基于變剛度彈簧模型的弓網動力學分析

呂青松，王世軒，周 寧，李瑞平，李紅梅，張衛華

0 引言

受電弓-接觸網系統為電氣化列車運行提供能量，受電弓與接觸網在滑動接觸過程中完成取流，因此，弓網受流對列車運行的安全性和可靠性具有重要影響。弓網受流質量受到力學、機械、電氣和材料等多種因素的影響，而弓網動力學性能對受流質量起到了決定性作用。干線鐵路和高速鐵路通常采用柔性懸掛接觸網，而地鐵線路通常修建于低凈空隧道內，通常采用剛性懸掛接觸網。國內外學者采用不同的建模和仿真技術對弓網耦合動力學仿真開展了深入研究。張衛華等利用Fourier 展開和模態技術，由第二類朗格朗日方程推導了柔性接觸 網運動微分方程[1，2]。吳天行等計算了柔性接觸網的靜態剛度曲線，采用余弦函數擬合接觸網剛度曲線從而建立了接觸網簡化模型，并將該模型應用于弓網耦合動力學仿真[3]。C.VERA 等建立了三維剛性接觸網模型和多剛體受電弓模型，采用多體動力學軟件分析了弓網動力學行為[4]。梅桂明等人通過彈性勢能、動能相等的原理將剛性接觸網懸掛機構簡化為帶有等效剛度和等效質量的彈簧，在此基礎上建立了剛性懸掛接觸網等效計算模型，利用假設模態法得到了剛性懸掛接觸網的振動微分方程[5]。畢繼紅等人基于剛性接觸網的等效模型，采用有限元法計算了接觸網的固有頻率和振型，然后采用振型疊加法對弓網耦合動力學進行了分析[6]。原華等人基于剛性接觸網等效模型，采用有限元法建立了剛性接觸網與受電弓的耦合動力學仿真方法[7]。然而，目前針對剛性接觸網建立的弓網耦合動力學仿真方法，建模較為復雜，計算效率較低，因此，需要結合剛性接觸網的應用條件以及弓網耦合動力學特性，提出更為簡單和高效的仿真方法。文獻[3]指出變剛度彈簧接觸網模型由于無法考慮振動波在接觸網中的傳播，適用于低速時的弓網耦合動力學仿真，而剛性接觸網通常應用于地鐵線路，地鐵車輛的運行速度一般低于120 km/h，因此，可采用變剛度彈簧模型模擬剛性接觸網。本文基于剛性接觸網等效模型，在此基礎上提出一種更為簡單的變剛度彈簧剛性接觸網模型，將接觸網表示成隨著空間變化的剛度值，采用接觸剛度模擬弓網之間的耦合行為，并將計算結果與采用有限元法獲得的計算結果進行比較，驗證文中所提方法的準確性，同時給出了2 種計算方法的使用范圍；最后，對2 種方法計算所需時間以及模型復雜度進行比較，證明變剛度彈簧接觸網模型在弓網耦合動力學仿真中具備一定的優勢。

1 接觸網-受電弓模型

1.1 剛性接觸網等效模型

剛性接觸網由接觸線、匯流排及絕緣支撐裝置等組成，如圖1所示。剛性接觸網的接觸線固定在匯流排上，每隔一段距離使用特殊的夾具將其固定在隧道頂部。接觸線與匯流排組成的結構自重大且無張力，可以將剛性接觸網等效為由梁、帶自重的彈簧組成的等效結構；根據靜力平衡條件、動能和勢能定理，獲得懸掛機構的等效質量和等效剛度；匯流排與接觸線可一起考慮成簡支梁，從而得到剛性接觸網的等效模型[5]，如圖2所示。

圖1 剛性接觸網平面圖

圖2 剛性接觸網等效模型示意圖

1.2 剛性接觸網數學模型

1.2.1 變剛度彈簧模型

剛性接觸網變剛度彈簧模型是指將接觸網考慮成空間上離散的剛度節點，剛度節點可通過剛性接觸網等效模型計算獲得或者通過線路試驗獲得，該模型忽略了振動波在接觸網中的傳播，可適用于低速時的弓網耦合動力學仿真。選取跨距為8 m，錨段長度為240 m 的剛性接觸網為研究對象，通過數值仿真獲得了接觸網的靜態剛度，如圖3所示。由圖可知，相比傳統的柔性接觸網，剛性接觸網具有靜態剛度大，懸掛機構處的靜態剛度值遠大于跨中處靜態剛度值的特點。在弓網耦合動力學模型中，可將整個剛性接觸網等效為剛度隨受電弓運行位置而改變的變剛度彈簧，其剛度值由剛性接觸網不同位置處的靜態剛度確定，如圖4所示。

圖3 剛性接觸網靜態剛度曲線圖

圖4 剛性接觸網變剛度模型示意圖

剛性接觸網變剛度彈簧模型中的弓網接觸壓力Fcp(t)可表示為

式中，ks為接觸剛度；ycc為接觸點處接觸線垂向位移；ypc為接觸點處受電弓垂向位移。

接觸線垂向位移ycc可表示為

式中，k(xc)為弓網接觸點處的靜態剛度。

1.2.2 有限元模型

直接建模法采用有限元法對剛性接觸網結構進行離散，得到剛性接觸網的質量、阻尼和剛度矩陣，進一步得到接觸網的微分方程：

式中，[Mc]，[Cc]和[Kc]分別為接觸網的質量，阻尼和剛度矩陣；，和{yc}分別為接觸網的加速度，速度和位移向量；{Pcp(x,t)}為t 時刻弓網接觸壓力向量。

