必須重視初中數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)

尹彥興

九年義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標準》（以下簡稱“標準”）對初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識作這樣的描述：“初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識包括初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等，以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法。”把數(shù)學(xué)思想和方法作為初中的基礎(chǔ)知識在標準中明確提出，在素質(zhì)教育中的重要性和必要性由此可見一斑。通過初中數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)實踐，我們認為應(yīng)注意以下幾個方面：

一、把握“層次”，克服盲目性

綜觀“標準”在初中要求學(xué)生“了解”的數(shù)學(xué)思想計有：轉(zhuǎn)化的思想、分類的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、類比的思想;要求“了解”的方法有：分類法、類比法、反證法;要求“理解”或“會運用”的方法有：待定系數(shù)法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖像法。這里，“了解”、“理解”、“會運用”是教學(xué)要求的具體尺子，隨便提高或降低都會給這一基礎(chǔ)知識的教學(xué)帶來困難。特別是若把“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會運用”的層次，則學(xué)生從一開始便會覺得數(shù)學(xué)思想和方法高深莫測，從而失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

二、講“方法”聯(lián)系“思想”，以“思想”指導(dǎo)“方法”，兩者相得益彰

數(shù)學(xué)思想和方法本來是不能截然分開的，中學(xué)數(shù)學(xué)中用到的各種方法都體現(xiàn)著一定的思想，但數(shù)學(xué)思想是屬于數(shù)學(xué)觀念一類的東西，比較抽象，而方法則較為具體，它是實施有關(guān)思想的技術(shù)手段，對于初中學(xué)生來說尤其如此。因此，通過對數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用以達到對數(shù)學(xué)思想的了解，是使思想與方法得到交融的有效方法。例如，初中數(shù)學(xué)中涉及最多的是轉(zhuǎn)化的思想，大致有從未知到已知的轉(zhuǎn)化、一般與特殊的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、由此及彼的轉(zhuǎn)化等等。為了實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，引入了許多數(shù)學(xué)方法，比如消元降次法、換元法、圖像法、待定系數(shù)法、配方法等。通過以上重要方法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生充分領(lǐng)略到數(shù)學(xué)思想的風(fēng)采，同時，數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，更促進了數(shù)學(xué)方法的使用和鞏固。

解無理方程的實質(zhì)是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，轉(zhuǎn)化的方法就是把方程的兩邊同時乘方或換元，此方程結(jié)構(gòu)復(fù)雜，兩邊平方不會輕易達到目的，因此，只有通過換元，而本題換元必須要有一個巧妙的構(gòu)思，這個構(gòu)思過程使學(xué)生對換元法理解的更加深刻了。

在數(shù)學(xué)思想和方法指導(dǎo)中，須注意如下幾點：①加強數(shù)學(xué)知識間聯(lián)系的教學(xué)。無論是新知識的引入和理解，還是鞏固和應(yīng)用，尤其是知識的復(fù)習(xí)和整理，都要從知識間的聯(lián)系出發(fā)。②重視數(shù)學(xué)思想的挖掘和滲透。由于數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認識，因而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)建立的基礎(chǔ)。常見的數(shù)學(xué)思想有：符號思想、對應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、歸納思想、公理化思想、模型化思想等等。③注重數(shù)學(xué)方法的明晰教學(xué)。數(shù)學(xué)方法作為解決問題的手段，是建立數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的橋梁。常見的數(shù)學(xué)方法有：化歸法、構(gòu)造法、參數(shù)法、變換法、換元法、配方法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等。

三、既要重點講解，又要逐步滲透

教材中的許多公式、概念、定理等本身就隱含著豐富的數(shù)學(xué)方法的內(nèi)容。如分類的思想方法，“標準”雖在“三角形”和“四邊形”這兩部分內(nèi)容才提出來，但分類的思想和方法在教材的許多內(nèi)容中都已經(jīng)涉及到。

例如，有理數(shù)概念的教學(xué)：有理數(shù)是一個以外延定義的概念，課本中這樣敘述：“整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)”。它揭示了有理數(shù)的所有外延，即不擴充也不遺漏，這本身就體現(xiàn)了分類的思想方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中可依據(jù)具體情況對有理數(shù)做出不同的分類。

幾何中有更多的分類內(nèi)容，如：角的分類、三角形的分類、四邊形的分類、圓周角的定理的證明、弦切角定理的證明、正弦定理的證明等等，不一而足，這些教材都為學(xué)習(xí)分類的思想方法提供了極好的素材，教學(xué)中應(yīng)重視使用。

四、寓數(shù)學(xué)思想方法于教材教法之中，優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)思想方法不同于其它基礎(chǔ)知識，不能用符號、圖形、式子等表示，不可能在一節(jié)或幾節(jié)課內(nèi)完成。為了使學(xué)生在初中得到一些數(shù)學(xué)思想方法方面的陶冶，只有教師在平時的課堂教學(xué)活動中結(jié)合教材、教法有意識地有目的地進行傳授，使學(xué)生慢慢地消化、吸收，天長日久才能達到潛移默化。

1、經(jīng)常歸納，訓(xùn)練思維的深刻性

歸納的思想就是由個性到共性，由特殊現(xiàn)象歸納出一般的規(guī)律，從而從本質(zhì)上把握事物。

例如，一元一次方程應(yīng)用題中關(guān)于濃度問題的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生做如下的練習(xí)：現(xiàn)有含鹽10%的鹽水300千克，要配成含鹽8%的鹽水，需要加水多少？要配成含鹽15%的鹽水，需要加鹽多少？要配成含鹽18%的鹽水，需要加入含鹽25%的鹽水多少千克？

做完以上練習(xí)之后，教師可以啟發(fā)學(xué)生思考：如果把水的濃度看作0%，鹽的濃度看作100%，三種類型的列式可否歸納為一種？

2、類比聯(lián)想，訓(xùn)練相似思維

相似思維就是從一個事物的性質(zhì)變化規(guī)律，去研究和發(fā)現(xiàn)另一有相似性事物的性質(zhì)和變化規(guī)律，從而尋找解決問題的方法，相似思維需要聯(lián)想，而類比的方法是聯(lián)想的一種重要有效的途徑。

如列一元一次方程解應(yīng)用題，在講完了行程問題之后，再講工作量問題，可以引導(dǎo)學(xué)生這樣思考：比較時間與工作日、速度與工作效率、距離與工作總量的意義，寫出各自三個量之間的關(guān)系，分析在列方程中，等量關(guān)系是否有類似之處？

經(jīng)分析得出：可以把工作量問題按照行程問題一樣處理，另有工程問題、水流問題都與行程問題基本一致。