超高層建筑結構豎向地震響應的譜單元分析

何 政，張昊強

超高層建筑結構豎向地震響應的譜單元分析

何 政，張昊強

（大連理工大學土木工程學院，116024遼寧大連）

為研究脈沖型強震中的豎向分量對超高層建筑結構動力響應的影響，針對常見的框架——核心筒體系，應用譜單元分析其簡化的主結構體系模型在脈沖型強震豎向分量作用下的波動效應，并與基于振動力學的動力時程分析結果進行比較.為反映結構體系中巨型水平聯系構件中剪切變形的影響，推導了考慮剪切變形的Timoshenko梁譜單元，豎向構件的軸向反應則用譜單元中的桿單元來模擬，在分析中通過對波動方程的修正來反映地震波傳播的時延性.算例分析結果表明：在脈沖型強震豎向分量作用下，豎向構件的軸力波動較為明顯，內部核心筒與外部巨型柱的相對錯動效應顯著，橫向構件剪切問題不容忽視，此類損傷與后繼水平地震分量作用的非線性耦合效應更須注意.

超高層建筑；脈沖型激勵；豎向地震；譜單元方法；波動效應；剪切變形；Timoshenko梁

隨著高度的增大，超高層建筑結構軸向剛度沿其平面分布以及樓層質量分布的不均勻性呈現加劇趨勢，這些不均勻性使得結構體系對脈沖型強震中的豎向分量更加敏感，且超高層建筑的高度較大導致結構的宏觀振動顯著滯后.加之，相比于剪切波（S波），傳遞速度更快的壓縮波（P波）能夠在更短時間內將能量輸入給上部結構，從而使結構總體抗震性能存在隱患.在近斷層地區，較大V／H值（豎向分量與水平分量峰值加速度之比）或較大的脈沖型豎向地震分量均可造成這種脈沖波動效應，體現在工程結構上，可能會引起橋墩軸力的波動，進而導致其剪切承載力的下降［1］，也可能引起一些結構中不利的豎向相對錯動效應［2］.對于多塔結構，其連體部分和懸臂部分的內力響應對豎向地震分量也較為敏感［3］.此外，這種分量也會使結構梁柱節點處出現較大的動應力集中［4］.

波譜單元（又簡稱譜單元）法是譜分析法、動態剛度法和有限單元法3種方法的優勢集成，它結合了譜分析法中的波模態疊加、動力剛度法中的動力剛度矩陣形成以及經典有限單元法的矩陣裝配和單元劃分.譜單元是以頻域波動方程為插值函數，以整個構件為一個單元，具有較高的計算精度和較好的計算效率［5］，在波傳播相關研究中已有較多應用，如復合板中波的傳播模擬［6］、板中損傷檢測［7］、多孔介質中波的傳播模擬［8］、動態裂縫發展模擬［9］等等，這些研究大多聚焦于材料層面的分析.對于譜單元法在建筑結構層面的應用也有少量進展，吳志靜［10］在應用譜單元分析剛架結構動力響應時發現，譜單元方法中的傅里葉變換可能會產生周期性問題，Igawa等［11］借助拉普拉斯變換解決了這一問題，張俊兵［12］研究發現，可以在單元剛度矩陣中通過修改振動波數考慮阻尼效應.

擬針對超高層建筑結構體系中常見的框架——核心筒體系展開相關研究.考慮到核心筒與外周巨型框架柱之間橫向聯系構件的受力特點，結合譜單元方法，擬推導考慮剪切變形的Timoshenko梁譜單元，并通過修正波動方程以考慮P波在結構傳播過程中的時間延遲，即時延性問題.為提高波動分析的計算效率，根據文獻［13-14］的建議方法，擬對此類結構體系進行簡化，如圖1所示.

