用于復合材料缺陷可視化檢測的l1正則化算法

薛倩 馬敏 王化祥 詹湘琳

(中國民航大學航空自動化學院1,天津 300300;天津大學電氣工程與自動化學院2,天津 300072)

用于復合材料缺陷可視化檢測的l1正則化算法

薛倩1馬敏1王化祥2詹湘琳1

(中國民航大學航空自動化學院1,天津 300300;天津大學電氣工程與自動化學院2,天津 300072)

隨著復合材料在民用飛機中越來越廣泛的應用,復合材料缺陷的在線檢測對無損檢測技術提出了更高要求。為提高平面電容層析成像(ECT)系統的成像質量,從而提高其對復合材料缺陷的檢測精度,對基于l1正則化的成像算法進行了研究。采用交替最小化方法進行數值計算,并結合迭代閾值法,對重建圖像進行降噪。試驗結果表明,與ECT中常用的Landweber、Tikhonov正則化等算法相比,該方法能夠有效分辨物場中的不同介質,提高了成像質量和被測物體邊緣分辨率。

層析成像 無損檢測 圖像重建 復合材料 正則化

0 引言

先進復合材料(acomposite materials,ACM)因其質量輕,隔熱、隔音、減震效果好,比強度高、抗腐蝕、耐高(低)溫等特點,在現代民用飛機中獲得了廣泛應用[1]。新研制的波音系列飛機的機翼、機身等主承力機構均由ACM制成,空客A380也大量采用了ACM[2]。由于ACM具有各向異性等特點,其損傷機理、失效形式都與金屬材料顯著不同,這給無損檢測技術帶來了新的挑戰。當非金屬復合材料發生疲勞或損傷時,其介電常數也發生相應變化。因此,理論上可利用基于電容敏感機理的電容層析成像(electrical capacitance tomography,ECT)技術實現在線監測[3-4]。平面ECT技術用于材料無損檢測的研究起步較晚,基本還處于仿真試驗階段[5-7],主要的困難在于該技術空間分辨率較低。因此,本文通過圖像重建算法的研究,提高系統的空間分辨率。

1 系統結構與數學模型

平面ECT系統主要由三部分組成:平面陣列電容傳感器、電容測量與數據采集電路和成像計算機。平面ECT系統結構框圖如圖1所示。

圖1 平面ECT系統結構框圖Fig.1 Structure of the planar ECT system

ECT系統通過傳感器的陣列電極獲得敏感場內介質分布狀況的邊界信息。電容測量及數據采集電路對傳感器的輸出電容值進行濾波、變換、放大,并將數據傳給成像計算機。成像計算機利用圖像重建算法重構被測介質的分布情況,同時向數據采集系統發送控制信號。

根據似穩場理論的Maxwell方程,對于均勻、線性、各向同性的介質,ECT敏感場內任意一點滿足拉普拉斯方程,即:

由電場的唯一性定理可知,滿足拉普拉斯方程和給定邊界條件的φ(x,y)是給定靜電場的唯一解。本文中ECT系統采用電壓激勵,激勵電極的電勢為U,其余電極電勢為0,符合Direchlet邊界條件,即:

式中:?Ω為場域邊界。

電勢分布φ(x,y)與介電常數分布e(x,y)通過積分方程相聯系。基于擾動理論和有限元法,得到線性化和離散化的圖像重建模型為:

將式(3)歸一化處理后,表示為:

式中:C為M×1維的測量數據向量,M代表獨立測量數;g為N×1維的介電常數分布圖像向量,N代表被測場域的剖分單元數;S為M×N維的靈敏度矩陣。

2 圖像重建算法研究

2.1 數學模型變換

在實際ECT系統中,可測量的邊界值數目往往遠小于剖分單元數,即線性方程組(4)是欠定的,因此解不存在或不唯一。通常將式(4)的求解轉化為求最小二范數解的凸優化問題[8-9],即:

式中:A為式(4)中的靈敏度矩陣S;b為測量數據向量C;x為要求解的圖像向量g。

求解此問題常用的算法有共軛梯度法和Landweber迭代法等。由于測量值C中不可避免地包含噪聲,而靈敏度矩陣S的條件數通常很大,為了較準確和穩定地重建g,一般采用Tikhonov正則化方法將圖像重建問題轉化為:

由于泛函數Ja(x)是光滑的,可直接令其導數為零,求得Ja(x)的極小點x=(ATA+αI)-1ATb作為Ax= b的正則化近似解。由此可證明ATA+αI的逆總是存在的,故解存在。當A是線性算子時,Ja(x)是嚴格凸的,故存在唯一的極小點。

基于L2范數的Tikhonov正則化方法,容易使解過度光滑化。復合材料缺陷檢測中被測區域的介質往往存在不連續性,采用該方法不可避免地會降低空間分辨率;且如果A是非線性的,Ja(x)不再是嚴格凸的,可能有多個局部極小點。不同的迭代初值可能導致不同的極值點,可能最后得到不合理的解。為削弱圖像的平滑性,可考慮基于稀疏性的l1正則化。1992年, Rudin等人提出總變差(total variation,TV)正則化算法[10]并將其應用于圖像去噪。后來,該算法分別由Fang(2004)、Soleimani(2005)和Wang(2007)等人引入ECT圖像重建[11-13]。基于TV正則化的圖像重建算法以成像區域內像素值的總變差作為懲罰項,由于同樣的TV值允許函數有不同的表達形式,包括不連續的函數形式,這就使得介質分布不連續的區域得到較好的重建。該算法在提高逆問題求解穩定性的同時,對介質分布不連續區域的分辨力也明顯提高,具有良好的保邊緣性。ECT中圖像總變差的離散化形式為:

可見,TV正則化相當于利用梯度算子將圖像稀疏化,然后求最小l1范數解。實際上,TV正則化可通過引入分離變量轉化為l1正則化形式[14]。由于增加了l1范數的懲罰項,優化問題不再是光滑的,求解難度增加。一種魯棒的算法是原始-對偶內點法。由于該算法效率很低,Wang等利用總變差表達式的一種二次可微的近似形式,采用牛頓-拉夫遜迭代算法求解[13]。

除TV正則化外,由于大部分圖像都可經離散余弦變換(discrete cosine transform,DCT)、離散傅里葉變換(discrete Fourier transform,DFT)或小波變換等獲得稀疏表達形式,在圖像重建中也可將稀疏化的圖像向量的l1范數作為懲罰項,以提高空間分辨率,因此,圖像重建問題轉化為基于l1范數的凸優化問題,即:

式中:μ＞0為權重參數。

基于凸優化理論,稀疏向量x∈iN可由少量線性測量值b=Ax∈iM重建。由此,壓縮傳感領域求解l1問題的各種算法都可用于測量數據有限的CT/ECT圖像重建,唯一的問題在于算法效率。2011年,Yang J F等將優化領域的經典算法——交替方向法(alternating direction method,ADM)擴展到8種不同形式的l1范數最小化問題[15]。基于增廣Lagrangian函數和交替最小化思想的交替方向算法,在測量數據受噪聲污染的情況下能獲得較準確的解。與現存的許多一階算法相比,該算法效率較高且通用性強。

2.2 數值求解算法

對式(8)中的變量進行下列代換:

通過Legendre變換求得f和g的共軛函數:

則式(8)的對偶問題可表示為:

令λ=-p,則式(10)等價于:

引入向量z∈iN,消除δz(q)項,將式(11)轉化為帶約束的最大化問題,即:

利用增廣Lagrangian函數,將式(12)轉化為無約束最小化問題,即:

式中:x∈iN為Lagrangian乘子(即原問題中的圖像向量x);β＞0為懲罰系數。

相對普通的Lagrangian函數,增廣Lagrangian函數多一個關于約束的懲罰項。采用交替方向(ADM)算法,在每次迭代中交替更新原始變量x和對偶變量λ、z,先給x和z(或λ)賦初值,通過最小化增廣拉格朗日函數,得到新的λ(或z),并更新z(或l),由新的l和z更新乘子x,依此迭代,最終x將收斂到原問題的最優解。本文采用線性反投影(linear back projection,LBP)法重建結果作為x的初值。

式(13)關于λ的最小化問題是一個最小二乘問題。通過對λ求導,得:

給定xk和zk,采用最速下降法求解式(14),迭代步驟如下。

由λ=λk+1和給定的x=xk,利用式(13)對z的導數更新向量z:

最后,利用λ=λk+1和z=zk+1更新x:

φ(x)與φd(λ)間的對偶間隙為:

由此,迭代終止條件設為:對偶間隙小于某一正數或解已經穩定,即Δ＜ε或‖xk+1-xk‖2/‖xk+1‖2＜θε,其中參數ε＞0,θ∈(0,1]。

2.3 迭代方法選取閾值

為提高重建圖像的空間分辨率,利用迭代方法自適應設定閾值,將像素值小于閾值的像素置零,以消除重建圖像中的偽影。

①迭代次數k=0,設置初始閾值T0為圖像全部像素的平均值。

②將重建圖像像素分為兩部分:Xa和Xb。其中, Xa代表值大于Tk的像素,Xb代表其他像素。

③分別計算Xa和Xb中像素的平均值:Ta=mean(Xa)、Tb=mean(Xb)。

3 試驗驗證

3.1 試驗條件

試驗用平面ECT系統如圖2所示。系統采用4× 4的矩形電極傳感器,電極尺寸為2 cm×2 cm,電極間距為0.5 cm。檢測對象為長、寬、高均為2 cm的正方體有機玻璃,介電常數約為3,分別放置在傳感器的不同位置,以測試ECT敏感場不同位置處的檢測精度。

3.2 試驗結果

分別用Landweber算法、Tikhonov正則化算法和l1正則化算法進行圖像重建,結果如圖2、圖3和圖4所示。

圖2 Landweber算法對不同模型的重建圖像Fig.2 The reconstructed images using Landweber algorithm for different models

圖3 Tikhonov正則化算法對不同模型的重建圖像Fig.3 The reconstructed images using Tikhonov regularization algorithm for different models

圖4 l1正則化算法對不同模型的重建圖像Fig.4 The reconstructed images using l1regularization algorithm for different models

由圖2可知,Landweber算法對敏感場中心和偏上側位置的物體均可較好地重建,但物體形狀有失真,邊緣處模糊情況較嚴重,重建物體的尺寸隨著物體放置位置的不同也發生變化;對兩個物體的重建圖像,可分辨出兩個物體,但形狀和尺寸的失真更為嚴重。由圖3可知,Tikhonov正則化算法對重建圖像質量的改善不明顯,可探測出物體的存在和大致位置,但重建的形狀和尺寸存在比較嚴重的失真。由圖4可見,l1正則化算法有效改進了成像質量,提高了物體邊緣的空間分辨率,從而改善了平面ECT系統的檢測性能。

4 結束語

本文以平面ECT技術在航空復合材料缺陷檢測中的應用為背景,利用l1正則化方法改進ECT圖像重建算法。16電極平面ECT樣機試驗結果表明,該方法明顯提高了重建圖像質量,特別是敏感場內物質界面處的空間分辨率,提高了平面ECT系統的檢測精度,為平面ECT系統用于航空復合材料檢測提供了一定的試驗論證。

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l1Regularization Algorithm Used in Visualization Defect Inspection for Composite Materials

Along with the composite materials have been used more widely in civil aircrafts,the online inspection of the defects of composite materials requests higher level non-destructive inspecting technology.In order to improve the imaging quality of planar electrical capacitance tomography(ECT)system for enhancing the inspection accuracy for defects of composite materials,the imaging algorithm based on l1-regularization is researched,by applying alternating minimization method for numerical calculation,and combining with the iterative threshold method,the noise reduction is conducted for the reconstructed images.The experimental results show that comparing with the commonly used Landweber or Tikhonov regularization algorithms,this method can effectively distinguish different media in object field,and improve the imaging quality and the resolution for the edge of the measured object.

Tomography Non-destructive testing Image reconstruction Composite materials Regularization

TP207

A

國家自然科學基金青年科學基金資助項目(編號:61102096);

天津市科技支撐計劃基金資助項目(編號:11ZCGHHZ00700);

中央高校基本科研業務費中國民航大學專項基金資助項目(編號: 3122013C007);

中國民航大學科研啟動基金資助項目(編號:2013QD01S)。

修改稿收到日期:2014-04-02。

薛倩(1987-),女,2013年畢業于天津大學控制科學與工程專業,獲博士學位,講師;主要從事無損檢測技術的研究。