用廣義高階導數刻畫集值優化ε－嚴有效解

余 麗

（宜春學院數學與計算機科學學院，江西宜春336000）

用廣義高階導數刻畫集值優化ε－嚴有效解

余 麗

（宜春學院數學與計算機科學學院，江西宜春336000）

在實賦范線性空間中討論了集值優化問題ε－嚴有效解的廣義高階導數型最優性條件.利用廣義高階切集，在沒有任何凸性假設下，借助基泛函及ε－嚴有效解的性質，得到了集值優化問題ε－嚴有效解的廣義高階導數型的必要和充分條件.

ε－嚴有效解；廣義m－階切導數；必要條件；充分條件

向量優化理論的逼近解與Ekeland變分原理之間存在著緊密的聯系，近年來，對逼近解的研究引起了人們的廣泛關注［1－5］.文獻［4］引進了ε－嚴有效解的概念，在內部錐－類凸假設下得到了集值優化問題ε－嚴有效解的標量化定理，ε－Lagrange乘子定理，ε－鞍點定理及ε－對偶定理.另一方面，利用導數研究集值優化問題越來越引起了學者的關注［6－8］.文獻［8］引進了廣義高階切集和集值映射的廣義高階切導數定義，并得到了集值優化問題取得弱有效解的廣義高階導數型的最優性條件.本文將借助基泛函及ε－嚴有效解的性質，討論集值優化問題ε－嚴有效解的廣義高階導數型的必要和充分條件.

1 基本概念及有關結論

設X，Y和Z為實賦范線性空間，C和D分別是Y和Z中的閉凸點錐，且int C≠?，int D≠?.設?≠M?Y，以cl M，int M和cone M分別表示M的閉包、內部和生成錐.一個凸子集B?C稱為錐C的基，如果0?cl B且C＝cone B.令Bst＝｛φ∈Y＊：存在t＞0，使得φ（b）≥t，b∈B｝，并稱其為基泛函.

設E是X的子集，F：E→2Y，G：E→2Z.F的有效域為dom（F）＝｛x∈E：F（x）≠?｝.

定義1.1［4］設?≠M?Y，B為C的基，ε∈C.點y∈M稱為M關于基B的ε－嚴有效點，記為y∈ε－FE（M，B），如果存在一個零點的鄰域U，使得

注1.1［4］對于基B的ε－嚴有效點定義，（1）式等價于

且根據需要，零點的鄰域U可取為或開或閉或凸或均衡.

定義1.2［8］設x∈K?X，且v1，…，vm－1∈X，我們稱集合

是K在（x，v1，…，vm－1）處的廣義m－階Contingent切錐.

定義1.3［8］設X，Y是賦范線性空間，F：X→2Y是一個集值映射，F是（x，y）∈Graph F關于向量（u1，v1），…，（um－1，vm－1）的廣義m－階Contingent切導數，G－D（m）（x，y，u1，v1，…，um－1，vm－1）是一個從X到Y的集值映射，定義為

即

2 最優性條件

考慮如下集值優化問題：

（VP）的可行集表示為

定義2.1 設x0∈A稱為（VP）關于基B的ε－嚴有效解，如果F（x0）∩ε－FE（F（A），B）≠?；（x0，y0）稱為（VP）關于基B的ε－嚴有效元，如果x0∈A，且y0∈F（x0）∩ε－FE（F（A），B）.

設

記

定理2.1 設B為C的有界基，（x0，y0）是（VP）的ε－嚴有效元，

則存在U0∈N（0），使得對于任意的

有

證明 因為（x0，y0）是（VP）的ε－嚴有效元，于是存在均衡的開凸零點鄰域ˉU∈N（0），使得

反證法.假設（2）式不成立，則對Y中任意均衡的開凸零點鄰域U，存在

使得

由m－階廣義切導數定義知存在序列｛hn｝，hn→0＋，序列

使得

結合（4）—（5）式可知，存在N＞0，使得對任意n≥N，有

于是

由已知v1，…，vm－1∈－C，w1，…，wm－1∈－D，再由－C及－D為凸錐得

當n＞N時，由（6）—（7）式得

由

存在（ˉxn，ˉyn，ˉzn），使得

由（8）式知

于是當n＞N，由

得μn＞0及

由（9）式知，存在

使得

于是

由（10）式及

因此

由（11）式，

再由（10）式，

所以

下面證明cone（F（A）－y0＋ε）∩（U－B）≠?.