圖1 模型簡化示意

圖1中左側和右側軸向構件分別代表核心筒和巨型框架柱，樓板以集中質量表示，橫向聯系代表聯系核心筒和巨型框架柱的伸臂桁架.軸向構件采用桿譜單元［11］來模擬，Timoshenko梁波譜梁單元模擬用來模擬構件的轉動變形和橫向變形.由于結構豎向剛度相對較大，結構整體（尤其是主結構）進入彈塑性狀態的可能性不大，加之目前譜單元方法的材料非線性問題考慮尚不夠成熟，因此，本文僅考察結構的彈性波動效應，但分析結果仍有參考價值.

1 考慮剪切變形的Timoshenko梁譜單元剛度矩陣的推導

考慮阻尼效應和剪切變形的Timoshenko梁的轉動和平動振動微分方程

式中：y和yb分別為梁的總撓度和彎曲引起的撓度，則y-yb即為剪切變形引起的撓度；ρ為材料密度；A為截面面積；α為內部粘滯阻尼系數；μ為截面剪切系數；G為剪切模量；I為截面慣性矩；E為彈性模量；c為外部粘滯阻尼系數，參考文獻［12］的作法，可直接建立波動阻尼和振動阻尼之間的等價關系，即c＝ρAa0，其中a0為比例質量阻尼常數.

為方便推導，忽略內部粘滯阻尼，即令α＝0，對式（1）作拉普拉斯變換，得

式中ω為頻率.假定式（2）的一般解為

式中：a為常數向量；β為對角陣，β＝diag（βp）（p＝1，2，3，4）；k（ω）為振動波數（下文簡寫為k）.

將式（3）帶入式（2）可得

令η1＝ρIω2／E I，η2＝ρAω2／A Gμ，η3＝cω／E I，η4＝cω／AGμ，χ＝μA G／E I，η＝η1＋η2-η3-η4，κ＝η1η2-η2η3＋η3η4-η4η1.式（4）成立的條件是其左側矩陣行列式為零，即得

求解式（5）可得方程的根為

將式（6）中的kp（p＝1，2，3，4）代入式（4）中的第二式，可得βp＝（-η2＋η4）／i kp（p＝1，2，3，4）.由式（6）所得的4個振動波數來表示方程的解為

由式（7）得節點位移為

由式（8）變換得到

考慮荷載邊界條件，節點荷載位移見圖2.

圖2 梁單元

則由式（9）和式（10）結合得Timoshenko梁的譜單元剛度矩陣為

2 構件單元剛度矩陣

計算豎向地震下超高層建筑結構的動力響應，構件的軸向變形不得不考慮，因此需要在單元剛度矩陣中添加軸向變形分量.文獻［12］已經推導了軸向變形構件的單元剛度矩陣：

式中kr為構件軸向振動波數.在構件單元剛度矩陣中結合式（11）和式（12）即可得到考慮軸向變形、橫向變形和彎曲變形的構件單元剛度矩陣.

3 考慮時延性的動力方程

在一般動力學方程中考慮的是一致激勵輸入，即假定地震波同時作用于結構底部至頂部［15］，這是一種簡化的作法，與事實并不完全相符.地震動在任何一種介質內部傳播時都要經歷一定的時間，即結構各個部分的振動在時間上存在差異，即所謂的時延性.當結構高度較低或層數較少時，這種時延性并不突出，然而對于超高層建筑結構來說，時延性的影響逐漸凸顯，無論是基于傳統的振動力學還是波動力學，均需要在振動方程的建立過程中作適當考慮.據此，文中假定地震波通過每層所需要的時間均為Δt（層高除以地震波傳播速度），地震波到達上一層總比下一層滯后Δt，通過修正動力方程的右邊項，如下式所列：

式中：M、C和K分別為結構質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，xj是質點j處位移，F是外部動力荷載，Δt是層間傳播所用時間.在進行時域修正之后，再利用拉普拉斯變換或傅里葉變換將其轉換成頻域荷載.

