簡諧成分的盲源分離適用性研究

董建超，楊鐵軍，李新輝，代 路

（哈爾濱工程大學動力與能源工程學院，黑龍江 哈爾濱150001）

簡諧成分的盲源分離適用性研究

董建超，楊鐵軍，李新輝，代 路

（哈爾濱工程大學動力與能源工程學院，黑龍江 哈爾濱150001）

盲源分離問題（BSS）大多基于信源信號的獨立性假設或者時間結構假設條件來展開研究，對信源的不當假設可能導致算法過學習，產生虛假的信源識別結果。針對機械系統中普遍存在的簡諧成分，研究了BSS方法應用于簡諧成分盲分離的適用性。簡要介紹了2種典型的BSS方法——獨立分量分析方法（ICA）和二階盲辨識方法（SOBI），通過峭度分析簡諧信號的非高斯性，發現當簡諧信號構成傅里葉級數系時，有可能構成非高斯性更強的信號。應用FastICA算法和SOBI算法進行簡諧信號盲分離的仿真研究以及簡支梁結構模態識別的實驗研究。結果表明：當簡諧信號構成傅里葉級數系時，ICA方法會優先分離非高斯性更強的信號，導致方法過學習；而SOBI方法能確保簡諧成分的盲分離過程準確可靠。

盲源分離；獨立分量分析；二階盲辨識；峭度；模態識別；簡諧成分

大量船用機械設備趨于復雜化和聯合化，振動傳遞復雜，要得到具有真實物理特性的振源信號非常困難。如何從測得的混合信號中提取各個振源原始的振動信號并且確定設備近似的傳輸特性，成為船用設備故障診斷、振動噪聲控制與優化設計中的首要問題。近年來，僅僅通過觀測信號估計源信號的盲源分離方法（blind source separation，BSS）在機械工程領域得到廣泛的應用［1-6］。G.Kerschen［7-8］、Zhou W［9］等在應用BSS方法進行弱阻尼條件下的結構模態識別研究中，發現二階統計量方法（secondorder blind identification，SOBI）能夠得到更好的識別效果。文獻［10］提出了一種基于希爾伯特變換（Hilbert transform）的二階盲辨識方法，并與傳統的動力學分析方法—特征系統實現算法（eigensystem realization algorithm，ERA）進行對比，研究復模態盲識別的有效性。文獻［11］提出了一種新的二階盲辨識方法（non-Hermitian joint approximate diagonalization，NoHeJAD）以解決激起的模態多于傳感器數目時，系統模態辨識的問題。以上研究針對機械系統盲問題展開了研究，但是并未對BSS方法與機械系統振動源統計特征的對應關系和適用條件進行深入地分析。BSS方法基于概率理論，嚴格依照信源的某種假設條件來估計統計意義上的信源信號。對信源統計特性的不當假設可能導致算法過學習，不同的BSS方法會得到大相徑庭的信源估計。實際船用機械設備的振動存在著大量的簡諧成分，具有明顯的線譜特征。當簡諧信號的頻率呈整數比關系時，它們之間滿足互不相關性但是不獨立［12］。針對簡諧信號的統計特征進行盲源分離適用性研究，能夠防止機械系統盲分離過學習情況的出現，對于船舶機械系統的振動源識別有著重要意義。在現有研究的基礎上，提出通過峭度來定量地評價簡諧信號的非高斯性并提出BSS方法的適用條件，應用基于獨立性假設條件的高階統計量方法與基于時間結構假設條件的二階統計量方法，進行簡諧信號盲分離仿真研究與簡支梁結構模態識別的實驗研究，分析BSS方法應用于簡諧成分盲分離的適用性，以確保機械系統盲分離過程準確可靠。

1 BSS概述

1.1 BSS數學模型

BSS是指源信號、傳遞通道特性未知的情況下，僅由觀測信號和源信號的一些先驗知識（如概率密度、時間結構等特征）估計出源信號的過程。針對源信號不同的混合方式，如線性瞬時混合、線性卷積混合、非線性混合等，需要采用不同類型的BSS方法來進行混合通道的估計及信源分離。其中線性瞬時混合方式最為簡單，是研究BSS問題的基礎［4］。針對這種混合方式的算法最為成熟并且應用最廣。無噪聲的情況下，線性瞬時混合模型可描述為

