利用改進開窗轉換法確定瀝青離散松弛時間譜

陳靜云，孫依人，徐 輝，張 巖

(大連理工大學交通運輸學院，116024 遼寧大連)

利用改進開窗轉換法確定瀝青離散松弛時間譜

陳靜云，孫依人，徐 輝，張 巖

(大連理工大學交通運輸學院，116024 遼寧大連)

為了精確地獲得瀝青膠結料的離散松弛時間譜，提出了一種改進開窗轉換法的線性黏彈性材料函數轉換算法.此方法可以用于離散延遲時間譜和離散松弛時間譜的相互轉換.與開窗轉換法相比，改進開窗轉換法對于時間常數的設置更加精確，并且不會產生負數譜線.將改進開窗轉換法用于一種傳統非改性瀝青的彎曲梁流變儀試驗數據的離散延遲時間譜的轉換，成功地確定了相應的離散松弛時間譜.經有限元模型驗證表明，此離散松弛時間譜能很好地還原該瀝青結合料的應力松弛特性.

改進開窗轉換法;黏彈性;蠕變試驗;Prony級數

瀝青是瀝青混合料黏彈性的直接來源，且瀝青路面的車轍、疲勞開裂、溫度裂縫等病害都與瀝青的黏彈性有關，因此研究瀝青在不同激勵下產生的黏彈性響應對于瀝青路面的結構設計和病害預防有很好的參考價值.蠕變和應力松弛是黏彈性材料力學響應隨時間變化的兩個重要特征.彎曲梁流變儀(bending beam rheometer，BBR)為瀝青靜態蠕變行為的研究提供了有效途徑，通過BBR試驗可以獲得瀝青的離散延遲時間譜.文獻［1-4］對瀝青蠕變性能進行了深入的研究.對于瀝青的松弛模量，可通過直接施加瞬態矩形應變荷載得到，但由于設備的限制，試驗操作困難，若利用松弛試驗直接測定，會造成較大誤差.因此，通常采用對延遲函數的轉換間接地獲得.文獻［5-13］提出了多種關于松弛函數和延遲函數相互轉換的數值或解析方法，其中 Tschoegl和 Emri［13］提出的開窗轉換法(windowinginterconversion method)是較為簡單實用的一種.但由于該方法近似地將時間常數(松弛時間ρi或者延遲時間τi)等距設置，且假設ρi=τi，因此轉換后可能產生負數譜線.為了避免這種情況的發生，本文提出了一種基于時間常數精確設置的改進開窗轉換法(improved windowing interconversion method)，并用此方法成功確定了某瀝青結合料的離散松弛時間譜.應用離散松弛時間譜，可以進一步對瀝青的動、靜態松弛性能進行研究.

1 模型理論

材料應力松弛行為通常采用廣義Maxwell模型描述.廣義Maxwell模型由一系列簡單Maxwell元件并聯得到，由此模型推導出松弛模量的Prony級數表達式為

式中:Eg為玻璃態模量，即瞬態模量;Ee為平衡模量;Ei為松弛強度;ρi為松弛時間;(Ei，ρi)為離散松弛時間譜.

材料蠕變行為用廣義Kelvin模型描述更為簡單.廣義Kelvin模型由一系列簡單Kelvin元件串聯而成，由此推導出蠕變柔量的Prony級數表達式為

式中:Jg為玻璃態柔量，即瞬態柔量;Je為平衡柔量;Ji為延遲強度;τi為延遲時間;(Ji，τi)為離散延遲時間譜;η0為長期黏度.

