基于基面力的有限變形廣義擬Hamilton原理

劉宗民，梁立孚，樊濤

(哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江哈爾濱150001)

基于基面力的非保守系統有限變形問題是一個新興的課題。基面力作為一種描述應力狀態的新方法，較傳統的應力張量表示方法簡單[1]。利用基面力，各種應力張量都可以由表征位移的協變矢基的并矢來表示，可以得到彈性力學基本方程(平衡方程、邊界條件、本構關系)的簡潔表達式。基面力具有傳統的二階應力張量無法比擬的優越性，尤其是將基面力應用于有限變形問題，這種特點就顯得十分明顯。有限變形的勢能原理可以和小變形情況類似的建立起來。但是，有限變形的余能原理經歷了近百年，卻未給出適當的表達形式。高玉臣利用基面力作為基本未知量，給出了保守系統有限變形余能原理的適當表達形式[2]。

對于非保守系統，國外以Leipholz為代表，提出廣義自共軛的概念，建立了廣義的Hamilton原理，給出了著名的Leipholz桿模型[3]。我國學者也作了大量工作，提出并完善了各類擬變分原理。劉殿魁提出了彈性非保守系統的一般擬變分原理[4]。梁立孚、宋海燕研究了非保守系統彈性靜(動)力學兩類變量的廣義擬變分原理[5-6]。

對于有限變形問題，系統也常常是非保守的。文獻[7]對非線性非保守系統彈性力學擬變分原理作了系統的研究。但是，由于有限變形中“裂隙函數”[8]的存在，使得對于有限變形非保守系統擬變分原理的研究變得困難。本文以基面力和位移梯度為基本未知量，“裂隙函數”自動消失了，采用變積法建立了類似于小變形情況的彈性動力學時域邊值問題的有限變形非保守系統三類變量的廣義擬Hamilton原理。本文研究的非保守系統專指“伴生力”系統，即作用于系統的非保守力隨物體的變形而變化。

1 基本方程

按照文獻[9-11]，基于基面力的有限變形時域邊值問題的基本方程為平衡方程:

幾何方程:

本構關系:

時域邊值條件:

式中:Ti為基面力，gi為位移梯度，u為位移，ū為給定位移，mi為變形前面元單位法矢量分量，τ-0為變形前應力邊界上的面力，f為單位質量物體所受的體力，R為動量矢量，V為速度矢量，ρ0為變形前的密度，VP為變形前的基容，A為單位質量的應變能，B為單位質量的余能，Sσ為給定面力的邊界，Su為給定位移的邊界，ū0為t0時刻位移，ū1為t1時刻位移,為對時間的導數。

2 三類變量的廣義擬Hamilton原理

應用變積方法[12-13]，根據廣義力和廣義位移之間的對應關系，將式(1)～(6)和式(8)乘上相應的虛量，然后積分并代數相加，再對時間域積分，可得

應用Green定理:

及分部積分公式:

將式(13)和(14)代入式(12)，并按慣例在時域邊界處取δu=0，經整理后可將式(12)變換為

上式可進一步表示為

將式(16)簡記為

式中:

式(17)稱為基于基面力的非保守系統有限變形三類變量廣義擬Hamilton原理。

如果應用Green定理:

及分部積分公式:

將式(20)和(21)代入式(12)，并將式中各項改變符號，并按慣例在時域邊界處取δR=0，經整理后可將式(12)變換為

上式可進一步表示為

將式(23)簡記為

式中:

式(24)稱為基于基面力的非保守系統有限變形三類變量廣義擬余Hamilton原理。

由以上的推導過程可見，泛函 δΓH3+δQH+δPH=0是 δΠH3- δQH- δPH=0的對偶形式[14]。

3 正確性的驗證

按照基本變量之間的對應關系，將基于基面力的有限變形廣義擬Hamilton原理轉化為以第二類P-K應力張量和Green應變張量為基本變量的有限變形廣義擬Hamilton原理。進而證明本文建立的基于基面力的有限變形廣義擬Hamilton原理的正確性。

基面力Ti與第二類P-K應力張量Σ，以及位移梯度gi與Green應變張量εG之間的對應關系可以表示為[9-10]

圖1表示變形前與變形后的位置關系。如圖1所示，位移u和位移梯度gi可以表示為式中:F為變形梯度，P和Q分別代表一點變形前和變形后的矢徑，Pi和Qi分別為變形前和變形后的協變基矢，Pi和Qi分別為變形前和變形后的逆變基矢。

圖1 位移和變形Fig.1 Displacement and deformation

將位移梯度gi表示成在標架Pj中的分量形式，可得

式中:tij為基面力Ti在標架Qj上的分量.

將式(29)～(31)代入式(32)，可得

考慮式(27)、(28)、(31)和(33)，式(25)中等號右端第4項的變分式、以及等號右端第5項可以分別表示為[11，15-16]

式中:Σij為第二類P-K應力張量Σ的分量，Eij為Green應變張量εG的分量.

考慮式(27)，(28)，(33)，(34)和(35)，式(17)和(24)可以分別改寫為

式中:

式(36)為以第二類P-K應力張量和Green應變張量為基本變量非保守系統有限變形三類變量廣義擬Hamilton原理。

式中:

式(37)為以第二類P-K應力張量和Green應變張量為基本變量非保守系統有限變形三類變量廣義擬余Hamilton原理。式中，vk，rk，F-k和P-k分別表示為速度分量，動量分量，體力分量和面力分量。

式(36)和(37)的表達式與文獻[7]中的結果是一致的，從而證明本文建立的基于基面力的有限變形廣義擬Hamilton原理的正確性。

4 結束語

以基面力和位移梯度為基本變量，應用變積法建立了有限變形非保守系統三類變量的廣義擬Hamilton原理。當把基面力和位移梯度作為基本變量時，“裂隙函數”自動消失了，繁冗的公式得以簡化，建立有限變形的擬變分原理就變得比較容易。本文建立的有限變形的廣義擬Hamilton原理，具有和小變形情況一樣的結構形式。本文的工作表明，應用基面力理論解決有限變形問題，接近于彈性小變形問題的理論和方法，這不僅使得有限變形理論和應用變得較為容易，而且對借鑒較為成熟的彈性小變形問題的理論和方法來解決有限變形的理論和應用問題提供了方便。

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