1.3 受電弓模型

受電弓模型主要包括歸算質量模型、多剛體模型、剛柔混合模型等。歸算質量模型是對受電弓某個高度進行等效參數測試，從而將受電弓表示成集中質量、彈簧和阻尼相連的等效模型，如圖5所示。歸算質量模型具有自由度少、計算效率高的優點。

圖5 受電弓質量塊模型示意圖

受電弓運動微分方程可表述為

式中，[Mp]，[Cp]和[Kp]分別為受電弓的質量，阻尼和剛度矩陣；，和{yp}分別為受電弓的加速度，速度和位移向量；{-Fcp(x,t)}為t 時刻弓網接觸壓力向量；{F0}為受電弓靜態抬升力向量。

2 計算結果

2.1 接觸壓力

建立跨距為8 m，錨段長度為240 m 的剛性接觸網等效模型以及SBS81 地鐵受電弓歸算質量模型。采用直接積分法對有限元模型進行弓網動力學仿真，以其計算結果驗證本文提出的剛性接觸網變剛度彈簧模型的準確性。按照同樣的工況進行仿真，提取接觸壓力結果進行對比。圖6為計算獲得的不同速度條件下弓網接觸壓力時程，對比2 種方法的結果曲線發現，在速度120 km/h 以下，2 種計算方法的接觸壓力結果曲線吻合得很好。

圖6 弓網耦合模型接觸壓力結果曲線圖

參見圖7，對于速度等級更高的工況進行計算后發現，在速度達到140 km/h 時，變剛度彈簧模型的接觸壓力產生了與剛性接觸網模型接觸壓力之間較大的差異。提取各個速度等級接觸壓力結果的統計值對比后發現，速度在120 km/h 以下時，變剛度彈簧模型與有限元模型的統計值差異很小。速度工況100 km/h，2 種模型接觸壓力最大值相差1.46 N，最小值相差0.74 N，標準差相差 0.61 N。速度工況120 km/h，2 種模型接觸壓力最大值相差1.26 N，最小值相差0.09 N，標準差相差0.948 N。當速度達到140 km/h 以上時，變剛度彈簧模型與剛性接觸網等效模型的接觸壓力統計值差異開始變大。速度工況140 km/h，2 種模型接觸壓力最大值相差8.30 N，最小值相差8.74 N，標準差相差 5.65 N，差異明顯變大。因此變剛度彈簧模型的適用范圍在低速區域，而現階段剛性接觸網主要應用于速度較低的線路條件，變剛度彈簧模型在現有工程應用中是足夠的。當需要對速度等級較高的弓網動力學研究時，仍然應該使用有限元模型。

圖7 接觸壓力統計結果對比曲線圖

2.2 接觸壓力頻譜

剛性接觸網是以跨距為單位的周期性結構，因此，當列車以不同速度運行時，接觸網對受電弓存在不同的跨距激勵頻率。頻率值可用f= v / l 表示，其中，v 為運行速度。速度等級40、60、80、100 km/h時，對應的跨距頻率分別為1.39、2.08、2.78、 3.47 Hz。對4 種速度條件下的接觸壓力分別做頻譜分析，如圖8所示，由圖8可知，對弓網接觸壓力貢獻最大的頻率成分為跨距頻率；同時由頻譜結果可知，2 種方法計算獲得的接觸壓力頻譜特性也是一致的，從而進一步證明剛性接觸網變剛度模型的計算結果是正確可靠的。

圖8 接觸壓力頻譜結果曲線圖

2.3 計算效率

數值仿真的計算效率以及建模復雜程度對工程應用尤為重要。針對同一工況，統計文中2 種方法的計算耗時，以及對建模和編寫程序的復雜度進行說明和比較。工況設定為列車運行速度80 km/h，列車運行時間5 s，仿真時間步長取0.001 s。圖9給出了2 種方法進行弓網耦合動力學仿真時所需時間，由圖可知，采用變剛度彈簧模型進行仿真時，計算效率很高，而使用直接積分法計算的有限元模型所需時間很長。因此，對于工程應用而言，從計算精度和計算效率上考慮，進行剛性接觸網的弓網動力學仿真時，采用變剛度彈簧模型較為合適。

圖9 計算時間對比圖

剛性接觸網有限元模型在接觸網幾何模型基礎上，定義單元、單元屬性、邊界條件，劃分網格獲得有限元模型，建模過程復雜，計算時間長，適用于考慮復雜連接、過渡結構，如匯流排接頭、錨段關節結構的動力學計算。變剛度彈簧模型根據剛性接觸網的靜態剛度直接建立彈簧模型，建模簡單，方程求解微分項少，并且計算時間很短，適用于正常運營速度下的弓網動力學評價。

3 結語

本文提出了基于變剛度彈簧模型的剛性接觸網-受電弓耦合動力學仿真方法，并與有限元的計算結果進行了比較，驗證了該方法的準確性。

剛性接觸網變剛度彈簧模型具有建模簡單，計算效率高，適合地鐵正常運營速度下的弓網動力學仿真和評價。

對于運行速度不超過120 km/h 的弓網動力學仿真計算，采用變剛度彈簧模型較為合適。而對于運行速度超過120 km/h 的弓網動力學仿真計算，采用剛性接觸網等效模型進行計算則更為合理。

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