居民消費價格指數(shù)基于ARIMA模型的構(gòu)建

任桃紅+趙聯(lián)文

【摘要】居民消費價格指數(shù)是我國物價指數(shù)體系中極其重要的一個指數(shù)，主要反映消費者支付商品和勞務(wù)的價格變化情況，也是一種度量通貨膨脹水平的工具，以百分比變化為表達形式。我國改革開放以來，社會經(jīng)濟的各方面發(fā)生巨大的變換，居民消費價格指數(shù)的變動也顯示出自身的特點，本文主要是應(yīng)用非平穩(wěn)時間序列和數(shù)學(xué)統(tǒng)計軟件Eviews對歷年的居民消費價格指數(shù)進行相關(guān)分析、處理并建立模型，這有利于我們認識它與社會經(jīng)濟發(fā)展相聯(lián)系的變動規(guī)律，文章最后根據(jù)所建立的模型舉例進行了預(yù)測。

【關(guān)鍵詞】時間序列 非平穩(wěn)序列 乘積季節(jié)模型 建模

一、相關(guān)知識

時間序列分析是一種動態(tài)數(shù)據(jù)處理的統(tǒng)計方法。一個時間序列{xt}是長期趨勢變動Tt，季節(jié)效應(yīng)St，周期變動Ct和不規(guī)則變動因素It共同作用的結(jié)果。確定性時間序列分析方法的原理是用確定性函數(shù)對長期趨勢變動Tt，季節(jié)效應(yīng)St，周期變動Ct進行擬合，將非平穩(wěn)時間序列平穩(wěn)化。本文我們?yōu)榱似椒€(wěn)化引入乘積季節(jié)模型。

乘積季節(jié)模型為：

ψ（B）U（BS）（1-B）d（1-BS）DXt=θ（B）V（BS）εt

E（εt）=0，Var（εt）=σ2ε，E（εSεK）=0，（s≠k）

EXkεt=0，（？坌k

其中：

U（BS）=1-u1BS-u2B2s-…-uPBPS

V（BS）=1-v1BS-v2B2s-…-uQBQS

可以對不同周期的同一周期點之間的相關(guān)性進行擬合：

ψ（B）=1-ψ1B-ψ2B2-…-ψPBP

θ（B）=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

用來消除同一周期不同周期點之間的相關(guān)性。

季節(jié)模型簡記為ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S其中p和q是消除同一周期不同周期點之間相關(guān)性的自回歸階數(shù)和移動平均階數(shù)，P和Q是消除不同周期的同一周期點之間的相關(guān)性的自回歸階數(shù)和移動平均階數(shù)，s為周期長度，d為差分的階數(shù)，D為季節(jié)差分的階數(shù)。

二、數(shù)據(jù)預(yù)處理

本文選取的是2000年1月到2011年12月全國居民消費價格指數(shù)的數(shù)據(jù)，記居民消費價格指數(shù)為具體數(shù)據(jù)如下表1：

通過Eviews軟件可得到時間序列y（t）的樣本自相關(guān)系數(shù)圖形可以發(fā)現(xiàn)，自相關(guān)系數(shù)呈線性衰減，衰減速度緩慢，這說明該序列y（t）含有一定的趨勢性。同時可以看出該序列不僅具有趨勢性，還具有周期長度大約為12的季節(jié)效應(yīng)。為消除趨勢性成分，首先對序列y1（t）進行一階逐期差分，差分序列的線性圖像如圖1：

圖1 圖2

從圖中可以看出，差分后序列y1（t）的均值是穩(wěn)定在零點附近的，即通過一階差分，原序列的趨勢性基本消除了。

通過Eviews軟件得到的一階差分序列的樣本自相關(guān)系數(shù)圖形可知，當(dāng)滯后期k=12時，該序列的樣本自相關(guān)系數(shù)是-0.497，與0有顯著差異，這表明序列具有周期為12個月的季節(jié)波動。再對y1（t）進行一階季節(jié)差分得到季節(jié)差分序列y2（t），y2（t）的時序圖為圖2，自相關(guān)圖顯示延遲12步自相關(guān)系數(shù)顯著大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，這說明差分后序列中仍蘊含著非常顯著的季節(jié)效應(yīng)。延遲1步，2步的自相關(guān)系數(shù)也大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差，這說明差分后序列還具有短期相關(guān)性，觀察偏相關(guān)圖得到的結(jié)論與此一致。