當材料為黏彈性固體時，Ee＞0且η0→∞.對式(1)、(2)進行Carson變換，即乘s的Laplace變換，s為復數變量，可將松弛函數和延遲函數從時域變換到復數平面內，表示為

由彈性-黏彈性對應原理可知，在復數平面內松弛函數和延遲函數具有與彈性材料類似的倒數關系，即

2 試 驗

2.1 BBR試驗

BBR由加載裝置、乙醇冷卻浴和計算機數據采集系統組成.在對瀝青小梁試件進行靜載三點彎曲蠕變試驗的過程中，數據采集系統可以自動測量小梁跨中處的荷載和撓度值，并由數據處理程序計算出蠕變勁度S和蠕變勁度變化率m兩個參數.這兩個參數反映了瀝青結合料的松弛性能和低溫抗裂能力.在靜載作用下，蠕變勁度S(t)為蠕變柔量J(t)的倒數，即

式中:P為恒定荷載，取0.98 N;b為小梁寬度，取12.7 mm;h 為小梁高度，取6.35 mm;L 為簡支梁跨徑，取101.6 mm;δ(t)為小梁跨中撓度.對90#基質瀝青分別進行-6、-12、-18、-24℃下的BBR試驗，通過式(6)計算出各溫度下的蠕變柔量J(t)，如圖1所示.

圖1 不同溫度下的蠕變柔量試驗數據

2.2 蠕變柔量主曲線和WLF方程

瀝青是典型的熱流變簡單材料，具有明顯的溫度依賴性和時間依賴性，符合時溫等效原理.因此，可將不同溫度下的蠕變柔量曲線在時間的對數坐標下進行平移，進而得到參考溫度下的蠕變柔量主曲線.利用蠕變柔量主曲線可以對瀝青的長期蠕變性能進行預測，而不必進行長時間的實際試驗.本文參考溫度取為-12℃，得到相應的蠕變柔量主曲線如圖 2 所示，-6、-12、-18、-24 ℃下的時間-溫度移位因子分別為-0.965、0、1.328、2.466.通過對時間-溫度移位因子進行非線性最小二乘擬合，可以得到不同溫度下的時間-溫度移位因子.擬合方程通常有兩種形式:Williams-Landel-Ferry(WLF)方程和 Arrhenius 方程［1］.本文采用WLF方程，表達式為

式中:lg αT為時間 -溫度移位因子，C1、C2為材料參數，T0為參考溫度.當T0=-12℃ 時，非線性擬合結果為 C1=8.82，C2=49.86.平移后的縮減時間為 ξ=t/αT.

圖2 參考溫度為－12℃的蠕變柔量主曲線

2.3 離散延遲時間譜的識別

離散延遲時間譜的識別本質上是對蠕變柔量主曲線進行Prony級數擬合的過程.本文根據文獻［14］介紹的方法，采用廣義Kelvin模型，獲得了該90#基質瀝青的離散延遲時間譜，如表1所示，相關系數為 0.999 6.

表1 離散延遲時間譜

3 離散松弛時間譜的確定

3.1 開窗轉換法

Tschoegl和Emri提出了一種叫做開窗轉換法的計算機遞歸算法，可以對黏彈性材料的離散松弛時間譜和離散延遲時間譜進行相互轉換.該方法的提出是基于以下事實:復數域內的松弛函數和延遲函數的核函數1/(1+τis)，在以s=1/τi為中心的一個十倍程內隨時間變化最為顯著，因此把這個十倍程定義為邊界窗(boundary window).當一個十倍程內包含n(n≥1)個時間常數τi的倒數時，將［sl，su］(即模擬最有效的區間)定義為模擬窗(modeling window).模擬窗受邊界窗的限制，當n=1時，二者重合.開窗轉換法以式(5)為轉換橋梁，計算每條譜線時只采用相應模擬窗內的試驗數據，且假設ρi=τi.在計算前需要預先設置1/τi，每個十倍程內等距設置n個時間常數的倒數.下面以由離散延遲時間譜確定離散松弛時間譜為例，對開窗轉換法的基本步驟進行簡要說明.

