應(yīng)函數(shù)f(u)=(1-u)-1的一維熱方程[3]的工作出現(xiàn)以來(lái),解的存在性與熄滅問(wèn)題引起了廣大數(shù)學(xué)工作著的極大的關(guān)注,各種各樣推廣的拋物型初邊值問(wèn)題得到了研究。這些推廣包括多維拋物型方程[1,4]、更一般的反應(yīng)函數(shù)[1,5-6]、退化拋物型方程[7]以及帶時(shí)滯的正則拋物型方程[1]等等。文獻(xiàn)[8,11]研究了退化拋物方程解的存在性與熄滅現(xiàn)象,文獻(xiàn)[1,9,15]研究了帶有時(shí)滯的一致拋物方程的存在性與熄滅問(wèn)題。下面,筆者將文獻(xiàn)[8-9,15]中帶有時(shí)滯的退化拋物方程推廣為方程組,并對(duì)帶有時(shí)滯的退化半線性方程組解的存在性提供充足的條件。

帶有時(shí)滯的半線性拋物方程組解的存在性問(wèn)題表述如下:

式中,p,q≠0;0＜T≤∞為正常數(shù);τ和a分別為表示時(shí)滯與區(qū)間(0,a)的長(zhǎng)度的正常數(shù)。

1 假設(shè)條件

對(duì)奇異反應(yīng)函數(shù)f,g與初值函數(shù)φ(x,t),φ(x,t)作如下假定:

根據(jù)文獻(xiàn)[2,9]的理論,當(dāng)方程組(1)不包含時(shí)滯時(shí),將與如下的穩(wěn)定態(tài)方程組(2)正解的存在與不存在性緊密聯(lián)系:

2 解的局部存在性

為了得到問(wèn)題(1)的古典解,首先給出如下比較原則:

其中,ε∈(0,a),而且φ(x,t),φ(x,t):[ε,a]×[-τ,0]→R是初值問(wèn)題(1)簡(jiǎn)單的一個(gè)截?cái)唷ｏ@然有,)=(h(x,t),k(x,t))與,)=(0,0)為(7)在(ε,a)×(0,t0]上的一對(duì)上下解。采用文獻(xiàn)[1]中定理2.8.1相同的方法可以證明正則拋物問(wèn)題(7)有一個(gè)C2,1解(uε,vε)。

再采用引理1相同的方法,可以證明如下的引理:

如果c(x,t),d(x,t)∈C([ε,a]×[0,T))而且在(ε,a)×(0,T)內(nèi),c(x,t)≥0,d(x,t)≥0,那么在[ε,a]×[0,T)上,h(x,t)≥0,k(x,t)≥0。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]的引理2.2.1與引理4,容易得到如下的單調(diào)性結(jié)果:

引理5令0＜ε1＜ε2＜a,并假定(uε1,vε1),(uε2,vε2)為(7)解,那么在(ε2,a)×(0,t0]內(nèi),有(uε1,vε1)＞(uε2,vε2),即uε1＞uε2,vε1＞vε2。設(shè):

根據(jù)引理1～引理5的內(nèi)容以及文獻(xiàn)[12]的定理2.3與定理2.5的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容,可以得到如下關(guān)于解的存在性與熄滅結(jié)果的定理:

定理1在假設(shè)(H1)、(H2)之下,方程組(1)在(0,a)×(0,t0]內(nèi)有一個(gè)古典解(u(x,t), v(x,t))。令T為使得問(wèn)題(1)在(0,a)×(0,t0]內(nèi)有唯一正古典解的t0的最小上界,則問(wèn)題(1)在(0,a)×(0,T)內(nèi)存在唯一正的古典解(u(x,t),v(x,t))。而且如果T＜∞,有:

3 全局存在性

[1]Pao C V.Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations[M].New York:Plenum Press,1992.

[2]Pao C V.Blowing-up of solution for a nonlocal reaction-diffusion problem in combustion theory[J].Journal of Mathematical and Applications,1992,166(2):591-600.

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[13]Friedman A.Partial Differential Equations of Parabolic Type[M].Inc Engle wood Cliffs:Prentice-Hall,1964.

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[15]陳友朋.帶時(shí)滯的退化半線性拋物方程的熄滅(英文)[J].南京師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006:29(1):7-13.

[編輯]洪云飛

O175.26

A

1673-1409(2014)28-0009-04

2014-06-18

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Z0511015);武夷學(xué)院校科研基金資助項(xiàng)目(XL1204)。

陸求賜(1975-),男,碩士,講師,現(xiàn)主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和偏微分方程的教學(xué)與研究工作。