如果用AR模型和MA模型來模擬y2（t）的話，我們可以由擬合的殘差圖看出模型殘差非白噪聲，模型信息提取不充分，這里就不贅述了。

考慮到該序列既具有短期相關(guān)性又具有季節(jié)效應(yīng)，短期相關(guān)性和季節(jié)效應(yīng)不能簡單地，可加性地提取，因而估計該系列的季節(jié)效應(yīng)和短期相關(guān)性之間具有復(fù)雜的關(guān)聯(lián)性。這是，通常假定短期相關(guān)性和季節(jié)效應(yīng)之間具有乘積關(guān)系，故我們用乘積季節(jié)模型來擬合。

三、建立模型

在選擇模型時ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S，通常需要對觀測數(shù)據(jù)進行對數(shù)變換，序列y（t）經(jīng)過對數(shù)變換記為序列l(wèi)ogy（t），由的自相關(guān)圖與偏相關(guān)圖（見圖2）可以知道：除了個別點外，自相關(guān)系數(shù)在1階結(jié)尾，偏相關(guān)系數(shù)在2階結(jié)尾。根據(jù)Box-Jenkins建模思想，我們可以嘗試用，模型1：ARIMA（2，1，0）×（1，1，1）12，模型2：ARIMA（2，1，1）×（1，1，1）12，模型3：ARIMA（1，1，0）×（1，1，1）12，模型4：ARIMA（1，1，1）×（1，1，1）12來擬合。

相應(yīng)的輸出結(jié)果為分別如下：

從此可以看出：根據(jù)AIC定階原則，選擇AIC值最小的模型。因此，確定ARIMA（1，1，1）（1，1，1）12為該居民消費價格指數(shù)的模型。由圖3可以得到ARIMA（1，1，1）（1，1，1）的預(yù)測模型是：

（1+0.538445B12）（1-0.874479B）×（1-B）（1-B12）logy（t）=（1-0.922111B12）εt

對此模擬模型進行檢驗，檢驗結(jié)果顯示該模型順利通過殘差白噪聲檢驗和參數(shù)顯著性檢驗。說明這個擬合充分提取了原數(shù)據(jù)的信息。

四、模型的預(yù)測

我們利用上述模型對2011年10月～12月的數(shù)據(jù)進行預(yù)測，得到的預(yù)測結(jié)果為圖4：

圖4 圖3

由圖中可以看出：Theil不等相關(guān)系數(shù)為0.378332，說明模型對數(shù)據(jù)的擬合還是很好的。因此這一模型對居民價格指數(shù)的預(yù)測有明顯的參考價值。

參考文獻

[1]王沁.時間序列分析及其應(yīng)用.成都西南交通大學(xué)出版社.

[2]楊位欽，顧蘭著.時間序列分析與動態(tài)數(shù)據(jù)建模.北京：北京理工大學(xué)出版社，1998.

[3]王燕.應(yīng)用時間序列分析. 中國人民大學(xué)出版社.

[4]涂雄苓，黃月玲.旅游需求預(yù)測的ARIMA乘積季節(jié)模型構(gòu)建及實證分析[J].西財經(jīng)學(xué)院學(xué)報2011.

[5]程毛林.動態(tài)數(shù)據(jù)擬合的疊合模型及其應(yīng)用[J].運籌與管理. 2005.

[6]Mario Milanese，and Carlo Novara.Set Membership Prediction of Nonlinear Time Series. IEEE Transactions on Automatic Control.2005.

