Lee相變傳質方程中傳質系數取值的分析

邱國棟，蔡偉華，吳志勇，姜益強，姚 楊（.哈爾濱工業大學市政環境工程學院，50090哈爾濱；.哈爾濱工業大學能源科學與工程學院，5000哈爾濱）

Lee相變傳質方程中傳質系數取值的分析

邱國棟1，蔡偉華2，吳志勇1，姜益強1，姚 楊1
（1.哈爾濱工業大學市政環境工程學院，150090哈爾濱；2.哈爾濱工業大學能源科學與工程學院，150001哈爾濱）

針對Lee相變傳質方程中傳質系數主要依靠經驗取值的問題，本文嘗試提出一種確定傳質系數的方法，給出了評價傳質系數合理性的2個指標——潛熱份額（潛熱換熱量占總換熱量的份額）和飽和溫差（流體溫度與飽和溫度的差值），建立了穩態分析模型，通過理論推導，得出了潛熱份額和飽和溫差的理論表達式，據此分析了傳質系數對模擬結果的影響，已有特定條件下的理論解驗證了本文分析結果的正確性.分析結果表明傳質系數越大，計算精度越高.基于分析結果解釋了不同文獻對該系數取值差異很大的原因，并給出了傳質系數的通用取值方法，最后推薦了常見工況模擬中傳質系數的合理取值范圍.

相變；傳質；冷凝；沸騰；數值模擬

在采用計算流體動力學（CFD）方法模擬冷凝或沸騰過程時，相變模型的準確性對整個冷凝或沸騰的模擬結果至關重要，這關系到能否準確地模擬出溫度場、干度變化、氣液相分布及整個換熱過程的合理性.在現有相變模型中，Lee［1］所提出的相變傳質方程是在Hertz Knudsen方程［2-3］的基礎上推導而來，具有形式簡單、易于計算、可靠性高等優點，因此得到了廣泛應用［4-10］.但是Lee相變傳質方程中存在一個難以確定的系數，該系數通常是根據研究者的經驗來取值，缺乏理論依據，最終導致該系數在不同文獻中的取值差異非常大［5，6，9-12］.由于傳質系數對模擬結果的準確性具有重要影響，因此本文針對傳質系數的取值方法進行分析.

1 傳質系數問題

關于單位體積冷凝或沸騰傳質速率的計算，Lee［1］給出了結構簡單、應用廣泛的相變傳質方程，即Lee方程，其形式為

式中：S為液相連續性方程中的質量源項，kg／（m3·s）；r為相變傳質系數，1／s；αl、αg分別是液相和氣相的體積分數；ρl、ρg分別是液相和氣相的密度，kg／m3；T、Ts分別是流體溫度和飽和溫度，K.

Lee方程涉及界面濃度（即單位體積內的相界面面積）的計算，由于氣液兩相流存在復雜的流型，要計算出所有流型下的界面濃度十分困難，目前只能計算出某些特定流型下的界面濃度. ANSYS14.0 FLUENT理論手冊［13］給出了細泡狀流下的界面濃度計算公式其過程如下：

式中，Ai為界面面積，m2；Vcell為單元格體積，m3；d為氣泡（或液滴）直徑，m.

由此得到泡狀流沸騰過程r的表達式為

式中：β為調節系數；M為摩爾質量，kg／mol；R為通用氣體常數，8 314 J／（mol·K）；hfg為氣化潛熱，J／kg；Ts為流體飽和溫度，K.

盡管式（3）、（4）是在泡狀流沸騰和霧狀流冷凝的情況下推導出的相變傳質系數表達式，但表達式中的粒徑d和調節系數β仍難以確定．而在其他流型下因界面濃度難以計算，使得其傳質系數r更加難以用理論分析來確定．因此Lee相變傳質方程在使用時，相變傳質系數一般取為經驗常數.目前不同文獻對該相變傳質系數的取值差異非常大［5，6，9-12］，為0.1～107s-1.且這些文獻只給出了經驗值，并未對其合理性進行深入分析.

2 傳質系數對結果的影響

從理論上導出傳質系數較為困難，本文不考慮哪些因素會影響傳質系數，而是分析傳質系數的不同取值會對相變換熱的模擬結果產生什么影響，最終通過分析其影響規律來反推傳質系數的合理取值.

該方法需要一個能夠評價傳質系數合理性的指標，從能量方程（5）出發來分析.

式中：ρ為流體的密度，kg／m3；h為流體比焓，J／kg；u為流體速度，m／s；λeff為考慮湍流的流體有效導熱系數，W／（m2·K）.等號右邊第一項為顯熱換熱量，第二相為潛熱換熱量，由于S與r成正比，所以r的大小決定了潛熱換熱量占總換熱量的比重.定義潛熱換熱量占總換熱量的比重為潛熱份額RL．常見的單質冷凝（或沸騰）換熱一般認為是定壓相變換熱，在兩相區流體的溫度變化很小，換熱以相變換熱為主，潛熱份額RL應接近1．故潛熱份額RL可作為評價r取值是否合理的指標之一.