先證0?int cone（U－B－ε）.反證法.若0∈int cone（U－B－ε），則由cone（U－B－ε）為凸集知int cone（U－B－ε）＝int cl cone（U－B－ε）.因為0∈int cl cone（U－B－ε），所以cl cone（U－B－ε）＝Y.任取b∈B?Y，則存在｛tλ（uλ－bλ－ε）：λ∈Λ｝，使得tλ（uλ－bλ－ε）→b.其中tλ≥0，bλ∈B，uλ∈U.因為ε∈C，則存在b1∈B，λ1≥0，使得ε＝λ1b1，于是tλ（uλ－bλ－λ1b1）－b→0，因為U是零點鄰域，所以存在λ0∈Λ，使得tλ0（uλ0－bλ0－λ1b1）－b＝wλ0，其中wλ0∈U，于是tλ0uλ0－wλ0＝tλ0bλ0＋tλ0λ1b1＋b，兩邊同時除以tλ0＋tλ0λ1＋1，得

又由U是均衡凸的，有

于是

由B是C的有界基及文獻［9］中命題2.1知，存在t＞0，使得Bst≠?.設φ∈Bst，于是有

取?＝｛y∈Y：｜φ（y）｜＜t｝，則?∈N（0）是

由

及（13）式得

又由

得

上式與（15）式矛盾.于是

由（12）式知存在

從而

又由（16）式得y＊≠0，于是存在λ2＞0，b2∈B，u1∈U，使得

因此

由（17）式得到

即

又由

此與（3）式矛盾.

定理2.2 假設以下條件成立：

（?。╱i，vi，wi）∈｛0X｝×C×D，i＝1，2，…，m－1；

（ⅱ）存在（Γ，L）?（cone（B＋ε－U）＋×D＋）＼（0Y＊，0Z＊），使得

并且

有

則（x0，y0）是（VP）的ε－嚴有效解.

證明 反證法.若（x0，y0）不是（VP）的ε－嚴有效解，則?U∈N（0），有

于是存在

使得

由（18）式知

于是

故

由（19）式和

有另一方面，由文獻［8］中的命題3.2有

（y＊－y0，z＊－z0）∈G－D（m）（F＋，G））（x0，y0，z0，u1，v1，w1，…，um－1，vm－1，wm－1）（x＊－x0）.再由條件（ⅱ）有

此與（20）式矛盾.故（x0，y0）是（VP）的ε－嚴有效解.

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The characterizations ofε－strictly efficient solutions of set－valued optimization with generalized higher－order derivatives

YU Li
（Institute of Mathematics and Computer of Science，Yichun University，Yichun 336000，China）

The generalized higher－order derivatives optimality conditions forε－strictly efficient solutions of set－valued optimization problems is discussed in real normed spaces.By virtue of the generalized higher－order tangent sets introduced，without any convexity assumption，by employing the properties of basic functional andε－strictly efficient element，necessary and sufficient conditions are obtained forε－strictly efficient solutions for set－valued optimization problems.

ε－strictly efficient solutions；generalized m－higher－order contingent derivatives；necessary condition；sufficient condition

O 224 ［學科代碼］ 110·74

A

（責任編輯：陶 理）

1000－1832（2014）02－0035－05

10.11672／dbsdzk2014－02－008

2013－04－20

江西省自然科學基金資助項目（20122BAB211004）；江西省教育廳科技項目（GJJ13696）.

余麗（1980—），女，碩士，講師，主要從事集值優化及應用研究.