[7]Young，P.Data-based mechanistic modeling of Engineering Systems.Journal of Vibration and Control.1998.

【摘要】居民消費價格指數(shù)是我國物價指數(shù)體系中極其重要的一個指數(shù)，主要反映消費者支付商品和勞務(wù)的價格變化情況，也是一種度量通貨膨脹水平的工具，以百分比變化為表達形式。我國改革開放以來，社會經(jīng)濟的各方面發(fā)生巨大的變換，居民消費價格指數(shù)的變動也顯示出自身的特點，本文主要是應(yīng)用非平穩(wěn)時間序列和數(shù)學(xué)統(tǒng)計軟件Eviews對歷年的居民消費價格指數(shù)進行相關(guān)分析、處理并建立模型，這有利于我們認識它與社會經(jīng)濟發(fā)展相聯(lián)系的變動規(guī)律，文章最后根據(jù)所建立的模型舉例進行了預(yù)測。

【關(guān)鍵詞】時間序列 非平穩(wěn)序列 乘積季節(jié)模型 建模

一、相關(guān)知識

時間序列分析是一種動態(tài)數(shù)據(jù)處理的統(tǒng)計方法。一個時間序列{xt}是長期趨勢變動Tt，季節(jié)效應(yīng)St，周期變動Ct和不規(guī)則變動因素It共同作用的結(jié)果。確定性時間序列分析方法的原理是用確定性函數(shù)對長期趨勢變動Tt，季節(jié)效應(yīng)St，周期變動Ct進行擬合，將非平穩(wěn)時間序列平穩(wěn)化。本文我們?yōu)榱似椒€(wěn)化引入乘積季節(jié)模型。

乘積季節(jié)模型為：

ψ（B）U（BS）（1-B）d（1-BS）DXt=θ（B）V（BS）εt

E（εt）=0，Var（εt）=σ2ε，E（εSεK）=0，（s≠k）

EXkεt=0，（？坌k

其中：

U（BS）=1-u1BS-u2B2s-…-uPBPS

V（BS）=1-v1BS-v2B2s-…-uQBQS

可以對不同周期的同一周期點之間的相關(guān)性進行擬合：

ψ（B）=1-ψ1B-ψ2B2-…-ψPBP

θ（B）=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

用來消除同一周期不同周期點之間的相關(guān)性。

季節(jié)模型簡記為ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S其中p和q是消除同一周期不同周期點之間相關(guān)性的自回歸階數(shù)和移動平均階數(shù)，P和Q是消除不同周期的同一周期點之間的相關(guān)性的自回歸階數(shù)和移動平均階數(shù)，s為周期長度，d為差分的階數(shù)，D為季節(jié)差分的階數(shù)。

二、數(shù)據(jù)預(yù)處理

本文選取的是2000年1月到2011年12月全國居民消費價格指數(shù)的數(shù)據(jù)，記居民消費價格指數(shù)為具體數(shù)據(jù)如下表1：

通過Eviews軟件可得到時間序列y（t）的樣本自相關(guān)系數(shù)圖形可以發(fā)現(xiàn)，自相關(guān)系數(shù)呈線性衰減，衰減速度緩慢，這說明該序列y（t）含有一定的趨勢性。同時可以看出該序列不僅具有趨勢性，還具有周期長度大約為12的季節(jié)效應(yīng)。為消除趨勢性成分，首先對序列y1（t）進行一階逐期差分，差分序列的線性圖像如圖1：

圖1 圖2

從圖中可以看出，差分后序列y1（t）的均值是穩(wěn)定在零點附近的，即通過一階差分，原序列的趨勢性基本消除了。

通過Eviews軟件得到的一階差分序列的樣本自相關(guān)系數(shù)圖形可知，當(dāng)滯后期k=12時，該序列的樣本自相關(guān)系數(shù)是-0.497，與0有顯著差異，這表明序列具有周期為12個月的季節(jié)波動。再對y1（t）進行一階季節(jié)差分得到季節(jié)差分序列y2（t），y2（t）的時序圖為圖2，自相關(guān)圖顯示延遲12步自相關(guān)系數(shù)顯著大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，這說明差分后序列中仍蘊含著非常顯著的季節(jié)效應(yīng)。延遲1步，2步的自相關(guān)系數(shù)也大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差，這說明差分后序列還具有短期相關(guān)性，觀察偏相關(guān)圖得到的結(jié)論與此一致。