其中，s（t）＝［s1（t），s2（t），…，sN（t）］T是 N 維未知的源信號向量，x（t）＝［x1（t），x2（t），…，xM（t）］T是M維觀測信號向量（M≥N），由信源信號經矩陣A混合而成，A為未知滿秩的M×N維混合矩陣。

BSS的目的是尋找一個N×M的滿秩矩陣來恢復源信號：

式中：B是根據一定的判決準則得到的分離矩陣，y（t）為源信號的估計。在混合過程中，s（t）乘上任意的置換矩陣P與非奇異對角陣D，會導致幅值與次序的改變，這些變化可以通過混合矩陣A乘上PT與D-1而抵消，如：

所以信源的估計結果y（t）存在著幅值與順序的不確定性。由于信號的統計特征主要包含于波形中，這2種不確定性是可以接受的。

1.2 基于不同信源假設條件的BSS方法

按照信源的假設條件來分類，BSS方法大致分為2種［4-6］：1）假設信源在時間結構上獨立同分布且具有非高斯性，利用高階統計量方法——獨立分量分析（independent component analysis，ICA）進行信源分離；2）假設信源具有一定的時間結構特征，利用二階統計量的方法（second order blind identification，SOBI）進行信源分離。

基于信源滿足獨立同分布且非高斯的假設前提的ICA方法，其基本思想是在獨立性假設的前提下，尋求某種線性變換—分離矩陣，使得輸出信號盡可能地相互獨立。判定信號是否相互獨立的準則有很多種，如互信息測度、信息極大化、極大似然等。在此采用ICA固定點算法—FastICA算法［5］進行簡諧成分的盲分離仿真與結構模態識別實驗研究，算法細節可參考文獻［4-5］。

對于具有時間結構的信號來說，可以利用信源在不同時間延遲時刻處的自相關函數互不相同的特性，對混合信號的零時延協方差矩陣與不同時延的協方差矩陣進行聯合對角化［6］，實現信源分離。在時間延遲的選擇上，一般分為一步延遲方法（AMUSE算法）和多步延遲方法（SOBI算法）。當存在噪聲干擾時，單步延遲的時延協方差矩陣對角化會對噪聲非常敏感，而多步延遲的時延協方差矩陣聯合對角化的魯棒性更好［6］。相關文獻進行了附加噪聲情況下的仿真研究［8］，當噪聲標準差達到為信號的35%時，SOBI算法識別模態振型的模態置信準則仍不低于0.996，分離的模態響應與理論模態響應的標準均方誤差仍低于0.05，算法對噪聲干擾具有良好的魯棒性。本文的仿真與實驗研究中將采用SOBI算法，相關細節可參考文獻［13-15］。對比2種算法的分離結果，以此研究簡諧成分盲分離問題中不同BSS方法的適用性。

2 簡諧成分盲分離仿真

2.1 簡諧信號的非高斯性

機械設備的振動信號中大多含有簡諧成分，例如結構的模態響應，旋轉機械的振動等。對簡諧信號的統計特性進行預先研究，能夠幫助選擇更恰當的方法，實現振源信號的分離。

統計特征是針對隨機變量提出的，對于簡諧信號這樣的確定性信號來說，可以用振幅、頻率與相位進行精確描述，沒有必要分析它的統計量。如果假定相角為 ±π區間服從均勻分布的隨機變量，不同相位的簡諧信號集合便構成了隨機過程，這樣可以從理論上分析簡諧信號的非高斯性，進而研究盲源分離方法應用于簡諧成分的適用性問題。在此采用峭度來評價簡諧信號的非高斯性。零均值情況下，信號s的峭度定義如下［6］：

歸一化后的峭度κs為

定義簡諧信號s＝sin（t+θ）的隨機相角θ服從均勻分布，其概率密度函數p（θ）：

經過推導［12］，得到簡諧信號的概率密度函數p（s）：

計算簡諧信號s的歸一化峭度：

圖1（a）所示為簡諧信號的概率密度函數曲線，圖中離散桿圖為簡諧信號的概率密度曲線，虛線為標準正態分布概率密度曲線。可見，簡諧信號的概率密度曲線比高斯概率密度曲線更平坦［2］，且具有負峭度，說明具有隨機相位的簡諧信號為亞高斯信號。