4 譜單元法計算流程

圖3給出了超高層建筑結構在豎向地震作用下的譜單元分析流程，其中的拉普拉斯變換參考文獻［11］的作法，借助傅里葉變換來實現，即使拉普拉斯變量s＝σ＋iω（ω是圓頻率，σ是變換實常數）.采用Matlab語言進行編程，以算例5.2為例，程序由1個主程序和3個子程序構成，主程序為分析流程控制程序，3個子程序分別用來形成左側柱、右側柱和橫向聯系梁的譜單元剛度矩陣.為了保證收斂性，所有算例程序中拉普拉斯的復頻常數均取為4 096個.

圖3 譜單元法計算流程

5 算例分析

為驗證推導的Timoshenko梁譜單元，先將其應用到懸臂梁動力響應分析，通過與理論解析解對比自振頻率及自由端位移響應來考察其準確性和有效性.其后，再將其應用于一個簡化的超高層框架——核心筒主結構算例，研究結構在脈沖型強震豎向分量下的動力響應，包括相對錯動效應，軸力波動和橫梁剪切等.算例程序均采用MTALAB語言編寫.

5.1懸臂梁算例

圖4所示懸臂梁的幾何物理參數列于表1，梁右端作用集中荷載f（t），輸入如圖5所示阪神地震波，由拉普拉斯變換所得的采樣時間間隔Δt＝0.01 s，實常數變換為σ＝2π／（NΔt）.通過對懸臂梁進行掃頻（0～1 000 rad）得到如圖6所示的頻率響應曲線（簡稱頻響圖）.掃頻得到的懸臂梁前三階固有頻率與式（14）給出的理論解相當相近.采用Timoshenko梁譜單元剛度矩陣和文獻［12］中Euler梁譜單元剛度矩陣計算得到的懸臂梁自由端位移時程比較如圖7所示，兩種譜單元剛度矩陣得到的結果吻合很好，都能較準確地計算梁的動力響應，只是在極值點處稍有差異.采用兩種譜單元剛度矩陣計算得到的自由端峰值位移隨跨高比的變化如圖8所示，當跨高比小于10時，Timoshenko梁譜單元計算的峰值位移更大.由于此類梁考慮了剪切變形，因此對于模擬一些剪切效應顯著的構件更具針對性.

表1 懸臂梁參數

圖4 懸臂梁

圖5 阪神地震波

圖6 頻率響應

圖7 懸臂梁自由端位移時程

圖8 懸臂梁自由端峰值位移隨跨高比的變化

5.2超高層建筑結構算例

圖9所示一個主結構為三層的簡化框架——核心筒計算模型，圖9中一個譜單元代表一個主結構構件，如核心筒、巨型框架柱和作為橫向聯系構件的伸臂桁架，單元編號與幾何參數見圖9.仍以阪神地震波（圖5）作為輸入的豎向地震加速度時程，由于譜單元分析中頻域分析耗時較多且涉及大量時域分析與頻域分析的切換，計算效率較低，僅將輸入豎向地震動的幅值調至200 Gal，E取40 GPa，ρ＝2 500 kg／m3，波速4 000 m／s，則兩質點間40 m需0.01 s的傳播時間.對于高度達到400 m的建筑，地震波在結構中傳播一個來回需要0.2 s的時間，由此產生的時延性應予以考慮.

圖9 簡化的高層算例

如圖10所示為計算得到的左側底層質點位移時程響應（通過該質點的絕對位移時程與阪神地震動相應的位移時程相減后的結果），與圖5相比發現，在峰值以及相位變化方面兩圖有顯著差別.圖10顯示底層核心筒最大豎向位移約為0.3 mm，按照彈性力學可近似求解得到該部位核心筒的軸力變化為ΔN＝E AΔL／L＝6 000 kN，由此計算得到的軸壓比變化約為Δn＝ΔN／fcA＝1.6%.需要指出的是，由于巨型構件軸向剛度遠大于其抗側剛度，200 Gal的地震動幅值顯得偏小，如果輸入地震動峰值加速度參考日本東北大地震記錄到的最大豎向地震動峰值（超過1 200 Gal），則底層巨型構件的軸壓比變化可能在10%左右.如果再考慮后繼到達的水平分量，造成的耦合損傷可以預見.由于譜單元方法自身的計算特點，目前的應用更多聚焦于彈性分析，針對彈塑性分析的譜單元仍在發展中.

