關于導數、方向導數和梯度的思考

趙曉運ZHAO Xiao-yun

（臺州學院機械工程學院，臺州318000）

0 引言

導數是現代數學理論的基礎，也是當代工程技術應用分析的有力工具之一。導數本身體現出變量間的關系或函數功能及其極限過程操作的思考，變數體現了運動，運動體現了物理世界的變化。在許多實際問題中，需要對物理世界中功能關系的變化進行分析和利用，導數、方向導數和梯度內涵的“數”和“形”對應著對物理世界的一定認識，對物理世界的應用起著指導和創造作用。正確理解它們的結論和含義，能夠在廣泛的工程技術應用中形成突破和創新，更好地利用物質世界，創造出更有用、更有效的物質世界。

1 導數及其含義

導數反映的是因變量和自變量的比率關系，導數本身是關于自變量變化方向的矢量，具有大小和方向，其幾何形象是“斜率”。在工程實踐中，若影響考察目標的因素中只有一個主因，其它因素可以不計它們的影響，便形成了單一因素的工程實踐應用問題。在一元函數中，“斜率”的幾何方向僅是與單一自變量變化方向相聯系的，相應“斜率”的概念注重整體連續指向性，即考查各位置相對自變量的變化方向和整體變向指向情況。撇開其具體的物理和現實意義，主從變量之間的關系可以純粹地用數量關系描述，進而可以用圖形顯示其屬性含義，形成認識的“形象特征”，即“斜率”的概念。

2 方向導數及其含義

方向導數仍然是變化率的問題，方向導數是方向一定的變化量，只有大小，其幾何形象描述仍然是“斜率”。在工程實踐中，若影響考察目標的因素中可以近似認為有兩個主因，其它因素可以不計影響，便形成了雙因素的工程實踐問題。由于增加了一個影響因素，因而影響域是一個平面，在這個影響域內，兩個不同變量的變化趨勢便決定了影響域內的方向，那么方向導數便是考查目標相對這個方向的變化趨勢情況。撇開具體的物理意義，考察目標即相應的空間變量，在影響域兩個變量的作用下，形成一個空間曲面“形象”，在該曲面任一位置可形成一個切平面，這個切平面上任意直線方向與平面域的夾角便反映了方向導數的“斜率”。由此可見，方向導數針對一個單一方向的變化率，反映空間變量相對于某一方向的變化情況，這一方向是由雙因素聯合而形成。若分別設x和y為兩個主要影響因素，則方向導數的“斜率”可以理解為以點（x,y）為起點，沿xoy平面某一方向，從變量變化趨勢的“坡度”大小，即該量在所給方向上變化趨勢相對于xoy平面的傾斜程度。用方向導數來描述空間點的“斜率”，則體現了局部指向性。由于方向導數是給定方向后的變化率，所以，方向導數本身是標量，其值反映的是斜率的大小。

3 梯度及其含義

梯度反映的是空間變量變化趨勢的最大值和方向。梯度是導數和方向導數的綜合問題，從本質上說，梯度仍是“斜率”問題，對應的是切平面與平面域的夾角。切平面上任意方向與平面域的夾角中，只有一個方向與平面域的夾角最大，該夾角代表空間變量在平面域對應方向的方向導數所反映的“斜率”，斜率的大小為梯度的模，因而梯度實質是空間變量方向導數最大的方向的反映。空間變量在一位置點沿一個變量方向的方向導數為該變量的偏導數，“斜率”為該位置切平面上沿該變量的方向與該變量方向的夾角。空間變量在一位置點的梯度方向是空間變量相對于兩個自變量所決定的平面的變化情況，體現的是空間變量在該位置所形成的切平面與兩個主變量平面的夾角（二面角）。切平面與自變量平面的夾角的正切值即為該點梯度的大小（模）。所以，梯度是方向導數的線性組合，是有方向的。梯度的方向是從變量變化（方向導數）最大的方向，其值（模）為該方向的方向導數，對應的斜率是導數變化最大的方向與變量平面域的夾角即二面角。

4 工程應用的思考

導數、方向導數和梯度是從變量相對于自變量的變化率的描述，其共同特征是“斜率”或“坡度”的反映，都有特定“形象特征”的認識且具有關聯性。方向導數是局部趨勢的反映，是標量。導數和梯度則聯系由局部到整體，并揭示整體趨勢的反映，變量及其組合是有其變化趨勢和方向的，導數和梯度是關于變量方向的矢量，同樣是有大小和方向的。深刻、充分理解導數、方向導數和梯度的本質特征和相互之間的關聯性，對于相應的工程應用問題起到指導和推動作用。許多實際問題，研究考察目標相對諸多影響因素的任一“方位”的變化情況，分析關聯性，并對整體應用給出參考和指導。如定勢移動、波動等諸多問題的分析，都需要用到對導數、方向導數和梯度等的形象認識和理論分析，進而形成工程手段去實現相關目的。液體定勢和電力定勢應用問題中，液流強度和電流強度反映的是液勢和電勢的變化趨勢，因而，液流強度和電流強度與梯度有著直接聯系，可理解為相應的強度（勢能變化率）垂直于其等勢面，且與勢能增加方向相反。具體來說，在某點處的勢能強度與該點處勢能的負梯度方向相同。

總之，導數這一變化“趨勢”的認識，可以應用到諸多領域。即可定性，亦可定量。用定性導出定量，用定量去實現定性。工程應用的本質特征就是運用所認識的技術手段，在變量變化的精度范圍內，去近似實現工程的目標功能，為人類社會提供更優的服務。

5 結論與展望

數學理論來源于實踐，其隱含的“形象特征”認識又能反作用于實踐客體。縱觀世界變化，各種現象及功能皆有“數”和“形”的對應機理，人們可以根據需要研究特殊的“數”和“形”的關系，通過控制“數量”的裝置，創造出“連續數量”所顯示的物質。著名數學家希爾伯特曾說：“數學是一個有機體，它的生命力的一個必要條件是所有各部分的不可分離的結合”。物質世界是“形象”客體的化身，是“形象源”的重組與顯現。現代科學技術成就往往出現理論推導先于實際應用，掌握并利用這些理論需要對其“形象源”認識透徹、完整，方可全面、有效地指導實踐。在實際應用中，將導數理論和空間幾何學、空間運動學結合起來，甚至進行更大范圍的推廣，可以深層次地、更廣泛地開辟為人類服務的手段和工具。比如，可以用導數和運動來描述曲線和曲面，進而進行生成和制造，也可以由一定形狀的曲線和曲面來約束運動性質和狀態，進而實現所需的物理功能。因此，對于有形象特征的數學認識，知其源，察其用，感其形，經過分析組合，必能夠為工程技術應用提供“形象源”，進而推動工程技術創新和發展。

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