動力鉗開口齒輪組結構優化設計與模態分析

劉志剛

（江蘇如石機械有限公司，江蘇如東226406）

設計計算

動力鉗開口齒輪組結構優化設計與模態分析

劉志剛

（江蘇如石機械有限公司，江蘇如東226406）

開口齒輪是鉆桿動力鉗鉗頭部分的重要傳動部件。目前，開口齒輪組的結構設計方法單一，造成體積較大。針對開口齒輪組的結構與布局，通過選取合適的結構參數作為輸入變量，依據齒輪嚙合條件和接觸、彎曲疲勞強度等構造約束條件，以總體尺寸為優化目標，采用改進的粒子群算法（PSO）對開口齒輪組進行結構優化設計。分別將優化前后結構建模并導入ANSYS Workbench，通過模態分析對優化結果進一步論證。結果表明：采用改進PSO方法優化后的模型體積更小，同時各階固有頻率得到提高，說明該方法能夠有效指導鉆桿動力鉗的開口齒輪結構設計，具有良好的工程應用價值。

鉆桿動力鉗；開口齒輪；結構優化；模態分析

隨著石油、天然氣等礦物能源的開采量增加，深井、超深井逐漸增多，使得修井機械裝備不斷發展，其中鉆桿動力鉗得到廣泛開發與應用。開口齒輪是開口式動力鉗鉗頭部位的主要受力部件，作為動力傳遞與鉗頭咬緊機構，開口齒輪組的結構參數與布局對于動力鉗的力學性能及外觀尺寸等都有著重要影響［1］。開口齒輪傳動系統設計主要包括齒輪參數設計和傳動機構位置布局設計。傳統的傳動齒輪參數設計方法需要參照標準傳動齒輪設計規范設計，并考慮材料強度與齒輪載荷加入相應的安全系數，最后進行校核［2］。另一方面對于開口齒輪傳動機構的布局確定方法通常是在給定的安裝條件下帶入多組數據找出所有可能的布局參數，最后根據其他制約條件選擇最優布局參數。由于以上設計過程很多參數依靠經驗確定，沒有明確優化目標，易造成鉆桿動力鉗鉗頭的傳動機構體積過大，材料成本增加。因此需要以開口齒輪組構成的傳動機構體積精簡為目標，進行多參數的齒輪組結構優化設計。

結構優化設計目前已在工程應用領域廣泛使用［3］，但在開口齒輪組的優化設計中存在一些問題：①依賴經驗選取的參數較多，較難確定；②優化過程計算量大，效率較低；③容易陷入局部最優解。針對上述的組合優化問題，現代智能優化算法可以在約束條件內快速有效找出全局最優解，其中粒子群算法（PSO）是一種基于迭代的隨機全局最優優化算法［4］，該算法通過粒子群在解空間追隨最優粒子搜索最優解，相比于經典的遺傳算法具有簡單易行、精度高和收斂快等特點，適合應用于開口齒輪組結構的多參數優化設計。

1 基本設計參數

1.1 傳動機構要求

由于開口齒輪組是4個直齒圓柱齒輪相互嚙合，屬于過約束齒輪機構，因此在設計開口齒輪組時要考慮正確的安裝條件，否則會導致卡死、安裝錯位等現象，使齒輪組不能正常工作。開口齒輪的安裝原理簡圖如圖1所示，其中開口齒輪齒數Z3，開口寬度為b，兩個對稱分布的惰輪齒數Z2，小齒輪齒數Z1，O2O3與O1O3夾角為α，O1O2與O2O3夾角為β，O1O2與O1O3夾角為γ。

圖1 開口齒輪組安裝簡圖

根據文獻［5］給出的4齒輪機構約束條件，結合圖1進行分析可以得到開口齒輪組正確安裝條件：

式中：da1，da2，da3分別為各齒輪齒頂圓直徑。

在已知各齒輪模數和齒數時，要確定開口齒輪正確安裝條件參數首先需要根據上述約束給出角度α的最大與最小值，并通過在該范圍內對α多次試取值帶入式（1）得到多組符合條件的n，最后根據其他制約條件選取α的最優值，并依此推導出其他參數，從而獲得4齒輪開口齒輪組的正確安裝條件。

