基于降維可視化技術的結構可靠性靈敏度分析

李皓川,孫志禮,王海

(1.東北大學機械工程與自動化學院,遼寧沈陽 110819;2.沈陽金鑫宏美物資有限公司,遼寧沈陽 110001)

基于降維可視化技術的結構可靠性靈敏度分析

李皓川1,孫志禮1,王海2

(1.東北大學機械工程與自動化學院,遼寧沈陽 110819;2.沈陽金鑫宏美物資有限公司,遼寧沈陽 110001)

針對多維隱式結構可靠性問題,應用降維可視化技術進行可靠性靈敏度分析。基于iHLRF法求解設計點,根據模型計算精度確定有限差分步長。用一條直線將平面分為安全域和失效域兩部分,通過計算直線初始位置附近數據點對應的響應量,來調整并確定直線的最終位置,根據直線上方數據點提供的信息計算可靠性靈敏度。提出的可靠性靈敏度分析方法的準確性不受維度以及非線性的影響,且效率較高。最后計算了兩個結構系統的可靠度及各個變量的可靠性靈敏度,為結構設計提供了理論依據。算例表明了文中所給出的計算公式的正確性和有效性。

應用統計數學;結構可靠性;可靠性靈敏度;設計點;降維可視化技術;iHLRF法

0 引言

可靠性靈敏度分析為研究影響結構可靠性的主要因素提供了一種有效方法,其分析效果主要受可靠性分析方法的影響。對于復雜結構的可靠性問題,極限狀態函數一般都沒有解析表達式,即是隱式的。針對這一情況,經典的可靠性及可靠性靈敏度分析方法如一次可靠性方法(FORM)、二次可靠性方法(SORM)等解析法,由于其對高度非線性函數的近似效果不佳,因而精度不高[1-4]。取而代之的是改進的數字模擬方法,如重要抽樣法(ISM)、子集模擬法、線抽樣法和方向抽樣法等,或是代理模型近似技術,如響應面法、神經網絡技術、Kriging模型和支持向量機等[5-7]。然而這些方法應用在多維情況下都很困難,或是因為中間過程繁瑣,或是因為需要計算大量樣本的響應量,這被稱為“維度災難[8-12]”現象,從而降低了可靠性靈敏度分析的精度或效率。降維可視化技術[13](DRV)屬于一種改進的數字模擬方法。通過提取樣本的極特征信息并在平面內顯示,將可靠性問題的研究從傳統的標準正態空間轉換到了平面內,并利用映射到平面內的失效類數據點的聚集特性估算可靠度,其分析效果不受可靠性問題的非線性和維度的影響。應用降維可視化技術分析可靠性問題的關鍵在于設計點的求解,這是一個約束優化問題。一個被廣泛使用的方法即iHLRF[14]法,這是一種基于梯度的線搜索方法。當結構響應的梯度能夠被準確計算時,iHLRF法是一種準確且高效的方法,反之將會導致迭代無法收斂。對于隱式函數響應的梯度,一個最直接的計算方法是有限差分法,但差分步長的選擇常沒有規律卻顯著影響梯度的精度。

本文首先簡要介紹降維可視化技術的基本思想;然后應用iHLRF法求解設計點,根據模型的計算精度來確定有限差分的步長,保證了迭代的收斂性;進而提出通過計算少量樣本點的響應量就可以確定失效類數據點的個數,并利用失效類數據點提供的信息進行結構可靠性靈敏度分析。文中給出了分析方法的原理與具體步驟,最后用兩個多維可靠性問題驗證了所提方法的準確性。

1 降維可視化技術

用樣本的極特征作為平面直角坐標系的坐標,這樣就可將標準正態空間中的樣本點映射到平面內,若同時將數據結果的類標信息一并顯示,即可靠性分析中的失效類和安全類,就實現了樣本信息的降維可視化,就可在平面內用散點圖來顯示數據的分布情況。文獻[13]已經討論了在小概率情況下,從標準正態隨機變量空間映射到平面內的失效類數據點具有顯著的聚集特性,并且可由一條直線將平面內的兩類數據點分開。例如下面的極限狀態函數

式中:各隨機變量xi均服從參數值為1的指數分布; η為常數。應用Rosenblatt變換將極限狀態函數轉換到標準正態空間下如(7)式所示:

其設計點向量的方向為n=(1,1,…,1).令d= 30,η=46,產生50 000個樣本點,將其映射到平面內,計算樣本的類標信息如圖1所示。可以看出失效類樣本在極特征平面內有顯著的聚集特性,且可由一條直線將兩類數據點隔開,如圖1中的實線。

圖1 樣本信息的降維可視化Fig.1 Dimensionality reduction and visualization of samples'information

2 考慮計算精度的iHLRF法

式中:u=T(x)為原始隨機變量與標準正態隨機變量間的轉換關系;?G(x)/?xi為極限狀態函數相對于原始隨機變量的偏導數。由于在工程問題中G(x)常由有限元方法計算,其相對于原始隨機變量的偏導數的解析解很難得到,因此常采用有限差分方法計算,即

式中:Γxi為有限差分的步長;ei為xi軸上的單位向量。理論上差分步長越小,(16)式的截斷誤差就越小,但是應該根據模型的計算精度來選擇步長大小。一般極限狀態函數的響應包括兩部分:一部分是確定性的,而另一部分是隨機性的,這種隨機性是由計算機的舍入誤差和數值分析誤差造成的,通常與模型的計算精度以及響應值呈一定的比例。如果步長Γxi太小,可能造成差分G(x+Γxiei)-G(x)的值比響應G(x)的隨機部分還要小,這樣計算的偏導數值誤差將很大,甚至會造成迭代過程不收斂。因此差分步長應該足夠大,使得極限狀態函數響應值的隨機部分可以被忽略。本文采用(17)式作為每一步的差分步長:

式中:c為放大倍數;ε為模型計算精度;εG(x(k-1))為極限狀態函數的最大數值誤差;ΓG(x(k-1))i為第k-1次迭代的梯度向量中的第i個元素。第一次迭代時,由于前一次的梯度向量未知,可以采用一個較大的差分步長。計算精度需根據極限狀態函數的特性決定,如果G(x)是解析表達式,則ε一般應取10-8,如果G(x)是由數值計算確定的,如有限元分析,則ε應該根據數值分析的收斂標準確定,一般取10-5～10-4之間。

3 計算可靠性靈敏度

3.1 直線位置的確定方法

映射到平面內的失效類數據點均聚集在某一特定的位置,且落在一條直線上方。因此可將這條直線下方的安全類數據點截去,只需根據上方數據點提供的信息即可估算可靠度與可靠性靈敏度。但在調用極限狀態函數計算之前,映射到極特征平面內的數據點沒有類標信息,因此無法直觀確定直線的位置。文獻[13]提出根據經驗確定直線位置,即根據失效類數據點常出現聚集的位置確定一條直線,留出較大的裕度,如圖1中的虛線,計算直線上方所有數據點的類標信息,根據失效類數據點的個數估算可靠度。然而這種方法需要計算較多次極限狀態函數的響應。為了盡量減少極限狀態函數的調用次數,本文首先根據經驗預判斷直線的初始位置,然后根據其附近數據點的類標信息做出調整,達到最終位置,可以節省調用極限狀態函數的次數,提高計算效率。下面介紹調整直線位置的具體步驟。

1)根據隨機變量的維度在極特征平面內畫出可靠性圖的輪廓(使極特征的聯合概率密度函數等于0)。

2)在標準正態空間中產生N個樣本點,并將其映射到極特征平面內(此時極特征平面內的數據點是沒有類標信息的,如圖2中的白色數據點)。

3)預判斷直線的初始位置。根據經驗,中低維情況下直線在可靠性圖的右上部分(可以將其設置為同時通過可靠性圖最上端點與最右端點,如圖2中的虛線),而高維情況下則在可靠性圖的上方接近水平(可以將其設置為水平直線并在可靠性圖上1/4處)。

4)計算初始直線和可靠性圖輪廓的交點A、B附近數據點的類標信息。在A點附近,順時針進行時,當計算得到連續兩個失效類數據點即停止計算;逆時針進行時,當連續得到兩個安全類數據點即停止計算。在B點附近,順時針進行時,當計算得到連續兩個安全類數據點即停止計算;逆時針進行時,當連續得到兩個失效類數據點時即停止計算。

