中國白銀期貨市場的多重分形特征研究

李亞蘭

一、引言

金融市場是一個非線性的動態(tài)復雜系統(tǒng)，用線性的理論方法對其進行研究存在著不可克服的缺陷，而基于非線性的理論方法研究金融市場能夠更加準確、細致地揭示市場的本質特征。自從Peters[1]在1994年首次提出“分形市場”的概念以來，金融市場中分形特征的存在性已成為人們廣泛認同的事實?，F在分形理論與方法已被廣泛應用于金融領域的研究中。

多重分形消除趨勢波動分析[2]（Multifractal Detrended Fluctuation Analysis,MF-DFA）是近年來國內外學者廣泛采用的一種多重分形分析方法。該方法克服了之前DFA不能描述不同時間標度下分形特征的弊端，可以避免對金融時間序列的長期相關性的誤判，從而能更精細、準確地分析具有多重分形性的金融市場。目前國內外許多學者運用此方法對金融市場進行了大量的研究。如施錫銓和艾克鳳[3]利用MFDFA研究中、美兩國股票市場的多重分形特征，探討多重分形性與風險之間的關系，指出多重分形特征越顯著，蘊含風險越大。王玉東等人[4]運用MF-DFA研究了上海股票市場，發(fā)現上海股票市場在限價改革之后變得越來越有效，通過對波動序列的研究，他們給出了上海股票市場非有效的證據。Norouzzaden等人[5]運用MF-DFA分析伊朗里亞爾對美元匯率波動的多重分形特征，發(fā)現非線性相關性是引起多重分形特征的主要因素。Sehyun Kim等人[6]對美元—韓元，美元—日元，美元—歐元這三個匯率進行多重分形研究，發(fā)現美元—韓元匯率的廣義Hurst指數比其他兩個匯率的大，且在三個外匯匯率中，美元—韓元的自相關函數擁有最大的記憶行為。

在我國，白銀作為貴金屬自2012年5月10日在上海期貨交易所上市以來，目前已躍居上交所的第三大期貨交易品種。由于白銀具有良好的延展性、導電性、傳熱性，且其作為貴金屬比黃金廉價得多，因而白銀具有比黃金更廣泛的工業(yè)用途。此外，中國是一個白銀需求大國，白銀期貨市場在中國有廣闊的發(fā)展前景，能夠吸引投資者的大量投資。然而，目前人們對中國白銀期貨的研究只停留在對白銀期貨價格的影響因素、投資策略等方面[7]，缺乏對它們的波動復雜性的細致探討。鑒于此，文章將采用MF-DFA方法對中國白銀期貨市場的高頻數據進行多重分形分析。為此，我們選取滬銀1312的每5min高頻數據作為研究對象，研究其多重分形特征，并對其價格的短期走勢進行一定的預測，研究結果可以為投資者的投資決策提供一定的參考。

二、方法描述

給定長度為N的時間序列 x(i)，i=1，2，……，N，MF-DFA方法的具體算法步驟如下：

第一步，構造側面（Profile）：

第二步，將所構造的側面 y(t! ")分成 Ns=int(N/s)個長為s的不重疊的片段.由于N未必是時間標度s的整數倍，為了使側面中所有數據都能參與計算，從序列的尾部重復上述分割過程，這樣得到2Ns個片段.通常時間標度s的選取范圍設定在10～Ns/5之間。

第三步，對每一個片段用最小二乘擬合來消除序列的局部趨勢，并確定方差：

這里Pλ（j）是第λ個片段階數為m的擬合多項式。

第四步，計算階波動函數：

第五步，選取不同的時間標度s重復第二到第四步的過程。

第六步，對于大量的值有如下冪律關系：

基于最小二乘法，通過觀察 對s的雙對數圖的斜率得到廣義Hurst指數h(q)。當q=2時，h(q)就是經典的Hurst指數。 若h(q)＞0.5，表明時間序列具有持續(xù)性；若h(q)=0.5，表明時間序列呈高斯分布，即表現為隨機游走行為；若h(q)＜0.5，則時間序列具有反持續(xù)性。

廣義Hurst指數h(q)和Renyi指數 τ（q）之間有如下關系： τ（q）=qh(q)-1；

通過勒讓德變換可以得到奇異指數α和多重分形譜 f(α)的表達式：

這里奇異指數α刻畫了時間序列中各個部分的奇異性，而f(α)表示時間序列中具有相同α的點集的分形維數，α是時變的，從而整個過程的f(α)也不是單一的。記△f=f(αmin)-f(αmax)，若△f＞0，表示多重分形譜呈左鉤狀，說明指數處于波峰的機會大于處于波谷的機會；若△f＜0，則多重分形譜呈右鉤狀，此時指數處于波谷的機會大于處于波峰的機會。

三、實證研究

由于中國白銀期貨市場建立的時間較短，日數據量較少，為了分析市場的運行特征，文章選取高頻數據作為研究對象，具體采用的是上海期貨交易所滬銀1312合約的每5min高頻數據，時間跨度從2013年6月7日9:00到2013年7月23日15：00，一共得到2228個高頻數據。圖1給出了滬銀1312在這段時間內的5min高頻原始數據圖。圖2給出了白銀1312合約的對數收益率序列 r(t!")關于時間的變化圖，這里 r(t)=lnPt+1-lnPt，Pt表示t時刻對應的期貨合約的收盤價，圖1給出了收益率序列的相關統(tǒng)計量。

