學(xué)生在數(shù)列概念中常見的錯誤類型

周桂星

摘 要：數(shù)列問題概念性強(qiáng)、公式多，特別是由概念派生出的性質(zhì)繁多，因此在解題中若對概念、公式、性質(zhì)一知半解，則容易失誤.本文歸納處理數(shù)列問題中常見的易錯點(diǎn)并結(jié)合例題分析出錯原因，為學(xué)生提供工具，以便更準(zhǔn)確而全面地解決數(shù)列問題。

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列；等比數(shù)列；易錯點(diǎn)

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）05-176-01

一、前言

數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中有著廣泛的應(yīng)用，它是高中數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容，同時也是一個難點(diǎn)內(nèi)容。數(shù)列的課程目標(biāo)是讓學(xué)生通過對數(shù)列的學(xué)習(xí)，學(xué)會從日常生活中的實(shí)際問題抽象出數(shù)列模型，掌握數(shù)列中的一些基本數(shù)量關(guān)系；要想達(dá)到數(shù)列的課程目標(biāo)，就必須讓學(xué)生能準(zhǔn)確了解數(shù)列的概念。在實(shí)際學(xué)習(xí)中，學(xué)生對數(shù)列概念的了解并不很準(zhǔn)確，下面我就結(jié)合自己在數(shù)列教學(xué)中實(shí)際情況，談一談學(xué)生在數(shù)列概念中常犯的錯誤。

二、定義理解不清，導(dǎo)致判斷錯誤

1、常見錯誤一：數(shù)列就是數(shù)集。

數(shù)列與數(shù)集都是具有某種共同屬性的數(shù)的全體，因此很多學(xué)生誤認(rèn)為數(shù)列就是數(shù)集，其實(shí)數(shù)列和數(shù)集有三個明顯不同的特點(diǎn)。第一，有序與無序。數(shù)列中的數(shù)是有順序的，而數(shù)集中的元素是無序的。比如：數(shù)列 ， ，…， ，…排列為 ， ，…， …就構(gòu)成另一個新的數(shù)列，而數(shù)集{ ， ，…， ，…}與數(shù)集{ ， ，…， …}表示同一數(shù)集。第二，唯一與不唯一。在數(shù)列中同一個數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而數(shù)集中的元素是不能重復(fù)的。比如：數(shù)列-1，1，-1，1，…。第三，表示方法不同。比如：正整數(shù)集可以用字母N*來表示，而正整數(shù)數(shù)列則可以表示成1，2，…，n，…或簡記為{n}。

2、常見錯誤二：數(shù)列相關(guān)概念理解不準(zhǔn)確。

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列相關(guān)概念時，相關(guān)概念理解不準(zhǔn)確主要體現(xiàn)在兩方面。第一方面：對符號{ }與符號 理解不準(zhǔn)確。符號{ }與符號 的意義不同，{ }表示數(shù)列 ， ，…， ，…； 表示數(shù)列的通項(xiàng)，它是項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)。當(dāng)n是某個確定正整數(shù)時， 表示數(shù)列{ }的第n項(xiàng)；當(dāng)n取所有的正整數(shù)時， 又可以表示數(shù)列{ }中所有的項(xiàng)， 表示數(shù)列{ }中第二項(xiàng)起所有的項(xiàng)， 表示數(shù)列{ }中的所有奇數(shù)項(xiàng)， 表示數(shù)列{ }中的所有偶數(shù)項(xiàng)。第二方面：混淆項(xiàng)、項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)和數(shù)列項(xiàng)數(shù)的概念。數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)和數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是不同概念；數(shù)列的項(xiàng)指數(shù)列中的某一確定的數(shù)，項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是指該項(xiàng)在數(shù)列中的位置序號，數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是指有窮數(shù)列中項(xiàng)的個數(shù)。比如：在數(shù)列3，5，7，9中數(shù)列的項(xiàng)有3、5、7、9；其中3的為第一項(xiàng)，5為第二項(xiàng)，7為第三項(xiàng)，9為第四項(xiàng)。因此，3的項(xiàng)數(shù)為1，5的項(xiàng)數(shù)為2，7的項(xiàng)數(shù)為3，9的項(xiàng)數(shù)為4。該數(shù)列有3、5、7、9四項(xiàng)，所以該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為4。