如果用AR模型和MA模型來模擬y2（t）的話，我們可以由擬合的殘差圖看出模型殘差非白噪聲，模型信息提取不充分，這里就不贅述了。

考慮到該序列既具有短期相關(guān)性又具有季節(jié)效應(yīng)，短期相關(guān)性和季節(jié)效應(yīng)不能簡單地，可加性地提取，因而估計該系列的季節(jié)效應(yīng)和短期相關(guān)性之間具有復(fù)雜的關(guān)聯(lián)性。這是，通常假定短期相關(guān)性和季節(jié)效應(yīng)之間具有乘積關(guān)系，故我們用乘積季節(jié)模型來擬合。

三、建立模型

在選擇模型時ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S，通常需要對觀測數(shù)據(jù)進行對數(shù)變換，序列y（t）經(jīng)過對數(shù)變換記為序列l(wèi)ogy（t），由的自相關(guān)圖與偏相關(guān)圖（見圖2）可以知道：除了個別點外，自相關(guān)系數(shù)在1階結(jié)尾，偏相關(guān)系數(shù)在2階結(jié)尾。根據(jù)Box-Jenkins建模思想，我們可以嘗試用，模型1：ARIMA（2，1，0）×（1，1，1）12，模型2：ARIMA（2，1，1）×（1，1，1）12，模型3：ARIMA（1，1，0）×（1，1，1）12，模型4：ARIMA（1，1，1）×（1，1，1）12來擬合。

相應(yīng)的輸出結(jié)果為分別如下：

從此可以看出：根據(jù)AIC定階原則，選擇AIC值最小的模型。因此，確定ARIMA（1，1，1）（1，1，1）12為該居民消費價格指數(shù)的模型。由圖3可以得到ARIMA（1，1，1）（1，1，1）的預(yù)測模型是：

（1+0.538445B12）（1-0.874479B）×（1-B）（1-B12）logy（t）=（1-0.922111B12）εt

對此模擬模型進行檢驗，檢驗結(jié)果顯示該模型順利通過殘差白噪聲檢驗和參數(shù)顯著性檢驗。說明這個擬合充分提取了原數(shù)據(jù)的信息。

四、模型的預(yù)測

我們利用上述模型對2011年10月～12月的數(shù)據(jù)進行預(yù)測，得到的預(yù)測結(jié)果為圖4：

圖4 圖3

由圖中可以看出：Theil不等相關(guān)系數(shù)為0.378332，說明模型對數(shù)據(jù)的擬合還是很好的。因此這一模型對居民價格指數(shù)的預(yù)測有明顯的參考價值。

參考文獻

[1]王沁.時間序列分析及其應(yīng)用.成都西南交通大學(xué)出版社.

[2]楊位欽，顧蘭著.時間序列分析與動態(tài)數(shù)據(jù)建模.北京：北京理工大學(xué)出版社，1998.

[3]王燕.應(yīng)用時間序列分析. 中國人民大學(xué)出版社.

[4]涂雄苓，黃月玲.旅游需求預(yù)測的ARIMA乘積季節(jié)模型構(gòu)建及實證分析[J].西財經(jīng)學(xué)院學(xué)報2011.

[5]程毛林.動態(tài)數(shù)據(jù)擬合的疊合模型及其應(yīng)用[J].運籌與管理. 2005.

[6]Mario Milanese，and Carlo Novara.Set Membership Prediction of Nonlinear Time Series. IEEE Transactions on Automatic Control.2005.

[7]Young，P.Data-based mechanistic modeling of Engineering Systems.Journal of Vibration and Control.1998.