實際機械結構的振動噪聲信號往往由許多簡諧成分耦合疊加而成，由傅里葉級數理論可知，當一組簡諧信號的頻率與幅值呈一定關系時，它們能夠疊加組成非簡諧的周期函數。工程中常見的方波信號就是由一系列不同頻率的正弦波疊加而成。定義方波信號f（t+θ）的周期為2π，幅值為1，隨機相位θ服從均勻分布，該信號可以展成如下形式：

其概率密度p（f）：

根據中心矩的比例性與線性［4-5］，方波信號的歸一化峭度κf計算如下：

圖1（b）所示為方波信號的概率密度函數曲線，圖中離散桿圖為方波信號的概率密度曲線，虛線為標準正態分布概率密度曲線。該信號集中在 ±1的位置，并且峭度κf小于簡諧信號的峭度κs，可知具有隨機相位的方波信號是非高斯性更強的亞高斯信號。

圖1 信號概率密度曲線Fig.1 Probability density function curves of signals

當簡諧信源信號構成式（9）所示的傅里葉級數系時，能夠疊加產生非高斯性更強的方波信號，這時如果使用基于獨立性假設的ICA方法進行盲源分離，會導致算法過學習，產生虛假的信源分離結果。

2.2 ICA與SOBI信源分離對比

本節應用FastICA算法與SOBI算法，針對一組頻率呈整數比的簡諧信號進行BSS仿真。信源s定義為6個正弦信號，頻率分別為1、3、5、7、9、11Hz，初始相位均為零。信源經6×6維隨機矩陣A到混合信號x，A的條件數為14.41，為非奇異陣。簡諧信源信號及混合信號如圖2所示。

圖2 簡諧信號及混合信號Fig.2 Harmonic signals and mixed signals

圖3 FastICA分離的信源Fig.3 Separated sources using FastICA

圖4 SOBI分離的信源Fig.4 Separated sources using SOBI

圖5 分離信源的峭度Fig.5 Kurtosis of separated sources

由于獨立性的假設，當信源能構成非高斯性更強的信號，ICA方法會優先將其作為虛假信源分離出來，盲源分離過程失效。而二階統計量方法僅利用了信號時延協方差矩陣的信息來代替高階統計量，所以能夠得到準確的信源。

3 BSS應用于模態識別

模態分析是結構動力學分析應用最為廣泛的一種方法，然而在某些特定場合，傳統的模態分析技術受到一定的限制。例如針對某些大型結構或特殊系統進行模態分析時，人為施加激勵幾乎難以實現；又如在工作條件下進行結構的工作模態識別，實際載荷往往未知。因此，基于BSS的機械結構參數辨識技術以其特有的優勢（僅僅利用響應信號）逐漸得到了應用［7-11］。G.Kerschen［7-8］等人最先將結構振型與混合矩陣列向量進行聯系，并將結構模態響應視作“虛擬信號源”。本節將應用FastICA與SOBI算法進行結構模態識別實驗研究，以分析方法的適用性。

在分析機械結構的動力學特性時，需要把連續分布的實際系統簡化成離散化模型。線性n自由度系統的運動方程為

式中：M、C和K分別為系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，F（t）為激勵力向量，和x（t）分別表示系統的加速度、速度和位移向量。

應用模態疊加理論進行分析，n自由度系統的自由振動響應可表示為式中：ξi、ωi和φi分別表示第i階模態的阻尼比、固有頻率和相位；Ai為常數，由初始條件決定；ψi為第i階模態振型向量，表示各階模態對響應的貢獻率，數學意義可理解為加權系數。式（13）用矩陣形式可表示為

式中：Ψ＝ [ψ1，ψ2，…ψn]為振型矩陣，由n階振型列向量ψi組成；q（t）＝ [q1（t），q2（t），…qn（t）]T為模態響應向量，qi（t）＝Aie-ξitcos（ωit+φi）為第i階模態響應向量。欠阻尼情況下，模態響應是一系列以各階模態頻率振蕩的指數衰減的簡諧振動。系統的響應x（t）由模態響應q（t）經過振型矩陣Ψ線性疊加而成。將式（1）與BSS問題聯系起來，模態響應q（t）可視為“虛擬信號源”，振型矩陣對應為混合矩陣。應用BSS方法，僅利用響應x（t）就可以進行機械系統的模態識別分析。