5)調整直線位置。使其同時通過臨界處的兩個失效類數據點,即確定了直線的位置。

圖2 直線位置調整示意圖Fig.2 Schematic diagram of adjustment strategy of straight line

圖2為調整直線位置的示意圖,虛線為直線初始位置,實線為調整后的位置,箭頭指示的是數據點的計算順序以及停止時機。

這樣只需要調用很少次極限狀態函數就可以將安全類數據點和失效類數據點隔開。

3.2 計算可靠度及可靠性靈敏度

當確定直線的位置后,統計得到直線上方數據點個數Nup,則失效概率為式中:xh可通過標準正態空間中的失效樣本點進行變換得到,而直線上方的數據點則儲存標準正態空間中失效樣本點的坐標信息。

4 實例分析

圖3 軸承內外圈配合情況Fig.3 Fit situation of bearing's inner and outer rings

算例1為了防止傳動軸發生抱死事故,軸承的工作游隙值應大于0 μm,即工作游隙的極限狀態函數為G(x)=μw(x)-0,其中μw(·)為工作游隙函數,同時考慮配合、內圈轉速、溫升以及軸承材料等隨機因素的影響。圖3表示的是軸承內外圈的配合情況。

表1給出了影響滾動軸承游隙的隨機變量及其分布參數。假設各隨機變量均服從正態分布且相互獨立。

表1 隨機變量分布參數列表Tab.1 Distribution parameters of random variables

此外,軸承內圈與軸配合直徑d1為80 mm,軸承外圈與軸承座配合直徑D2為200 mm.分別計算軸承內圈外徑、外圈內徑以及滾動體對工作游隙的影響,然后進行疊加,工作游隙的具體分析方法可參考文獻[15]。

應用Rosenblatt變換將極限狀態函數轉換到標準正態隨機變量空間,應用iHLRF法求解設計點,迭代停止的條件為‖u(k+1)-u(k)‖≤0.001.若每次的差分步長都設為定值,當迭代停止時,最終計算的設計點并不在極限狀態面上,即不滿足收斂條件|g(u*)/g(u0)|≤0.001,這是因為梯度計算出現較大誤差,導致迭代步長非常小,使迭代無法繼續進行。若采用(17)式的差分步長,放大倍數設為c= 5,模型計算精度設為ε=10-5,則能夠保證迭代的收斂。最終計算的設計點u*為(2.182,1.092, -1.091,0,0.007,-0.008,0.013,-0.048, -0.003,0.163,0.032,0.31,-0.217,0.123).產生N=10 000個樣本點并將其映射到平面內,調用22次極限狀態函數得到調整后的直線位置如圖4所示。截去下方數據點,統計直線上方共有Nup= 27個數據點,因此失效概率Pf=Nup/N=0.002 7.根據得到的設計點應用FORM、SORM以及ISM估算可靠度,結果如表2所示。

圖4 滾動軸承工作游隙可靠性問題的截斷直線Fig.4 Truncation line for reliability analysis of rolling bearing clearance

表2 算例1可靠度計算結果Tab.2 Calculated results of Example 1

雖然本問題中的隨機變量均服從正態分布,但由于隨機變量個數較多,且接觸分析給極限狀態函數帶來了非線性,因此解析法對失效樣本點的捕捉能力欠佳,出現了較大的誤差。而本文方法只比解析法多調用較少次數的極限狀態函數,卻得到了與精確解相似的精度,這是由于其利用了失效樣本點在標準正態空間中的分布規律,并直接從最可能失效區域進行搜索。將直線上方數據點對應的原始隨機變量空間中的樣本點坐標代入(24)式計算可靠性靈敏度,結果如表3、表4所示,其與通常的定性分析的結果吻合,可為軸承游隙的設計提供定量的理論依據。由于是利用失效樣本點的坐標信息估計可靠性靈敏度,而通過可靠性分析的結果可知,截斷直線上方的數據點提供的信息是準確的,因此利用其計算的可靠性靈敏度結果必然最接近精確解。

算例2一個7層的框架結構在頂部有均布的載荷40 kN/m,框架底部完全固定,如圖5所示。

本問題共含有31個隨機變量,即水平力(F1～F7),8種不同梁單元的實常數,即截面積(A1～A8)、抗彎慣性矩(I1～I8)以及截面高度(h1～h8)已在圖5中表示。分布情況如表5所示,假設各隨機變量相互獨立。彈性模量E=5×1011Pa,泊松比ν=

表3 均值可靠性靈敏度計算結果Tab.3 Calculated results of reliability sensitivity for mean value