圖1 滬銀1312每5min高頻數據的原始數據圖

圖2 滬銀1312每5min高頻數據的收益率序列圖

從圖2可看出，滬銀1312每5min收盤價的收益率序列為非平穩(wěn)序列，且波動幅度較大，尤其在2013年6月7日到7月11日期間的波動尤為劇烈，究其原因可能是受2013年5月份黃金期貨價格暴跌的影響。由表1可見，滬銀1312期貨合約高頻數據的收益率序列的偏度小于0，說明該序列的分布呈左偏狀態(tài)，即該收益率為負值的機率大于為正值的機率。收益率序列的峰度遠大于標準正態(tài)分布的峰度3，標準差遠小于標準正態(tài)分布的標準差1，表明該收益率序列的分布呈尖峰尾胖的形態(tài)。

表1 滬銀1312每5min高頻數據收益率的基本統(tǒng)計量

圖3滬銀1312的Fq(s)～s雙對數圖

圖3 是白銀1312期貨合約的每5min高頻數據收益率序列的Fq(s)～s雙對數圖，其中q=-10,-9…，0，…，9，10從圖中看到，當q≥3時，隨著logs值的增大，logFq(s)值的波動幅度越來越小。此外，固定s，logFq(s)的值隨q的變化而變化，這說明滬銀1312的每5min數據序列在每一小區(qū)間中消除趨勢之后波動不同，也就是說該時間序列的局部結構不是均勻一致的，顯示出該時間序列具有多重分形特征。

圖4 滬銀1312的h(q)～q關系圖

表2 滬銀1312的廣義Hurst指數

圖4給出了滬銀1312的每5min高頻數據收益率序列的廣義Hurst指數h(q)對q的關系圖，其中q的取值為-10,-9…，0，…，9，10 表 2 給出了 h(q)的具體值。由圖4和表2可看出，當q≤2時，h(q)＞0.5，說明滬銀1312高頻數據的小幅波動行為具有持續(xù)性，即上一個時間白銀價格上漲（下跌），則下一個時間白銀價格很可能會上漲（下跌）。 當 q≥3 時，h(q)＜0.5，說明滬銀1312高頻數據的大幅波動行為呈反持續(xù)性，即上一個時間價格上漲（下跌），則下一個時間價格很可能會下跌（上漲）。

圖5 滬銀1312的τ(q)～q的關系圖

圖5 給出了滬銀1312的每5min高頻數據收益率的Renyi指數τ(q)對q的函數關系圖。由圖5可見，τ(q)關于q的圖形是非線性的，說明該時間序列具有多重分形性。此外，τ(q)～q關系圖的凸形適中，說明該時間序列的多重分形性適中。

圖6 滬銀1312的f(α)～α的關系圖

表3 滬銀1312的多重分形譜參量

圖6繪出了多重分形譜f(α)隨α變化的函數關系圖。由圖6可見，譜函數f(α)的鐘形開口較大，頂端較為平緩，表明該階段收盤價波動較為劇烈，市場處于震蕩階段。從多重分形譜f(α)曲線的分布狀態(tài)可以看出，曲線左端明顯低于右端，即圖形呈左鉤狀，此時歸一化價格較低的事件起主導作用，期貨的收盤價格有下跌的趨勢。多重分形譜寬度Δα越大表示價格分布越不均勻。由表3可見，滬銀1312的每5min收盤價收益率序列的Δα＝0.9892，說明其間期貨價格波動的振幅較大。此外,Δf=0.2314＞0，表明滬銀1312的收盤價格中高價位的出現機會比低價位的出現機會大。2013年6月7日到2013年7月23日期間滬銀1312每 5min收盤價序列的平均值為4059.1，從圖1可見收盤價在平均值上下波動劇烈，價格分布不均勻，也佐證了表3的分析結果。

四、結束語

文章通過對滬銀1312期貨合約每5min收盤價的對數收益率序列進行MF-DFA和多重分形譜分析得出如下結論：

（1）滬銀1312收盤價對數收益率序列具有多重分形特征，且多重分形性的程度適中，收益率序列具有長程相關性；

（2）滬銀1312收盤價對數收益率序列中的小幅波動具有持續(xù)性，而大幅波動具有反持續(xù)性；

（3）通過多重分形譜分析發(fā)現，滬銀1312每5min收盤價序列中高價位的出現機率大于低價位的出現機率，且在短期內收盤價有下跌的趨勢。

文章的研究結果對預測期貨收盤價格的短期走勢有一定幫助，可以為投資者的投資決策提供一定的參考。

［1］Peters E.Fractal market analysis:applying chaos theory to investment and economics[M].New York:John Wiley&Son Inc,1994.

［2］Kantelhardt J W,Zschiegner S A,Koscielny B E,et al.Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series[J].Physic A,2002,（316）:87-114.

［3］施錫銓，艾克鳳.股票市場風險的多重分形分析[J].統(tǒng)計研究，2004，（9）：33-36.

［4］Wang Y D,Liu L,Gu R B,et al.Analysis of market efficiency for the Shanghai stock market over time[J].Physica A,2010,（389）:1635-1642.

［5］Norouzzaden P,RahmaniB.A multifractaldetrended fluctuation description of iranianrial-US dollar exchange rate[J].Physic A,2006,（367）:328-336.

［6］Sehyun Kim,Soo Yong Kim,Jae-Won Jung,Kyungsik Kim.Dynamical analyses of the time series for three foreign exchange rates[J].Journal of the Korean Physical Society,2012,60(9):1473-1476.

［7］方文生.白銀期貨上市的影響及投資策略[J].中國金屬通報，2012，（17）:22-23.