3、常見錯誤三：數(shù)列有且只有一個通項(xiàng)公式。

學(xué)生在求解數(shù)列通項(xiàng)公式時，總認(rèn)為數(shù)列有且只有一個通項(xiàng)公式，都可以求解出通項(xiàng)公式。其實(shí)根據(jù)數(shù)列自身的形式和意義可以把數(shù)列分為可確定數(shù)列和不可確定數(shù)列，比如：①由素?cái)?shù)從小到大排列形成的數(shù)列2，3，5，7，11，…；②1， ， ，…， ，… 就是確定數(shù)列。③水庫每天的水位高度的數(shù)組成的數(shù)列，④1， ， ，…，就是不確定數(shù)列。其中數(shù)列①、③的通項(xiàng)公式不可求，數(shù)列②的通項(xiàng)公式是唯一的 = ，數(shù)列④的通項(xiàng)公式可以表示為 （ 常數(shù)），當(dāng) 取不同的值時，可以產(chǎn)生無數(shù)個通項(xiàng)公式。因此，說明了并不是所有數(shù)列的通項(xiàng)公式都可求；可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式如果可求，則通項(xiàng)公式是唯一的；不可確定數(shù)列如果有通項(xiàng)公式，則通項(xiàng)公式不唯一，有無數(shù)個。

常見錯誤四：n 與數(shù)列{ }的關(guān)系就是函數(shù) 。

雖然n 與數(shù)列{ }、函數(shù) 都表示的n與 之間的某種對應(yīng)關(guān)系，但是函數(shù) 的函數(shù)值集里面的數(shù)的位置發(fā)生改變時，仍然可以保證n與 的對應(yīng)關(guān)系，而數(shù)列{ }是一個有序數(shù)集，不能改變數(shù)的位置。因此不能把數(shù)列{ }認(rèn)為是函數(shù) 的函數(shù)值集，所以 n 與數(shù)列{ }的關(guān)系不能認(rèn)為是函數(shù) 。綜上所述，我們可以把n 與數(shù)列{ }的關(guān)系當(dāng)作一種特殊的函數(shù)，可以把數(shù)列{ }定義為在正整數(shù)集 或 的有限個子集{1，2，…，n}上的函數(shù) 當(dāng)自變量從1開始依次取正整數(shù)時相對應(yīng)的一列函數(shù)值。

三、結(jié)語

綜合上述學(xué)生數(shù)例錯誤例題，筆者認(rèn)為合理應(yīng)用數(shù)學(xué)錯誤的教學(xué)意蘊(yùn)，就能最大限度地發(fā)揮其教育功能，改善教學(xué)提高教學(xué)的有效性，

一是要注意考慮學(xué)生固有的知識機(jī)構(gòu)與學(xué)習(xí)需求的基礎(chǔ)上，教師可采取類似的預(yù)測、練習(xí)等診斷性評價手段，有針對性轉(zhuǎn)變教學(xué)方式方法，

包括教學(xué)目標(biāo)、定義、內(nèi)容 、組織等，竟而構(gòu)建高效的學(xué)習(xí)環(huán)境，提高學(xué)生認(rèn)知水平，降低學(xué)生在數(shù)學(xué)中對數(shù)例常見錯誤次數(shù)，二是恰當(dāng)選擇教學(xué)策略，依據(jù)數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的實(shí)際情況及教師自身素養(yǎng)等，綜合考慮教學(xué)策略和學(xué)情適用性，從而提高數(shù)例在數(shù)學(xué)中有效性，三是將數(shù)學(xué)的錯誤作為教育的重大資源，老師通過對學(xué)生錯誤的案例資源進(jìn)行整合，如題中學(xué)生對數(shù)例題的理解不清，即可構(gòu)建起自我的學(xué)習(xí)環(huán)境，激發(fā)其元認(rèn)知，使在學(xué)習(xí)的過程中形成自我診斷和反思的概念，在有效的減少數(shù)學(xué)錯誤的同時，進(jìn)而提高自身數(shù)學(xué)思維能力。