除了安裝條件，開口齒輪組各齒輪的模數、齒數以及齒寬等參數也會對最終總體機構體積和結構性能產生影響。所以設計開口齒輪傳動機構需要綜合考慮齒輪嚙合原理和正確安裝條件，并在此基礎上進行優化。

1.2 原始設計參數

鉆桿動力鉗為開口式動力鉗，最大適用管徑216 mm。初始的開口齒輪組的基本參數包括：功率64 k W；輸出轉速4.2 r／min；傳動比2.8；輸出轉矩135 k N·m。主要設計參數包括：開口寬度bk＝223.64 mm；嚙合齒輪模數m＝12；開口齒輪齒數Z3＝67，齒寬b3＝100 mm；惰輪齒數Z2＝28，齒寬b2＝105 mm；小齒輪齒數Z1＝24，齒寬b1＝110 mm；夾角α＝31°。

式中：n為正整數，α、γ單位為rad。

2 結構優化條件

2.1 定義優化變量

通常情況下對于開口齒輪組的結構優化設計時需要考慮所有的相關參數，但同時也會增加計算和求解時的工作量與難度，所以只需要提取對優化目標影響較大的參數，精簡優化問題的變量維數，便于問題求解并簡化計算。這里對齒輪的壓力角、齒頂高系數和頂隙系數均按標準直齒輪選?。婚_口齒輪的開口寬度是由最大管徑決定的，因此該參數不做改變；一般嚙合齒輪對中要求小齒輪寬度應比大齒輪寬5～10 mm，這里為了簡化變量維數只設立開口齒輪Z3的齒寬系數φd為變量，而齒輪Z2和Z1齒寬的分別比齒輪Z3齒寬大5 mm和10 mm。因此開口齒輪的體積優化問題中關鍵變量參數最終可以確定為齒輪模數m，小齒輪齒數Z1，惰輪齒數Z2，開口齒輪齒數Z3，齒輪位置夾角α，開口齒輪齒寬系數φd。即：

2.2 約束條件確定

2.2.1 齒輪模數

由于傳遞大扭矩的開口齒輪模數不能過小，通過同類傳動機構類比確定模數取值范圍：

且x1取值按GB1357—1987標準圓柱齒輪模數選取。

2.2.2 齒數

各齒輪齒數都應取整數，同時應滿足不產生根切，根據具體工況分析有：

并且允許傳動比前后有0.05的誤差：

2.2.3 齒寬

針對齒輪齒寬有：b＝φdd1。大齒輪齒寬系數φd選取范圍0.2～2.4，d1為小齒輪分度圓直徑，小齒比大齒寬5～10 mm，這里為簡化程序取5 mm，所以只需對開口齒輪齒寬系數定義約束：

2.2.4 齒面接觸疲勞強度

齒面接觸疲勞強度校核公式為：

式中：ZE為彈性系數；ZH為區域系數；Zε為重合度系數；K為載荷系數；T1為小齒輪扭矩；μ為接觸大齒輪齒數與小齒輪齒數之比。

開口齒輪組有2類嚙合情況，分別帶入優化變量參數簡化有：

2.2.5 齒根彎曲疲勞強度

式中：YFa為齒形系數，Ysa為應力修正系數，Yε為重合度系數，σFP為許用彎曲應力。

分別帶入齒輪的變量參數簡化后有：

2.3 適應度函數確定

開口齒輪組以及動力鉗鉗頭尺寸主要是由齒輪

齒根彎曲疲勞強度校核公式為：Z1和Z3中心距、Z2和Z4中心距和齒寬來確定，以此為依據，構造衡量開口齒輪組體積的適應度函數如下：

函數f（x）越小表明齒輪組總體積越小，以約束范圍內全局最小值作為優化目標。

3 基于改進PSO的開口齒輪組結構優化設計

針對開口齒輪組結構的傳統優化方法，一般通過經驗多次試取或者對結構做近似分析，但傳統優化方法往往不具備全局性，容易陷入局部最優解，而且隨著設計變量增加和約束范圍增大，優化分析的效率顯著降低，優化結果也不理想。對于這類多條件約束的單目標優化問題，更適合智能優化算法解決。PSO算法是一種利用群體智能的隨機優化算法，具有收斂快、易實現、全局搜索能力強等特點［6］。

