Matlab分析連續控制系統的根軌跡

萬萍

摘 要 借助于國際上流行的控制系統計算機輔助設計軟件matlab對連續控制系統進行分析，首先以自動控制原理為基礎，對連續控制系統進行分析，建立傳遞函數模型，分析系統的根軌跡。

關鍵詞 控制系統；matlab；函數模型；根軌跡

中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A 文章編號：1671-7597（2014）07-0182-01

1 系統的傳遞函數模型

連續時間系統用微分方程描述。對于單輸入單輸出（SISO）系統數學模的一般形式為：

any（n）（t）+an-1y（n-1）（t）+…+a0y（0）（t）=bmu（m）（t）+bm-1u（m-1）（t）+…+b0u（0）（t）

其中，y和u分別為系統的輸入與輸出；ai與bi分別表示輸入和輸出各導數項系數。

1.1 模型介紹

傳遞函數的定義：在零初始條件下，線性定常系統輸出量的拉氏變換與系統輸入量的拉氏變換之比。對于一個SISO連續系統，系統相應的微分方程如上式所示，對此微分方程作Laplace變換，則該連續系統的傳遞函數為：

1.2 模型建立

在matlab中，用函數tf可以建立一個連續系統傳遞函數模型，其調用格式為sys=tf（num，den）其中，num為傳遞函數分子系統向量，den為傳遞函數分母系數向量。

例1：連續系統的傳遞函數為G（s）=（s+5）/（s2+s+6）

用MATLAB建立該系統傳遞函數模型和運行結果如下：

num=[1，5]； Transfer function：

den=[1，1，6]； s+5

sys=tf（num，den） s^2 + s + 6

2 控制系統的根軌跡分析

經典控制系統經常用傳遞函數來描述，系統設計往往借助于系統頻率特性，根軌跡法是最常用的方法。本節將就連續控制系統的根軌跡方程，根軌跡圖的繪制以及根軌跡在matlab中的實現來分析連續控制系統的根軌跡。

根軌跡的一般定義是：當系統中某參數（通常指開環增益）由0時，系統死循環極點在S平面上運動的軌跡。

2.1 根軌跡方程

若系統開環傳遞函數為G（s）H（s），則系統死循環特征方程為：1+G（s）H（s）=0

以零極點的形式，上式可寫成

此即為根軌跡方程。式中Zi（i=1，2，…，m）為系統的開環零點，Pi（i=1，2，…，n）為系統的開環極點，K為系統的根開環增益。滿足根軌跡方程的所有s值必然都是系統可能的死循環極點；對于每一個死循環極點，系統都有相應的增益值。

2.2 根軌跡的MATLAB實現

MATLAB中有三個函數用于根軌跡繪制和分析，它們分別是rlocus、rlocfind和sgrid。函數rlocus的調用格式為（sys為系統的開環模型）：

rlocus（num，den）；rlocus（num，den，k）；

rlocus（sys） 繪制根軌跡圖；r= rlocus（sys）返回系統死循環特征根值r；[r，k]=rlocus（sys）返回系統增益。

例2、已知某系統的開環傳遞函數為G（s）H（s）=K/s（s+1），增加零點后的傳遞函數分別為G（s）H（s）=K（s+2）/s（s+1）和G（s）H（s）=K（s+0.5）/s（s+1），試討論對根軌跡和系統性能的影響。

MATLAB程序如下：

clc

clear

num1=[1]； %原系統

den1=[1 1 0]；

subplot（3，1，1）；

rlocus（num1，den1）

num2=[1 5]； %增加零點z=5

den2=[1 1 0]；

subplot（3，1，2）；

rlocus（num2，den2）

num3=[1 0.5]； %增加零點z=0.5

den3=[1 1 0]；

subplot（3，1，3）；

rlocus（num3，den3）

3 結論

應用matlab進行對線性連續控制系統的根軌跡的分析可以更加形象、快捷地展現參數變化對系統性能的影響，使我們加快、加深對自動控制理論的理解與接受，更加直觀的了解控制系統中的各種響應及其分析方法。

參考文獻

[1]黃堅.自動控制原理及其應用[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]鄭阿奇，曹戈，趙陽.MATLAB實用教程[M].北京：電子工業出版社，2004.endprint