表4 標準差可靠性靈敏度計算結果Tab.4 Calculated results of reliability sensitivity for standard deviation

圖5 7層平面框架Fig.5 Plane frame structure with seven layers

0.3,考慮鋼筋混凝土的質量(密度取2.5 t/m3)。

若規定右上方的水平位移不能超過20 mm,則極限狀態函數為G(x)=20-Δ(x).將隨機變量轉換為標準正態分布變量,將差分步長公式中的放大倍數設為c=5,模型計算精度設為ε=10-4,求得設計點u*為(0.000 4,-0.000 3,-0.000 7,-0.003 4, -0.009 1,-0.021 2,-0.038 4,0.000 4, -0.011 8,-0.060 8,-0.108 0,-0.166 0, -0.225 1,-0.531 9,-3.362 4,-0.457 6,0,0,0, 0,0,0,0,0,0.0332,0.0566,0.0691,0.0851,0.0992, 0.113 9,0.097 2)。產生N=50 000個樣本點并將其映射到極特征平面內,調用35次極限狀態函數得到調整后的直線位置如圖6所示。

截去下方數據點,統計直線上方共有Nup=36個數據點,因此失效概率Pf=Nup/N=7.2×10-4.根據得到的設計點應用FORM、SORM以及ISM估計可靠度,結果如表6所示。

表5 隨機變量分布參數列表Tab.5 Distribution parameters of random variables

圖6 框架結構可靠性問題的截斷直線Fig.6 Truncated line for reliability analysis of frame structure

表6 算例2可靠度計算結果Tab.6 Calculated results of Example 2

本問題涉及的隨機變量個數更多,并且由于水平力服從對數正態分布,因此在將其轉換為標準正態變量時給極限狀態函數帶來了較強的非線性,應用降維可視化技術進行可靠性及可靠性靈敏度分析卻不受之影響,且效率較高。考慮模型計算精度的差分步長的選取保障了iHLRF法的收斂,計算可靠性靈敏度的方法與算例1相同,由于變量較多,不再列出結果。

5 結論

1)本文提出的可靠性靈敏度分析方法是在平面內進行的,利用了映射到平面內的失效類數據點的高度聚集性,僅用一條直線上方的數據點提供的信息計算可靠性靈敏度,方法不受維度以及非線性的影響,且效率較高。

2)確定截斷直線的方法僅需調用較少次數的極限狀態函數,提高了降維可視化技術的效率。

3)根據模型計算精度確定的有限差分步長能夠準確地求解極限狀態函數響應的梯度,保證了應用iHLRF法求解設計點能夠滿足收斂條件。

4)方法規則,易于實現程序化。算例表明本文給出的基于降維可視化技術的可靠性靈敏度計算公式是有效和正確的。

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Analysis of Structural Reliability Sensitivity Based on Dimensionality Reduction and Visualization Technique

LI Hao-chuan1,SUN Zhi-li1,WANG Hai2
(1.School of Mechanical Engineering and Automation,Northeastern University,Shenyang 110819,Liaoning,China; 2.Shenyang Jinxin Hongmei Materials Co.Ltd.,Shenyang 110001,Liaoning,China)

For the implicit reliability problem with multiple dimensions,the reliability sensitivity of structure is analyzed by applying the dimensionality reduction and visualization technique.The design point is found based on iHLRF method,and the step size of finite difference is determined according to the modeling computational precision.The plane is divided into two parts of safe domain and failure domain by a straight line,and the final position of the straight line is determined by calculating the responses corresponding to several data points nearby its initial position.The dimensionality and nonlinearity do not affect the accuracy of the proposed method,which also has relatively high efficiency.Finally,the reliabilities of two structural systems and the reliability sensitivities of various influencing factors are calculated, which provides a theoretical basis for designing the structural systems.The examples show that these theories and formulas are rational and efficient.

applied statistical mathematics;structural reliability;reliability sensitivity;design point; dimensionality reduction and visualization technique;iHLRF method

TB114.3

A

1000-1093(2014)11-1876-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.11.020

2014-03-03

國家自然科學基金項目(51135003)

李皓川(1987—),男,博士研究生。E-mail:lhcneu@163.com;

孫志禮(1957—),男,教授,博士生導師。E-mail:zhlsun@mail.neu.edu.cn