首先，由式(4)生成一組延遲數據{?Uj，sj;j=1，…，M}，并通過式(5)得到相應的一組松弛數據{?Qj，sj;j=1，…，M}.然后，分別將松弛數據和譜線強度進行標準化處理為

得到松弛函數表達式為

引入數據點和松弛函數間的絕對誤差Δj，并用模擬窗內的Mw個數據點形成平方誤差函數fk為

使平方誤差函數fk最小化，進而導出標準化譜線強度為

計算時從第1條譜線開始，依次向后計算譜線強度.在進行第1次數據掃描時，將標準化譜線強度初值設為0，在接下來的掃描中，將得到的非負譜線強度保留，同時將得到的負譜線強度重新設置為0.當相鄰掃描計算出的兩組標準化譜線強度差的范數小于某給定標準值時，終止迭代.最后，譜線強度可由標準化譜線強度求得.

3.2 改進開窗轉換法

開窗轉換法雖然簡單直接，但由于時間常數等距設置，且假設ρi=τi，轉換后可能產生負數譜線.為了避免負數譜線的產生，本文提出了一種基于時間常數精確設置的改進開窗轉換法.仍以獲得離散松弛時間譜為例.由式(5)可知

對于某給定的τk，可以通過求解式(14)的根的負倒數獲得相應的ρk.為了求解式(14)的根，文獻［10］描述了一種實用的尋根圖解方法:以延遲函數絕對值的對數作為縱坐標，以-1/s(s＜0)的對數作為橫坐標，采用0.01個十倍程作為橫坐標取值間隔作圖(取值間隔可調節)，圖中最大值的橫坐標即為τi，而最小值的橫坐標即為所求松弛時間ρi.由于改進開窗轉換法設置的松弛時間ρi分布是基于松弛函數與延遲函數的精確數值關系，因此計算不會產生負數譜線.同理，可以從松弛時間分布獲得延遲時間分布.

3.3 轉換結果

采用改進開窗轉換法，以尋根圖解法計算出的精確松弛時間分布代替原開窗轉換法中近似的等距分布，利用Matlab軟件編制計算程序，對表1所示離散延遲時間譜進行轉換，成功獲得了對應的離散松弛時間譜，如表2所示，相關系數為0.999 9.尋根圖解法得到的時間常數分布如圖3所示.

表2 離散松弛時間譜

圖3 時間常數分布

4 離散松弛時間譜的驗證及應用

為了驗證采用改進開窗轉換法獲得的離散松弛時間譜的可靠性，利用ANSYS有限元程序建立了尺寸為h×L的BBR瀝青小梁二維有限元模型.采用表2數據作為有限元模型的黏彈性材料參數，將黏彈性泊松比近似取為0.49，單元取為PLANE182平面應力單元，對不同溫度下的BBR試驗進行模擬，并將模擬數據與試驗數據進行了比較，結果如圖4所示.由圖可知，無論加載過程還是卸載過程模擬數據與試驗數據均非常接近，由此可知采用改進開窗轉換法獲得的離散松弛時間譜能準確地反映該瀝青結合料的應力松弛特性.

圖4 模擬數據與試驗數據的比較

在確定瀝青離散松弛時間譜后，可以方便地獲得相應的松弛模量E(t)、儲能模量E'(ω)和耗散模量E″(ω)(ω為加載頻率)，進而預測瀝青的動、靜態松弛性能.由此可知，離散松弛時間譜包含了給出譜線范圍內材料線性黏彈性的所有信息，是一種良好的預測瀝青黏彈性能的方法.

5 結論

1)采用BBR對某90#基質瀝青進行了不同溫度下的BBR靜載彎曲蠕變試驗，獲得了參考溫度為-12℃的靜態蠕變柔量主曲線和時間-溫度移位因子，并通過非線性擬合分別得到了該瀝青結合料的離散延遲時間譜和WLF方程.

2)在原有開窗轉換算法的基礎上，提出了一種基于時間常數精確設置的改進開窗轉換算法.該算法不會產生物理上無法解釋的負數譜線.將改進開窗轉換法用于由BBR試驗獲得的離散延遲時間譜的轉換，成功獲得了該瀝青結合料的離散松弛時間譜，并由有限元模型驗證了該離散松弛時間譜的可靠性.

3)利用離散松弛時間譜可以進一步預測瀝青動、靜態松弛性能，這對于降低試驗成本和研究瀝青黏彈性能均有重要意義.