【摘要】居民消費價格指數(shù)是我國物價指數(shù)體系中極其重要的一個指數(shù)，主要反映消費者支付商品和勞務(wù)的價格變化情況，也是一種度量通貨膨脹水平的工具，以百分比變化為表達形式。我國改革開放以來，社會經(jīng)濟的各方面發(fā)生巨大的變換，居民消費價格指數(shù)的變動也顯示出自身的特點，本文主要是應(yīng)用非平穩(wěn)時間序列和數(shù)學(xué)統(tǒng)計軟件Eviews對歷年的居民消費價格指數(shù)進行相關(guān)分析、處理并建立模型，這有利于我們認識它與社會經(jīng)濟發(fā)展相聯(lián)系的變動規(guī)律，文章最后根據(jù)所建立的模型舉例進行了預(yù)測。

【關(guān)鍵詞】時間序列 非平穩(wěn)序列 乘積季節(jié)模型 建模

一、相關(guān)知識

時間序列分析是一種動態(tài)數(shù)據(jù)處理的統(tǒng)計方法。一個時間序列{xt}是長期趨勢變動Tt，季節(jié)效應(yīng)St，周期變動Ct和不規(guī)則變動因素It共同作用的結(jié)果。確定性時間序列分析方法的原理是用確定性函數(shù)對長期趨勢變動Tt，季節(jié)效應(yīng)St，周期變動Ct進行擬合，將非平穩(wěn)時間序列平穩(wěn)化。本文我們?yōu)榱似椒€(wěn)化引入乘積季節(jié)模型。

乘積季節(jié)模型為：

ψ（B）U（BS）（1-B）d（1-BS）DXt=θ（B）V（BS）εt

E（εt）=0，Var（εt）=σ2ε，E（εSεK）=0，（s≠k）

EXkεt=0，（？坌k

其中：

U（BS）=1-u1BS-u2B2s-…-uPBPS

V（BS）=1-v1BS-v2B2s-…-uQBQS

可以對不同周期的同一周期點之間的相關(guān)性進行擬合：

ψ（B）=1-ψ1B-ψ2B2-…-ψPBP

θ（B）=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

用來消除同一周期不同周期點之間的相關(guān)性。

季節(jié)模型簡記為ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S其中p和q是消除同一周期不同周期點之間相關(guān)性的自回歸階數(shù)和移動平均階數(shù)，P和Q是消除不同周期的同一周期點之間的相關(guān)性的自回歸階數(shù)和移動平均階數(shù)，s為周期長度，d為差分的階數(shù)，D為季節(jié)差分的階數(shù)。

二、數(shù)據(jù)預(yù)處理

本文選取的是2000年1月到2011年12月全國居民消費價格指數(shù)的數(shù)據(jù)，記居民消費價格指數(shù)為具體數(shù)據(jù)如下表1：

通過Eviews軟件可得到時間序列y（t）的樣本自相關(guān)系數(shù)圖形可以發(fā)現(xiàn)，自相關(guān)系數(shù)呈線性衰減，衰減速度緩慢，這說明該序列y（t）含有一定的趨勢性。同時可以看出該序列不僅具有趨勢性，還具有周期長度大約為12的季節(jié)效應(yīng)。為消除趨勢性成分，首先對序列y1（t）進行一階逐期差分，差分序列的線性圖像如圖1：

圖1 圖2

從圖中可以看出，差分后序列y1（t）的均值是穩(wěn)定在零點附近的，即通過一階差分，原序列的趨勢性基本消除了。

通過Eviews軟件得到的一階差分序列的樣本自相關(guān)系數(shù)圖形可知，當(dāng)滯后期k=12時，該序列的樣本自相關(guān)系數(shù)是-0.497，與0有顯著差異，這表明序列具有周期為12個月的季節(jié)波動。再對y1（t）進行一階季節(jié)差分得到季節(jié)差分序列y2（t），y2（t）的時序圖為圖2，自相關(guān)圖顯示延遲12步自相關(guān)系數(shù)顯著大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，這說明差分后序列中仍蘊含著非常顯著的季節(jié)效應(yīng)。延遲1步，2步的自相關(guān)系數(shù)也大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差，這說明差分后序列還具有短期相關(guān)性，觀察偏相關(guān)圖得到的結(jié)論與此一致。