3.1 PSO優化算法

PSO算法受鳥群覓食行為啟發，將約束范圍內的一個解稱為粒子，而多個粒子構成的種群稱為粒子群。假設xi＝（xi1，xi2，…，xin）為粒子i在解空間中的n維坐標，同時每個粒子都有決定其移動方向與距離的飛行速度向量Vi＝（Vi1，Vi2，……，Vin）；在第t次迭代過程中粒子i自身所找到的最優解的位置為Pi（t）＝（Pi1，Pi2，…，Pin），稱為個體極值，函數P為適應度函數；整個粒子群搜索到的最優解位置Pg（t）＝（Pg1，Pg2，…，Pgn），稱為全局極值。對于開口齒輪組結構體積最小的優化問題，目標函數值越小，對應的適應函數值越好。標準的粒子群算法粒子的速度與位置更新公式如下［7］：

式中：c1、c2為加速常數，一般在0～2間取值；r1、r2為區間在（0，1）間的相互獨立的隨機函數。粒子速度Vi通常限定在［－Vmax，Vmax］。

3.2 改進的PSO優化算法

標準粒子群算法的求解主要研究所有粒子與種群中性能最優粒子的結構影響，但對于各粒子個體與領域粒子的關系及影響沒有得到很好的體現。因此為了平衡算法的收斂速度和優化精度，對粒子速度更新引入慣性權重ω和周圍極值的影響，粒子速度更新公式為：

式中：Pj（t）為當前粒子跟蹤周圍粒子的極值，c3為權重系數。

慣性權重ω較大可提高全局搜索能力，較小時可增強局部搜索能力。因此通過帶入最大和最小權值ωmax、ωmin對ω作非線性調整：

式中：t為當前迭代數，Gen為總迭代數。此外根據文獻［8］可知指數n取0.5時尋優能力最好。

3.3 算法流程

1） 根據開口齒輪組的優化變量X對粒子群初始的隨機位置和速度進行初始化設定。

2） 依據式（17）計算各粒子的適應函數值。

3） 對每個粒子經歷的位置適應值進行比較，將最優值作為當前粒子的局部最優解。

4） 對每個粒子將其當前的局部最優解與群體中的最優解比較，將最優解作為當前的全局最優解。

5） 根據式（20）、（21）對所有粒子位置和速度更新。

6） 若迭代次數未達到上限Gen則返回步驟2），否則結束。

4 優化結果分析

整個優化設計的硬件環境CPU為i5 2.5GHz內存4G的筆記本，軟件平臺為MATLAB7.0。PSO算法參數選取：學習因子c1＝c2＝1.4962，c3＝1.2，慣性權重ωmax＝0.729 8，ωmin＝0.316 2，種群數popsize＝50，最大迭代次數Gen＝100。算法全局最優值迭代曲線如圖2。

圖2 改進PSO算法迭代曲線

可以看出粒子群在第12次迭代時收斂到最優適應值。具體參數圓整后與原始參數對比如表1。

表1 優化前后參數對比

經過驗證優化后參數符合設計要求，并且相比于原始設計參數體積更小，目標值相比于原始目標值減少了27.64%。

5 ANSYS Workbench開口齒輪組模態分析

通過在Pro／E環境下建立優化前后4齒輪的嚙合模型，進一步導入ANSYS Workbench的靜力學模態分析“Modal”模式中進行模態分析，對比優化前后結構性能。