當各階模態頻率不為整數比時，模態響應q（t）是相互獨立的，不構成傅里葉級數系，此時應用ICA方法可以實現模態識別。但是一些簡單結構，例如簡支邊界條件下的等截面細直桿的縱向振動、等截面直圓軸的扭轉振動、等截面細直梁的彎曲振動等［16］，其模態頻率都呈整數比關系。而且對于某些結構復雜的機械系統，模態非常密集，其頻率近似呈整數比的情況難以避免，這時模態響應構成了傅里葉級數系，相互之間不再獨立，若采用ICA方法會導致過學習，使得模態識別結果失效。此時需要利用模態響應的時間結構特性，應用SOBI方法進行模態識別分析。

4 實驗研究

本節應用BSS方法進行了兩端簡支約束的鋼梁結構的模態識別實驗研究。簡支梁實驗臺如圖6所示。梁的材料為 45號鋼，尺寸為0.64 m× 0.056 m×0.008 m。應用力錘對簡支梁施加瞬態的沖擊力，在梁上布置6個加速度傳感器拾取響應信號。實驗臺架如圖 6所示。傳感器型號為B＆K4382型壓電式加速度傳感器，拾取的結構響應信號經PULSE3560D型信號分析系統采集存儲，信號時長2 s，采樣頻率為8 192 Hz。

激勵點與測點位置的選取原則是避開前六階模態的節點，以此保證前六階的結構模態被激勵起來，并且傳感器能拾取到模態響應。定義圖5中的梁左端為坐標原點，前六階模態振型的乘積（歸一化并取絕對值）如圖7所示，圖中打星號位置為各階模態振型的節點，選取激勵點及測點時應避開這些位置。實驗中激勵點位置選為0.40 m，測點布置在0.08、0.18、0.28、0.36、0.46、0.56 m。

圖6 簡支梁實驗臺Fig.6 The simply supported beam experiment rig

本實驗中，不能保證響應信號對各階模態響應都進行了整周期地采集，而且模態響應是指數衰減的簡諧信號，因此峭度不再適合作為分離的門限標準。文獻［10］中利用識別的頻率與阻尼比人為構造簡諧衰減信號，通過計算分離信號與構造信號之間的標準均方誤差來評價結果的準確度。本文通過估計的模態振型與理論模態振型之間的模態置信準則MAC（modal assurance criterion）［7］，來定量評價振型識別的準確程度。兩階模態振型ψi和ψj之間的MAC（ψi，ψj）計算如下：

對分離矩陣求逆陣，得到估計的混合矩陣，其列向量對應為各階模態振型。MAC的值介于0和1之間，數值越大說明2個模態振型的相關度越高。

圖8為各個響應信號xi及其頻譜xfi，由于篇幅所限，圖中僅顯示0～0.1 s時間段內的信號及0～2 kHz頻段內的頻譜。由頻譜可知，各個響應信號基本都包含6個頻率成分，說明至少有六階結構模態被激發出來，并且均被傳感器拾取。

圖8 響應信號及頻譜Fig.8 Response signals and their spectrum

圖9 FastICA識別的模態響應Fig.9 Identified modal responses using FastICA

圖10 SOBI識別的模態響應Fig.10 Identified modal responses using SOBI

圖11 估計振型與理論振型對比Fig.11 Comparison between estimated and theoretical modes

表1 模態頻率及模態置信準則Table 1 Natural frequencies and MAC

實驗中，部分模態未能識別的原因分析如下：簡支梁各階固有頻率呈整數比，比值為1∶4∶9∶…，模態響應構成了傅里葉級數系，因此ICA方法識別出虛假的模態，只是完成了部分低階模態的識別。另外，模態頻率的識別存在誤差是由于：傳感器安裝在結構上帶來了附加質量，使得結構的固有頻率降低。

5 結束語

本文通過峭度定量地評價簡諧信號的非高斯性，發現當簡諧信號構成傅里葉級數系時，存在能構成非高斯性更強的信號的可能性。應用2種典型的BSS算法進行了相關仿真與實驗研究，結果表明：基于非高斯性假設的ICA方法在簡諧信號頻率呈比例的情況下，會優先將非高斯性更強的信號作為虛假的信源分離出來，出現過學習情況，從而導致信源分離失效；而利用信源信號的時間相關性與空間不相關性，采用二階統計量的SOBI方法能正確穩定地實現簡諧成分的盲分離。

［1］ANTONI J.Special issue on blind source separation：editorial［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2005，19（6）：1163-1165.

