Dirichlet積分的計算方法

趙天玉,洪云飛,陳忠 (長江大學信息與數學學院,湖北荊州 434023)

Dirichlet積分的計算方法

趙天玉,洪云飛,陳忠 (長江大學信息與數學學院,湖北荊州 434023)

Dirichlet積分在物理學等領域有廣泛的應用。綜述了計算Dirichlet積分的傳統經典方法,即含參變量積分法和圍道積分法,然后以積分變換和廣義函數為研究工具,采用數學物理方法,給出了計算Dirichlet積分的4種新方法:Fourier變換法、能量積分法、Laplace變換法和廣義函數法。這些方法簡單明了,易于接受,學生既學會了積分變換知識的應用,又解決了已學課程中遺留的問題,對學生處理類似的情況具有借鑒參考作用。

Dirichlet積分;Fourier變換;Laplace變換;廣義函數

1 計算Dirichlet積分的傳統經典方法

1.1 含參變量積分方法

圖1 圍道積分路徑

2 計算Dirichlet積分的新方法

2.4 廣義函數法

單位脈沖函數δ(t)也叫狄拉克(Dirac)函數,簡稱δ-函數,是一個廣義函數,是弱收斂函數序列的弱極限[6],即對于任何一個無窮次可微的函數f(t),有:

3 結語

著名的Dirichlet積分是特殊的積分,在自然科學與工程技術中經常用到。由于其計算的復雜性,在數學的多種課程中把它作為典型例子來討論。即便如此,學生也難以接受這些知識。通過多年的教學實踐,作者積累了幾種解決這個問題的方法:首先回顧了計算Dirichlet積分的2種傳統經典方法,即含參變量積分法和圍道積分法,然后借助于積分變換和廣義函數,給出了4種計算Dirichlet積分的新方法。這些方法簡單明了,易于接受,學生既學會了積分變換知識的應用,又解決了已學課程中遺留的問題,對學生處理類似的情況具有借鑒參考作用。

[1]梁昌洪.復變函數札記[M].北京:科學出版社,2011.

[2]匡繼昌.Dirichlet積分9種解法的思路分析[J].高等數學研究,2012,15(4):62-66.

[3]張瑰,張梅.對Dirichlet積分的幾種簡便證明[J].高等數學研究,2005,8(4):28-29.

[4]華東師范大學數學系.數學分析(下冊)[M].第3版.北京:高等教育出版社,2001.

[5]姚端正,梁家寶.數學物理方法[M].第2版.武漢:武漢大學出版社,1997.

[6]張元林.積分變換[M].第4版.北京:高等教育出版社,2003.

[編輯]李夢霞

O175.5

A

1673-1409(2014)19-009-03

2014-02-27

國家自然科學基金資助項目(11201039;61273179);湖北省教育廳重點項目(D20101304);長江大學教學研究項目(JY2013026)。

趙天玉(1958-),男,碩士,教授,現主要從事組合數學方面的教學與研究工作。

洪云飛(1979-),男,碩士,講師,現主要從事最優化理論與算法、科技期刊編輯方面的研究工作;E-mail:cdzkb @163.com。