幾個恒等式及其組合方法的證明

周 恩，霍元極

（1.海南軟件職業技術學院基礎部，海南瓊海571400；2.河北北方學院數學系，河北張家口075000）

幾個恒等式及其組合方法的證明

周 恩1，霍元極2

（1.海南軟件職業技術學院基礎部，海南瓊海571400；2.河北北方學院數學系，河北張家口075000）

設FFq是q個元素的有限域，其中q是素數的冪，FFnq是FFq上n維向量空間，用表示Gaussian系數，它可看做FFnq的m維子空間的個數.運用組合方法證明了幾個已知的Gaussian系數恒等式，并給出幾個新的Gaussian系數恒等式和它的組合方法證明.

恒等式；組合方法；Gaussian系數；有限域；子空間

1 預備知識

設FFq是q個元素的有限域，其中q是素數的冪，并且FFnq是FFq上的n維行向量空間，在文獻［1］中，Gaussian系數用表示，它可看做的m維子空間的個數.文獻［1］給出一些Gaussian系數恒等式，在這里多采用代數方法來證明.本文對其中的一些恒等式給出了組合方法證明，并且給出幾個新的Gaussian系數恒等式，同樣采用組合方法給出它們的證明.在證明中也用到文獻［2－3］中的一些方法.本文未介紹的名詞和術語見文獻［1，4－5］，并且引用文獻［1，6］中的一些結果.

定義1［5］設m是非負整數，q≠1為復數，而x是未定元，令

命題1［5］設m和n都是非負整數，q是素數的冪，那么FFnq中m維子空間的個數恰是

2 主要結果

命題2［4］設0≤m≤n，那么

命題3［1］設0≤m≤n，那么

其中系數al是l的分拆數（見文獻［2］），l的Ferrers圖適合規模m（n－m）的方格.

由命題2和命題3，可得下面的結論.

定理1［1］設0≤m≤n，那么

其中al是l的分拆數，l的Ferrers圖適合規模m（n－m）的方格.

定理2 設k，m，n是非負整數，并且min｛m，n｝≥k.那么

證明 設A是FFq上秩為k的k×n矩陣，那么A合同于階梯形矩陣：

令M（j1，j2，…，jk）是矩陣表示為（3）的FFnq的k維子空間的個數，由階梯形矩陣表示的唯一性，那么

因為

所以

由（4）式可得

和

因而

因此（2）式成立.

推論1 設0＜k≤n＋1，那么

推論2 設0＜k≤n，那么

推論3 設k，n是非負整數k≤n，那么

由文獻［3］中的定理2.1，有如下命題.

命題4 設0≤k≤n，那么FFq中秩為k的n×n矩陣的個數是

定理3 設0≤k≤n，那么

證明 考慮FFq上n×n矩陣（aij）1≤i，j≤n的個數.顯然，（5）式等號右邊是FFq上矩陣（aij）1≤i，j≤n的個數qn2.

因為（aij）1≤i，j≤n的個數＝n×n矩陣中0矩陣的個數＋秩為1的n×n矩陣的個數＋秩為2的n×n矩陣的個數＋…＋秩為n的n×n矩陣的個數.由命題4，可得

再由（1）式，有

它是（5）式等號的左邊，因此（5）式成立.

命題5［1］設0≤m≤n，那么從到m維向量空間U的滿射線性變換的數目是

定理4 設0≤m≤n，那么FFq上秩為r的m×n矩陣（aij）1≤i，j≤r的數目是

證明 設W是m維向量空間U的一個r維子空間，把W的一個基β1，β2，…，βr，擴張為U的基β1，β2，…，βr，βr＋1，…，βm.令σ是FFnq到W的一個滿射線性變換，使得σ（αi）＝βi，1≤i≤r，那么σj（r＋1≤j≤n），可由σ（α1），σ（α2），…，σ（αr）線性表示.我們可把σ看做FFnq到U的一個滿射線性映射，所以

考慮到σ（α1），σ（α2），…，σ（αr）線性無關，所以矩陣（aij）1≤i≤m，1≤j≤n的前r列線性無關，而它其余的列向量可由其前r列線性表示，所以rank（aij）＝r.

反之，設rank（aij）1≤i≤m，1≤j≤n＝r，不妨設（aij）1≤i≤m，1≤j≤n的前r列線性無關.令σ（αl）由（7）式線性表示，那么σ（α1），σ（α2），…，σ（αr）線性無關，向量組σ（α1），σ（α2），…，σ（αn）可由σ（α1），σ（α2），…，σ（αr）線性表示，所以σ是FFnq到U的r維子空間W＝〈σ（α1），…，σ（αr）〉的一個線性變換（滿射）.因此，FFnq到U的一個r維子空間滿射線性變換σ，在FFnq和U的一個r維子空間取定基后，σ與秩為r的矩陣（aij）1≤i≤m，1≤j≤n之間是一一對應的.由命題5可得，FFnq到U的一個r維子空間滿射線性映射數目是

定理5 設0≤m≤n，那么

證明 由文獻［2］中定理2.1，FFq上秩為r的m×n矩陣的數目是

再由定理4，有（5）式成立.因此（8）式成立.

命題6 設n≥1，那么

上式右端恰好是（9）式左端tr的系數.

證明

定理8 設k是非負整數，n是正整數，那么

證明 對n施行數學歸納法，當n＝1時，

假設n＝l時，（10）式成立.我們來證明n＝l＋1時，（10）式成立.因為

由定理7和歸納假設可知，上式右端等于

即

由歸納假設，有

所以，由（11）和（12）式，有

因此，（10）式成立.

令

那么

上式右端tk的系數數目是hr（x0，x1，…，xn－1），令x0＝1，x1＝q，…，xn－1＝qn－1，那么由定理8有下面的結論.

推論4 設n是正整數，k是非負整數，那么

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Several identity and their combination method is proved

ZHOU En1，HUO Yuan－ji2
（1.Department of Basic，Hainan College of Software Technology，Qinghai 571400，China；2.Department of Mathematics，Hebei North University，Zhangjiakou，075000，China）

LetFFqbe afinite field with q elements，where q is apower of aprime andFFnqbe the n－dimensional row vector space，and denote the Gaussian coefficient bywhich as numbers of subspaces overFFq.First，proved several Gauusian coefficient identity with the combinatorial method，then several Gauusian coefficient identity are given and their proofs with the combinatorial method.

identity；combinatorial method；Gaussian coefficient；subspace；finite field

O 153 ［學科代碼］ 110·21

A

（責任編輯：陶 理）

1000－1832（2014）02－0040－05

10.11672／dbsdzk2014－02－009

2013－03－04

海南省自然科學基金資助項目（113009）.

周恩（1963—），男，教授，主要從事代數組合論研究.