［2］ANTONI J.Blind separation of vibration components：principles and demonstrations［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2005，19（6）：1166-1180.

［3］LIU X.Blind source separation methods and their mechanical application［D］.Sydney：The University of New South Wales，2006：19-24.

［4］COMON P，JUTTEN C.Handbook of blind source separation：independent component analysis and applications［M］.New York：Academic Press，2010：779-814.

［5］HYVARINEN A，KARHUNEN J，OJA E.Independent component analysis［M］.New York：Wiley，2001：7-12.

［6］CICHOCKI A，AMARI S.Adaptive blind signal and image processing［M］.New York：Wiley，2002：129-173.

［7］KERSCHEN G，PONCELET F，GOLINVAL J.Physical interpretation of independent component analysis in structural dynamics［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21（4）：1561-1575.

［8］PONCELET F，KERSCHEN G，GOLINVAL J，et al.Output-only modal analysis using blind source separation techniques［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21（6）：2335-2358.

［9］ZHOU W，CHELIDZE D.Blind source separation based vibration mode identification［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21（8）：3072-3087.

［10］MCNEILL S，ZIMMERMAN D.A framework for blind modal identification using joint approximate diagonalization［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22（7）：1526-1548.

［11］ANTONI J，CHAUHAN S.A study and extension of second-order blind source separation to operational modal analysis［J］.Journal of Sound and Vibration，2013，332（4）：1079-1106.

［12］KIHONG S，JOSEPH H.Fundamentals of signal processing for sound and vibration engineers［M］.New York：Wiley，2008：232-235.

［13］CARDOSO J，SOULOUMIAC A.Jacobi angles for simultaneous diagonalization［J］.SIAM Journal of Matrix Analysis and Applications，1996，17（1）：161-164.

［14］BELOUCHRANI A，ABED-MERAIM K，CARDOSO J，et al.A blind source separation technique using second-order statistics［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1997，45（2）：433-444.

［15］CARDOSO J.Blind signal separation：statistical principles［J］.Proceedings of the IEEE，1998，86（10）：2009-2025.

［16］倪振華.振動力學［M］.西安：西安交通大學出版社，1989：338-400.

Research on the applicability of the blind source separation of harmonic components

DONG Jianchao，YANG Tiejun，LI Xinhui，DAI Lu

（Power and Energy Engineering College，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

Most blind source separation（BSS）problems are solved on the basis of the independence assumption of signals or the assumption of time structure.Inappropriate assumptions may result in algorithm overlearning，and furthermore lead to spurious identification of the signal source.The aim of this paper is to exploit the applicability of BSS methods used in blind separation of harmonic components，which are ubiquitous in mechanical systems.Firstly，two BSS methods，namely independent component analysis（ICA）and second order blind identification（SOBI），are described；then，the non-Gausianity of the harmonic signals is analyzed by kurtosis，finding that a signal with more intense non-Gausianity may be formed when the harmonic signals constitute a Fourier series；finally，the FastICA algorithm and SOBI algorithm are applied to the simulation of the blind separation of harmonic signals and the experimental research of mode identification of the simple-support structure.The results show that when the harmonic signals constitute a Fourier series，with the ICA method，the signal with more intense non-Gausianity will be separated in priority，which will lead to overlearning of the algorithm.However，the SOBI method may assure the accuracy and reliability of a blind separation process of the harmonic components.

blind source separation；independent component analysis；second order blind identification；kurtosis；mode identification；harmonic components

10.3969／j.issn.1006-7043.201306082

O328，TK421.6

A

1006-7043（2014）04-0413-07

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201306082.html

2013-06-28. 網絡出版時間：2014-03-15 20：42：58.

國家自然科學基金資助項目（51375103）.

董建超（1985-），男，博士研究生；楊鐵軍（1972-），男，教授，博士生導師。

楊鐵軍，E-mail：yangtiejun＠hrbeu.edu.cn.