軸向受壓運動梁橫向振動特性的數值分析

陳紅永，陳海波，張培強

（中國科學技術大學近代力學系，中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室，合肥 230026）

軸向受壓運動梁橫向振動特性的數值分析

陳紅永，陳海波，張培強

（中國科學技術大學近代力學系，中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室，合肥 230026）

針對Galerkin截斷法在計算軸向受載運動梁的固有特性時，低階頻率誤差較大的問題，通過引入軸向力作用對試函數進行改進，分析了兩端固支和固支－自由邊界條件下的Timoshenko運動梁在軸向壓力作用下振動特性。結果表明：分析軸向受壓運動梁的低階彈性振動時，軸向力作用不可忽略；改進方法在軸向載荷較大時計算低階頻率有較大改進，而且對于不同邊界條件有很好的適應性；軸向壓力和運動效應的共同作用更易引起梁的失穩狀態。

Galerkin法；軸向受壓；軸向運動梁；振動特性

軸向運動系統在航空航天、工程機械等領域有著廣泛的應用［1－3］，對其橫向振動特性的研究對于其設計和改善系統性能有著重要的意義。?z等［4］采用多尺度方法研究了軸向運動速度變化梁的非線性振動和穩定性問題；劉寧等［5］采用修正Galerkin方法求解了移動質量作用下的軸向運動懸臂梁系統的振動特性；李彪等［6］采用復模態方法研究了端部扭簧作用的混雜邊界的軸向運動梁的橫向振動。以上研究都是基于Bernoulli-Euler梁理論對軸向運動梁進行建模，而采用Timoshenko梁進行建?？梢钥紤]剪切變形及轉動慣量的影響，更加精確。Tang等［7］建立了軸向受拉運動梁的橫向振動Timoshenko梁模型，也通過復模態方法分析了不同對稱邊界條件下梁的固有頻率和振型；采用Galerkin截斷方法計算同一模型的固有頻率時，簡支工況下與復模態方法具有較好一致性［8］，而對于固支邊界條件下的分析，發現剛度系數較大時Galerkin方法與復模態或DQM方法相比誤差較大［9］。

以上模型都是建立在軸向不受載或受拉力載荷基礎上的，并未針對軸向受壓力作用的運動梁的振動特性開展研究，而且都未對軸向載荷對運動梁振動特性的影響進行深入分析。但對于靜態梁來說，不同邊界條件下軸向壓力效應對低階振動影響很大［10－11］，而且對于很多航天器或其部件來說，低階振動在實際服役過程中占主導，所以對低階特性的精確分析有著重要的意義。之前的研究都未考慮軸向壓力和運動效應的耦合作用，因此本文建立了軸向受壓運動Timoshenko梁的控制方程，通過引入軸向壓力的作用構造了基于Galerkin截斷法的改進方法，在對稱和非對稱邊界條件下對模型的振動特性進行分析，并與微分求積法（Differential Quadrature Method，DQM）的結果進行驗證比較，并給出了相關結論。

1 力學模型及數值求解

其中：k1、k2表征剪切模量的大小，k3、k4分別表征扭轉角度及彎曲剛度的大小；式（2）包含了橫向振動關于無量綱軸向坐標x和時間t的1～4階偏導數。不同邊界條件將在算例中給出。

兩端固支梁的靜態屈曲臨界載荷為Ncr＝4π2EI/L2，定義無量綱載荷系數為實際壓力與臨界壓力的比值：

由圖1可見，其中λ2、λ3和λ4基本呈線性緩慢下降，但λ1下降速度快些，它在kn＞0.8以后明顯加快，并在kn接近1時急速下降為0。由此可見軸向壓力的影響主要集中在第一階固有頻率，對于其它固有頻率的影響不明顯。

