淺淡數學解題中的逆向思維

詹光燦

摘 要：在數學問題的解決中，有的問題直接尋找解決的方法比較困難，有時甚至無法找到，這就需要我們從間接的途徑去解決問題。間接的思維方法就是從問題的側面或反面對問題進行思考，從而使問題獲得解決，本文就間接思維中幾種常見的思維模式之一逆向思維的應用進行論述。

關鍵詞：數學問題；逆向思維；補集；待定系數

逆向思維是相對于習慣思維的另一種思維，它指在解決問題的過程中，能主動改變思維方向去考慮問題，從已有思路的相反方向去考慮問題。逆向思維擺脫了固有的思維定式，這種“倒過來”思考的數學思維方法，對解決問題往往能起到突破性的效果。逆向思維表現為以下幾種類型：

一、對定義、法則、公式，以及某些定理的逆向應用，創設問題情境

例1、設a>0，且a≠1，f（x）=求證：f（n）>n （ n ）

這是一道與自然數有關的命題，常規的思路是用數學歸納法證明，但證明過程冗長，十分繁難。若注意到f（n）中的（n）可逆用等比數列的求和公式，便使問題簡明，快捷地得以解決。

在解答問題的過程中要善于抓住問題的特征，展開逆向聯想，這是實現逆用公式的關鍵所在。是對等比數列的求和公式的逆用。

例2，已知△ABC的三個內角A，B，C滿足acos2A+bsin A=1，

acos2B+bsinB=1，acos2c+bsinc=1，試判斷三角形的形狀。

由于數學學科的形式化特點，數學公式的繁多，我們在進行公式教學時，不要把記憶公式作為學習的最終目的，靈活使用、廣泛聯想、大膽變形才是教學中一個重要的教學任務。對定義、法則、公式，以及某些定理的逆向應用，常見的有加、減運算法則的互逆使用；乘、除運算法則的互逆使用；分子有理化和分母有理化的互逆思維，對數的底數與真數互換等。

二、逆向處理題設條件與結論，改變問題情景

逆向處理題設條件與結論，通常是從條件和結論的反面入手去思考，或對條件與結論進行否定，如補集法，反證法等；或假設結論已知，或已經存在，再進行探索，如同一法，待定系數法等。

1.補集法

例3、兩個不同點P，Q在曲線y=x2移動，不管如何選擇位置它們總不能關于直線y=m（x-3）對稱，求m的取值范圍

思路分析 原命題不易正面求解，則可考慮反面求解。即先求曲線y=x2上關于直線y=m（x-3）有對稱的相異兩點時m的取值范圍A，然后再求A在全集I=R上的補集，若m=0，曲線y=x2上沒有關于y=0對稱的兩點；若m≠0，設與y=m（x-3）.垂直的直線L：y=-x+b，代入y = x2.得x2+x – b=0 ，據此L與拋物線有兩個交點關于直線y=m（x-3）對稱的先要條件為：

例：用0、1、2、3、4、5這六個數可以組成多少個沒有重復數字的六位偶數。考慮末位數應安排0、2、4中任一個，則全集的情況共為，但當2或4有末位而0在首位時不適合，即應除去的補集情況共有種，故所求總數為-=312種

2.待定系數法

待定系數法的實質是方程的思想，這個方法將待定的未知數與已知數據統一在方程關系中，待定系數法常用于確定函數解析式，曲線方程，因式分解和復數的代數形式等。

例4，已知方程x4-10x3+36x2-52x+20=0有一根為3+i，解這個方程

此題根據實系數方程根共軛成對原理，方程必有另一根3-i

于是設x4-10x3+36x2-52x+20

=（x-3-i）（x-3+i）（x2+bx+c）

令x=0，可得c=2；令x=1，可得b=-4

所以x2+bx+c=x2-4x+2，解方和得x3-4=2

隨著人們對待定系數法認識的深入，待管系數法在解決不等式問題，最值問題以及線性規劃問題時，也獲得了廣泛的應用。

3.同一法

在證明某個問題時，如果直接證明比較困難，而所要證明的結論是唯一確定的，可用同一法間接證明，先設法構造一個數學對象，再證明所構造的對象確實具有題目給出的性質，又由于該數學對象唯一確定，可知所構造的對象與所要證明的對象實際上是同一的，從而證得命題。

同一法的實質是通過證明逆命題的成立來證明原命題。這就要求原命題的逆題成立。而且滿足條件的對象又唯一時才能使用。

4. 常量，變元逆向，化歸問題模式

在解決有關變元問題時，由于思維定式的影響，人們總是習慣于抓住變元不放，這在很多情況下是正確的，但在有的情況下會產生難以克服的障礙，于是要考慮常量與變量換位的策略，這種類型的題目主要集中于方程，不等式和代數式的化簡，變形等方面。

例6、解方程

在此例中，直接解三次方程不容易。逆向思維——因為，把看作常量，看作變量，即令，方程可變為，即。

5. 逆推法，構建問題模式

從結論出發，由果索因，轉化結論，逐步倒推，追溯到題設條件或已證命題為止，以求問題的解決，這種方法稱為逆推法。

例8、甲、乙、丙三箱內共有小球384個，先從甲中取若干個球放入乙和丙中，所放球數為乙、丙原箱內球數，繼而從乙中取若干個球放入甲和丙中，放法同前，照此法，再將丙中球若干個放入甲、乙箱內，結果三個箱內球數相等，求原來各箱的球數。

此題正向思維須用方程的思想，而且會陷入復雜的分析，而用逆向推理卻可將問題簡單化。

逆向推理在中學數學的幾何證明中是常用的分析方法。

數學思想方法，是對數學知識精髓的濃縮提煉，是對數學本質的深刻認識，是數學中普遍適用的方法，掌握數學思想方法必須成為數學課程的重要目的，它是培養學生理性思維的基礎，是發展學生智能和創新意識的關鍵所在也是衡量一個人基本素養的重要指標。

本文就數學思想方法中的一個細微的部分逆向思維作一個粗淺的歸納。來指導教學中對學生數學素養的培養。