圖10 左側底層質點位移時程

圖11 頂層位移差時程

根據式（15）中構件位移與節點位移之間的關系，可得圖9所示左側中間構件位移時程.

圖11為不同剛度比下頂層兩質點的相對位移（即位移差）時程，此處剛度比為下一層的軸向剛度與本層軸向剛度的比值［13］.由圖11可見，在不同剛度比下，頂層質點位移差峰值存在相對明顯的變化，且最大位移差隨剛度比的增大而增大.當剛度比為100∶1時，最大位移差約為0.35 mm.類似地，如果輸入地震動峰值進一步加大的話，最大位移差也將同步放大，如果地震動峰值取1 200 Gal，按照彈性分析思路來外推，最大位移差可達2.1 mm，如此大的內部核心筒與外部巨型柱的相對變形，會對連接兩者的橫向伸臂桁架產生累積剪切損傷，造成節點應力集中.作為保障結構體系抗側剛度的關鍵聯系構件，橫向伸臂桁架的提前受損無疑會大大降低框架部分的框架作用，當核心筒部分和框架部分的動力特性相差懸殊時（事實往往如此），損傷將會加重.當后繼水平強震分量到來的時候，這種累積損傷將降低結構的水平抗震能力.此外，圖11還顯示出對應剛度比為5∶1的曲線與對應其他兩種剛度比的曲線存在顯著相位差，這主要歸因于剛度比和質點質量對入射地震能量反射和透射的影響，詳細討論見文獻［13］.

本算例沒有考慮軸向剛度和質量沿結構高度不均勻變化對結構響應的影響，相關影響在文獻［13-14］中有詳盡討論，關于時延性的影響在文獻［14-15］中均有較詳細表述，在此不宜贅述.需要說明的是，算例中所取參數及得到的計算結果均是為了驗證文中所提方法的有效性，在參數取值上進行了簡化處理，出于計算效率的考慮，并沒有直接對實際結構進行計算，這也是后續針對算法優化方面的研究重點.

6 結 論

1）在超高層建筑結構中，地震動在結構傳播過程中的時延性問題需要認真考慮，無論是基于傳統振動力學的平衡方程，還是以頻域形式表達的波動方程.

2）推導得到的Timoshenko梁譜單元可以考慮阻尼效應，但不能直接得到阻尼系數，需要采用外部粘滯阻尼系數、內部粘滯阻尼系數與瑞利阻尼比例常數之間的關系來建立波動阻尼和振動阻尼之間的等價關系.

3）在脈沖型強震豎向分量作用下，超高層建筑結構存在較明顯的波動效應，豎向結構構件的軸力存在一定的波動，尤其是底層豎向構件的軸力變化需要額外關注.內部核心筒與外部巨型柱的相對錯動效應不容忽視，這種錯動效應對承擔橫向聯系的伸臂桁架影響更須重視，特別要避免與后繼到來的強震水平分量作用下的損傷產生非線性耦合效應.

［1］KIM S J，HOLUB C J，ELNASHAI A S.Analytical assessment of the effect of vertical earthquake motion on RC bridge piers［J］.Journal of Structural Engineering，ASCE，2011，137（2）：252-260.

［2］黃吉鋒，邵弘，楊志勇.復雜建筑結構豎向地震作用的振型分解反應譜分析［J］.建筑結構學報，2009，增刊（1）：110-114.

［3］石文龍，孫飛飛，李國強.某多塔連體高層建筑的豎向地震反應分析［J］.建筑結構，2007，34（8）：65-69.