如果用AR模型和MA模型來模擬y2（t）的話，我們可以由擬合的殘差圖看出模型殘差非白噪聲，模型信息提取不充分，這里就不贅述了。

考慮到該序列既具有短期相關(guān)性又具有季節(jié)效應(yīng)，短期相關(guān)性和季節(jié)效應(yīng)不能簡單地，可加性地提取，因而估計該系列的季節(jié)效應(yīng)和短期相關(guān)性之間具有復(fù)雜的關(guān)聯(lián)性。這是，通常假定短期相關(guān)性和季節(jié)效應(yīng)之間具有乘積關(guān)系，故我們用乘積季節(jié)模型來擬合。

三、建立模型

在選擇模型時ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S，通常需要對觀測數(shù)據(jù)進行對數(shù)變換，序列y（t）經(jīng)過對數(shù)變換記為序列l(wèi)ogy（t），由的自相關(guān)圖與偏相關(guān)圖（見圖2）可以知道：除了個別點外，自相關(guān)系數(shù)在1階結(jié)尾，偏相關(guān)系數(shù)在2階結(jié)尾。根據(jù)Box-Jenkins建模思想，我們可以嘗試用，模型1：ARIMA（2，1，0）×（1，1，1）12，模型2：ARIMA（2，1，1）×（1，1，1）12，模型3：ARIMA（1，1，0）×（1，1，1）12，模型4：ARIMA（1，1，1）×（1，1，1）12來擬合。

相應(yīng)的輸出結(jié)果為分別如下：

從此可以看出：根據(jù)AIC定階原則，選擇AIC值最小的模型。因此，確定ARIMA（1，1，1）（1，1，1）12為該居民消費價格指數(shù)的模型。由圖3可以得到ARIMA（1，1，1）（1，1，1）的預(yù)測模型是：

（1+0.538445B12）（1-0.874479B）×（1-B）（1-B12）logy（t）=（1-0.922111B12）εt

對此模擬模型進行檢驗，檢驗結(jié)果顯示該模型順利通過殘差白噪聲檢驗和參數(shù)顯著性檢驗。說明這個擬合充分提取了原數(shù)據(jù)的信息。

四、模型的預(yù)測

我們利用上述模型對2011年10月～12月的數(shù)據(jù)進行預(yù)測，得到的預(yù)測結(jié)果為圖4：

圖4 圖3

由圖中可以看出：Theil不等相關(guān)系數(shù)為0.378332，說明模型對數(shù)據(jù)的擬合還是很好的。因此這一模型對居民價格指數(shù)的預(yù)測有明顯的參考價值。

參考文獻

[1]王沁.時間序列分析及其應(yīng)用.成都西南交通大學(xué)出版社.

[2]楊位欽，顧蘭著.時間序列分析與動態(tài)數(shù)據(jù)建模.北京：北京理工大學(xué)出版社，1998.

[3]王燕.應(yīng)用時間序列分析. 中國人民大學(xué)出版社.

[4]涂雄苓，黃月玲.旅游需求預(yù)測的ARIMA乘積季節(jié)模型構(gòu)建及實證分析[J].西財經(jīng)學(xué)院學(xué)報2011.

[5]程毛林.動態(tài)數(shù)據(jù)擬合的疊合模型及其應(yīng)用[J].運籌與管理. 2005.

[6]Mario Milanese，and Carlo Novara.Set Membership Prediction of Nonlinear Time Series. IEEE Transactions on Automatic Control.2005.

[7]Young，P.Data-based mechanistic modeling of Engineering Systems.Journal of Vibration and Control.1998.