1） 添加材料 開口齒輪組的齒輪材料均為42Cr Mo，彈性模量2.06×1011Pa，泊松比0.3，密度7 800 kg／m3。

2） 設定接觸類型 齒輪傳動為有摩擦接觸類型，故定義為Frictional，摩擦因數0.06。

3） 網格劃分 齒輪組的網格劃分類型為自由劃分，網格大小為3 mm。

4） 施加約束 對各個齒輪約束x，y，z方向平動自由度與x，y轉動自由度，只保留軸向的z方向轉動自由度。

5） 求解結果 一般對于齒輪的模態分析的階數不需要太高，這里設定分析前5階的模態。并在“solution”中選擇“Insert｜Deformation｜Total”，添加1～5階振動模態下的形變情況，并通過“solve”選項求解。得到優化前后各模態下形變云圖，選取效果較為明顯的的1、3、4階模態下形變對比如圖3所示。各階固有頻率與變形量均列在表2中。

圖3 優化前后模態分析

從圖3結果可以看出，無論優化前后各階模態下最大形變位置都相差不多，形變主要集中在開口齒輪缺口附近齒上，其中1階形變方向主要沿開口齒輪徑向，而3和4階形變方向沿開口齒輪軸向。在3階和4階的形變云圖中可以看到各齒輪重要部位嚙合處都在形變較小區域，而且優化后嚙合處形變數值明顯比優化前小。

表2 優化前后模態分析結果對比

從表2中的數據可以看出，優化后的開口齒輪組各階的固有頻率相比于原始參數下的齒輪組結構有提高，而3、4和5階模態下的最大變形量也有所減少，充分說明優化后的開口齒輪組的結構性能及工作穩定性均有所提高。

6 結論

1） 針對鉆桿動力鉗開口齒輪組的設計參數與結構布局，創新提出動力鉗開口齒輪結構優化設計方法。以體積最小為優化目標，采用基于慣性權重ω和周圍極值的改進PSO算法求解結構優化問題，準確獲取開口齒輪組體積最小時的結構與布局參數。

2） 采用ANSYS Workbench軟件進行模態分析，驗證了動力鉗開口齒輪結構優化設計后能夠減小體積，提高各階模態下固有頻率，同時高階模態下最大變形量減少。

3） 通過本文的優化設計方法能夠極大提高動力鉗開口齒輪的設計效率，簡化計算，減少試驗成本，并且在保證設計結果安全可靠基礎上精簡體積，對于鉆桿動力鉗優化設計具有指導意義。

4） 當前的鉆桿動力鉗開口齒輪優化設計僅局限于齒輪組的尺寸與布局，而完整的開口齒輪組還需要包含轉軸、上蓋等部件，而整體部件的優化設計與分析更具有實際意義。因此，今后將研究開口齒輪組整體結構優化設計以及動力鉗的整機模態分析。

［1］ 吳其堯.開口齒輪微變形的消除方法［J］.科技創新與應用，2012（32）：37-38.

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Structure Optimization Design and Modal Analysis of the Power Tong Notched Gears

LIU Zhi-gang
（Jiangsu Rushi Machinery Co.，Ltd.，Rudong 226406，China）

The notched gears are important transmission components of the drill pipe power tongs，but currently the methods for notched gear optimization are simple and there are no proper optimization methods.The improved PSO algorithm was used to optimize the design of the notched gear structure.The appropriate structure parameters were selected as input variables，and constraint conditions were built according to gear condition and bending fatigue strength etc.The optimization design was based on the overall size of the target.The models before and after optimization of notched gear were imported into ANSYS workbench for modal analysis，and the results illustrate that the optimized model is smaller and enhanced structurally，and the natural frequencies of the model is improved.The results can be concluded that the optimization method based on improved PSO can be considered as a valuable reference for the optimization design of notched gears and is with good engineering value.

drill pipe power tong；notched gear；structure optimization design；modal analysis

TE921.202

A

10.3969／j.issn.1001-3482.2014.12.007

1001-3482（2014）12-0026-05

2014-06-10

劉志剛（1966-），男，江蘇如東人，高級工程師，現從事石油井口及工具的研制與管理工作。