［1］張肖寧.瀝青與瀝青混合料的粘彈力學原理及應用［M］.北京:人民交通出版社，2006.

［2］詹小麗，張肖寧，王端宜，等.基于動態蠕變性能的瀝青延遲時間譜研究［J］.中國公路學報，2008，21(2):34-38.

［3］詹小麗，張肖寧，盧亮.瀝青低溫粘彈性能的預測［J］.吉林大學學報:工學版，2008，38(3):530-534.

［4］鄭健龍，呂松濤，田小革.基于蠕變試驗的瀝青粘彈性損傷特性［J］.工程力學，2008，25(2):193-196.

［5］LUK-CYRJ， CROCHONT， CHUNL， etal.Interconversion of linearly viscoelastic material functions expressed as Prony series:a closure［J］.Mechanics of Time-Dependent Materials，2013，17(1):53-82.

［6］KATICHA SW， FLINTSCH G W.Fractional viscoelastic models: master curve construction，interconversion，and numericalapproximation ［J］.Rheologica Acta，2012，51(8):675-689.

［7］ANDERSSEN R S，DAVIES A R，DE HOOG F R.The effect of kernel perturbations when solving the interconversion convolution equation of linear viscoelasticity［J］.Applied Mathematics Letters，2011，24(1):71-75.

［8］MUN S，ZI G.Modeling the viscoelastic function of asphaltconcrete using a spectrum method ［J］.Mechanics of Time-Dependent Materials，2010，14(2):191-202.

［9］HU S，ZHOU F.Development of a new interconversion tool for hot mix asphalt(HMA)linear viscoelastic functions［J］.Canadian Journal of Civil Engineering，2010，37(8):1071-1081.

［10］PARK SW， SCHAPERY R A.Methodsof interconversion between linearviscoelastic material functions:a numerical method based on Prony series［J］.International Journal of Solids and Structures，1999，36:1653-1675.

［11］BRADSHAW R D，BRINSON L C.A sign control method for fitting and interconverting material functions for linearly viscoelastic solids［J］.Mechanics of Time-Dependent Materials，1997，1(1):85-105.

［12］MEAD D T.Numerical interconversion of linear viscoelastic material functions［J］.Journal of Rheology，1994，38(6):1769-1795.

［13］TSCHOEGL N W，EMRI I.Generating line spectra from experimental responses: interconversion between relaxation and retardation behavior［J］.International Journal of Polymeric Materials，1992，18:117-127.

［14］EMRI I，TSCHOEGL N W.Generating line spectra from experimental responses:relaxation modulus and creep compliance［J］.Rheologica Acta，1993，32:311-321.

Determination of discrete relaxation time spectra of asphalt utilizing improved windowing interconversion method

CHEN Jingyun，SUN Yiren，XU Hui，ZHANG Yan
(School of Transportation ＆ Logistics，Dalian University of Technology，116024 Dalian，Liaoning，China)

To accurately obtain discrete relaxation time spectra of asphalt binders，an algorithm termed the improved windowing interconversion method(IWIM)is presented in this paper.The IWIM allows discrete retardation time spectra to be converted into discrete relaxation time spectra，and vice versa.Compared with the windowing interconversion method(WIM)，the IWIM affords a more exact distribution of time constants without generating negative spectrum lines.The IWIM was applied to the discrete retardation time spectrum of bending beam rheometer(BBR)test data for a conventional unmodified asphalt binder，successfully determining the discrete relaxation time spectrum.The result of the validation by means of a BBR test finite element simulation shows that the discrete relaxation time spectrum from the IWIM can well reproduce the stress relaxation properties of the asphalt binder.

improved windowing interconversion method;viscoelasticity;creep test;Prony series

U414

A

0367-6234(2014)02-0104-05

2013-03-26.

國家自然科學基金資助項目(50578031).

陳靜云(1956—)，女，教授，博士生導師.

陳靜云，chenjy@dlut.edu.cn.

(編輯 魏希柱)