［4］HAYASI P，MASUDA Y，HASHIMOTO S，et al.Photoelastic analysis of stress waves in building subjected to vertical impact under laboratory earthquake experiments［J］.International Journal of Impact Engineering，Elsevier，2009，36（9）：1150-1155.

［5］LEE U.Spectral element method in structural dynamics［M］.Republic of Korea：John Wiley＆Sons（Asia）Pte Ltd，2009.

［6］KUDELA P，ZAK A，KRAWCZUK M，et al.Modelling of wave propagation in composite plates using the time domain spectral element method［J］.Journal of Sound and Vibration，Elsevier，2007，302（4／5）：728-745.

［7］PENG H K，MENG G，LI F C.Modeling of wave propagation in plate structures using three?dimensional spectral element method for damage detection［J］.Journal of Sound and Vibration，Elsevier，2009，320（4／5）：942-954.

［8］MORENCY C，TROMP J.Spectral?element simulations of wave propagation in porous media［J］.Geophysical Journal International，2008，175（1）：301-345.

［9］LIU Z L，MENOUILLARD T，BELYTSCHKO T.An XFEM／spectral element method for dynamic crack propagation［J］.International Journal of Fracture，2011，169（2）：183-198.

［10］吳志靜.譜元法研究桿系結構的動力學問題［D］.哈爾濱：哈爾濱工業大學，2011.

［11］IGAWA H，KOMATSU K，YAMAGUCHI I，et al.Wave propagation analysis of frame structures using the spectral element method［J］.Journal of Sound and Vibration，Elsevier，2004，277（4／5）：1071-1081.

［12］張俊兵.基于波譜單元法的結構動力分析［D］.武漢：華中科技大學，2011.

［13］何政，張昊強.簡化波動方法分析結構豎向脈沖效應的反射與透射系數［J］.工程力學，2013，30（7）：153-160.

［14］何政，張昊強.豎向地震下超高層建筑結構的簡化波動分析［J］.哈爾濱工業大學學報，2013，45（10）：93-99.

［15］李東升，賈輝，李宏男，等.論高聳結構地震動響應的時延性［J］.建筑結構，2010，40（增刊）：119-123.

（編輯趙麗瑩）

Spectrum elements for simulating responses of ultra high?rise building structures excited by vertical component of impulse?type strong earthquakes

HE Zheng，ZHANG Haoqiang
（Dept.of Civil Engineering，Dalian University of Technology，116024 Dalian，Liaoning，China）

To investigate the influence of the vertical component of impulse?type strong earthquakes on the dynamic responses of ultra high?rise buildings，spectral elements are applied to analyze the wave effect of a simplified computational model for the main structure of typical frame core?wall structural system excited by the vertical component of impulse?type strong earthquakes.Then，the dynamic time?history results from this method are compared with those from classical vibration mechanics.In the wave propagation analysis，the spectral element using the Timoshenko’s beam theory is developed to reflect shear deformation in mega horizontal transverse link members.The axial responses of vertical members are modeled by rod spectral element and the dynamic wave equilibrium is modified to account for the time delay as earthquake waves propagating through structures.The results from examples analysis indicate obvious fluctuation of axial force in vertical members and significant relative displacement between core walls and external mega columns.Hence，shear problem in transverse link elements cannot be ignored.Such shear?induced damage would be nonlinearily coupled with the subsequent horizontal component of impulse?type strong earthquakes，requiring special attention.

ultra high?rise building；impulse?type excitation；vertical earthquake；spectral element method；wave propagation effect；shear deformation；Timoshenko beam

TU355

A

0367-6234（2014）08-0072-06

2013-08-05.

國家自然科學基金資助項目（90915005，91315301）；高等學校博士點專項科研基金資助項目（20120041110001）.

何 政（1971—），男，教授，博士生導師.

何 政，hezheng1971＠126.com.