很顯然潛熱份額RL隨r的增加而增加，r越大，RL越接近1，換熱過程越接近純相變換熱．理論上當r→+∞時RL→1，即當r→+∞時換熱過程才能保證是純相變換熱．這表明實際冷凝（或沸騰）模擬中，r盡可能地取較大的值，從而可保證模擬得到的溫度場和干度變化接近理論值，此時模擬得到的相界面溫度等于飽和溫度（即界面邊界條件［4，6］）．如果r取值過小，RL接近0，將會導致換熱過程接近單相換熱，對于換熱量較大的模擬工況，它使得冷凝過程的氣相溫度遠低于沸點溫度，或沸騰過程的液相溫度遠高于沸點溫度，這樣的過程不僅不合理，而且因相變量太小導致流體干度與實際差異較大，模擬得到的流型和換熱特性也與實際差異較大．這表明兩相態流體溫度與飽和溫度的差值ΔT（飽和溫差）也可作為評價r取值是否合理的指標之一．

上述分析表明，r取較大的值可以保證任何情況下的模擬結果與實際接近，具有通用性．但是，r太大會帶來能量方程計算易發散的問題，r取多大會帶來能量方程易發散的問題與模擬問題的復雜性、網格質量和算法中松弛因子取值有關，例如文獻［6］模擬一根水平直管內冷凝過程，結構簡單，網格質量好，不發散的r最大可取到750 000；文獻［12］模擬一根蛇形管內沸騰過程，結構復雜，網格質量稍低，不發散的r僅為100，因此r并非越大越好．由于精度和收斂性的矛盾，要求r應該在保證精度的前提下盡量取較小的值．為此需要定量分析潛熱份額RL與傳質系數r的數學關系．為了便于理論分析，建立穩態分析模型，取一個圓柱形微元體，如圖1所示，直徑為D，長度為L，進口溫度為Tin=Ts，干度為xin，出口溫度為Tout，干度為xout，質量流率為G．

圖1 微元段幾何模型

由于本模型不關心每個面的換熱情況，只關心換熱總量，故不妨假設換熱只在圓周面上進行，面熱流密度為q，對于冷凝過程，顯熱換熱量為

式中cp，m為氣液平均比熱；L很小，微元體內平均干度近似等于入口干度，因此氣、液相平均比熱可按下式計算：

潛熱換熱量為

總換熱量為

聯立式（9）和（10）可得潛熱份額RL為

聯立式（8）、（9）和（10）可得飽和溫差ΔT為

將式（12）代入式（11）可得

由式（13）可看出，RL隨r的增加而增加，當r大到一定值時，再增加r對RL的影響很小．由式（12）可看出，ΔT隨r的增加而減小，當r大到一定值時，再增加r對ΔT的影響很小．這說明當r滿足精度要求時，再增加r的意義不大．

3 傳質系數取值方法

依據r取值合理性的兩個評價指標，可得合理的r應同時滿足如下要求：

1）模擬的換熱過程以相變換熱為主，即RL值接近1；

2）兩相態的流體溫度與飽和溫度接近，即飽和溫差ΔT接近0．

這兩個指標具有相關性，當r足夠大時能夠同時滿足，但是在某些情況下并不會同時滿足，例如當長度L或熱流密度q較小時，由式（12）可以看出，即使r較小也可能使ΔT接近0．不同的研究任務對上述兩個指標的要求不同，應根據研究目的需要，對這兩個指標設定合理的精度．從式（12）～（15）可以看出，影響RL和ΔT的參數有r、ρg、ρl、x、hfg、L、cp，m、G、q、D和Ts；對于某一個特定的工況，除了r外其他參數均為已知．按上述合理的r的取值要求，既保證RL值接近1（如0.95＜RL＜1），同時保證ΔT接近0（如ΔT＜0.1 K），依據式（12）～（15）可以得到一個合理的r值．

由上述分析可以看出，合理的r并非一個定值，而是一個范圍，這可能是不同文獻對r取值不同的原因．本文選取常見介質：水，繪制出不同干度x，不同長度L，不同直徑D，不同熱流密度q，不同對比壓力Pr，不同流量G時潛熱份額RL和飽和溫差ΔT隨r變化的曲線，如圖2～圖7所示．圖中當某些參數變化時，其他未標出的參數均為默認值，默認值如下：干度x=0.5，長度L=1 m，直徑D=0.014m，熱流密度q=10 kW·m-2，對比壓力Pr=0.2，流量G=600 kg／（m2·s）.

圖2 不同流量G下RL和ΔT隨r的變化曲線

圖3 不同對比壓力Pr下RL和ΔT隨r的變化曲線

圖4 不同干度x下RL和ΔT隨r的變化曲線

圖5 不同長度L下RL和ΔT隨r的變化曲線

圖6 不同管徑D下RL和ΔT隨r的變化曲線

圖7 不同熱流密度q下RL和ΔT隨r的變化曲線

由圖2～7可看出，不同工況下水的潛熱份額RL和飽和溫差ΔT隨r的變化趨勢基本一致，均表現為RL隨r的增加而增加，ΔT隨r的增加而減小．干度x，長度L，對比壓力Pr，流量G，直徑D，熱流密度q對RL影響較小或無影響．當r取值較小時，這些參數對ΔT的影響較大，在常見的取值范圍中，相對來說長度L對ΔT的影響更大一些；但是當r較大時，這些因素對ΔT的影響均變的較小．各因素敏感性分析表明當r大到一定值以后，潛熱份額RL和飽和溫差ΔT幾乎不受其他參數影響，基本為一個常數．這意味著對于常見工況，存在一個較通用的r取值范圍．由圖2～7可看出，從精度角度看，常見工況的r推薦值在104以上較為合適，該推薦的范圍之所以能通用主要是因為在該范圍內，其他參數的影響均可忽略．由于計算收斂性受多種因素影響（如模型復雜性，網格質量，計算松弛因子取值等），且部分因素與研究者主觀經驗有關，故從精度角度得到的r取值其收斂性難以預判．實際應用時，可以先從精度分析推薦的范圍中取一個r值試算，如果能量方程不收斂，則降低r取值，如果r取值明顯小于104，則需用r兩個評價指標來評價其合理性．

從泡狀流沸騰的傳質系數理論式（3）可以估算出常見工況r的量級大于106（估算數據如下：氣泡（或液滴）直徑d取10-4m，β取1，摩爾質量M取0.018 kg／mol，通用氣體常數R取8 314 J／（mol·K），潛熱hfg取5×105J／kg，Ts取300 K，得r=1.02×106），從本文的分析可以看出該量級使得潛熱份額RL十分接近1，且飽和溫差ΔT十分接近0，可認為是理想的等溫相變過程，與理論公式（3）的前提假設是一致的．這也驗證了本文分析的合理性.由此還可以看出，雖然理論分析得到的r使得相變過程與理想情況一致，但是由此得到的r并不一定便于在CFD中使用.這是因為由此得到的r太大，使得能量方程容易發散.這表明花太多精力去研究傳質系數理論解意義不大.

4 結 論

針對在冷凝或沸騰過程模擬研究中廣泛使用的相變傳質Lee方程，建立了穩態分析模型，分析了該方程中的傳質系數對模擬結果的影響，解決了現有文獻針對該傳質系數的取值多依靠經驗而缺乏理論依據的問題，獲得以下結論：

1）傳質系數r會影響潛熱份額RL以及飽和溫差ΔT，進而影響溫度場、干度變化和氣液相分布等模擬結果．

2）傳質系數r增加，潛熱份額RL隨之增加，飽和溫差ΔT隨之減小，當r大到一定值以后，再增加r對RL和ΔT的影響很小．

3）傳質系數r取較大的值可以使相變換熱接近理論值，從精度角度看，常見工況的r的合理取值范圍推薦為104以上．

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（編輯 趙麗瑩）

Analysis on the value of coefficient ofmass transfer w ith phase change in Lee′s equation

QIU Guodong1，CAIWeihua2，WU Zhiyong1，JIANG Yiqiang1，YAO Yang1
（1.School of Municipal＆Environmental Engineering，Harbin Institute of Technology，150090 Harbin，China；2.School of Energy Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China）

To solve the problem that the mass transfer coefficient in Lee＇s equation need to be obtained depending on the experience，amethod was proposed，and two indexes evaluating the rationality of the mass transfer coefficient-latentheat share（the share of latent heat flux in total heat flux）and saturation temperature difference（difference between fluid temperature and saturation temperature）were presented.A steady state model was established to analyze this problem and the expression of latent heat share and saturation temperature difference were obtained by the theoretical guidance.By the expression，the effect ofmass transfer coefficient on the simulation was analyzed.The analysis resultwas validated by the existing theoretical result in particular cases.The results show that the calculation accuracy increases with the increase of the coefficient. Based on these results，the reason for large difference of the coefficient value in different literatures was explained，themethod of how to get the coefficient value was presented，and the value range of easy-to-use was suggested.

phase change；mass transfer；condensation；boiling；numerical simulation

TB61+1

A

0367-6234（2014）12-0015-05

2014-04-08.

教育部博士點基金項目（博導類）（20102302110045）.

邱國棟（1985—），男，博士研究生；姜益強（1973—），男，教授，博士生導師；姚 楊（1963—），女，教授，博士生導師.

姜益強，jyq7245＠sina.com.