將邊界條件式（6）和式（7）代入式（5），可得軸力作用下梁的振型函數［10］：

（1）兩端固支梁

圖1 前四階特征值隨壓力系數的變化Fig.1 First four eigenvalues vs.load

原始Galerkin截斷法（Original Galerkin Method，OGM）不考慮軸向力影響，采用的試函數無法反映軸力影響。而本文的振型函數既同時滿足位移和力的邊界條件，同時也已考慮了軸向力的作用，相應的分析方法即基于Garlerkin方法的改進法（Modified Galerkin Method，MGM）。文獻［9］的分析結果表明，對于軸向運動梁，在一定條件下，復模態和DQM方法均能給出高精度結果，故為進行對比，本文同時采用DQM方法計算相同模型的固有頻率，詳細過程略去。

2 算例及結果

設置典型的薄壁圓筒結構的軸向均勻梁參數，L＝1 m，I＝1.67×10－5m4，A＝0.02 m2，E＝100 GPa，μ＝0.3，ρ＝1.89×103kg/m3，分別對兩種邊界條件進行分析。

2.1 兩端固支梁

采用改進方法在載荷系數較小kn＝0.01～0.1時分別取不同截斷項數n＝1，2，4，計算系統的1、2階無量綱固有頻率ω與DQM方法進行對比。

計算第1、2階固有頻率，比較不同截斷項數對計算誤差的影響，如圖2所示。計算第一階頻率時截斷項數n＝1，OGM和MGM誤差均較大，而取n＝2時結果收斂，并與DQM法一致性很好；計算第2階頻率時，取n＝2，當梁軸向運動速度較大時OGM和MGM法誤差均較大，而n＝4結果兩種方法對應的都較好，可見截斷項數對計算誤差影響很大，后面部分都采用四階截斷項數。在剛度系數k4較大時，即kn＜0.1時，OGM和MGM結果與DQM法一致性很好，可見當軸向壓力較小時OGM和MGM可以得到較好的結果。

圖3給出了當kn＝0.9，0.93時，三種方法計算得到的前兩階固有頻率。當kn＝0.9時，MGM計算得到的前兩階頻率與DQM結果一致性較好，而OGM誤差較大。kn＝0.93時，OGM計算得到的第1階固有頻率已經降為0，而MGM與DQM較為接近，三種方法計算得到的第二階頻率較為接近。計算結果表名明對于對稱邊界條件下計算系統一階頻率時，當載荷系數較大（接近臨界載荷）時MGM能夠得到更好的結果，而OGM誤差變大的原因在于此時試函數所用第一階特征根與無軸力時相比差別最大。對于二階模態，因為第二、三和四階特征根受軸向壓力影響有限，則三種方法計算得到的結果差別不大。

圖2 軸力較小OGM/MGM/DQM第一、二階頻率與速度關系Fig.2 1st，2ndnatural frequencies vs.speed of OGM/MGM/DQMat low loads

圖3 軸力較大OGM/MGM/DQM法第1、2階頻率與速度關系對比Fig.3 1st、2ndnatural frequencies vs.speed by OGM/MGM/DQMat high loads

2.2 懸臂梁

首先比較OGM法與DQM法計算前兩階頻率結果。從圖4中可看出，當kn較大時，OGM得到的一階頻率結果誤差變大，即不考慮軸力作用，在不同速度下計算得到的梁的固有頻率偏高，而這種誤差隨著軸力的增大而增大。考慮軸向運動效應時，第一階臨界載荷變小，而相應OGM計算得到的臨界載荷偏大。OGM計算得到的二階頻率與DQM一致性很好，原因在于高階特征值隨載荷增大下降緩慢，而低階截斷模態的誤差難以影響高階模態?？梢姴捎肎alerkin截斷法求解此類問題，所取試函數低階特性對高階頻率的結果影響不明顯。

圖4 OGM/DQM法第一、二階頻率與在不同運動速度下與載荷系數關系Fig.4 1stand 2ndnatural frequencies vs.load and speed by OGM/DQM

通過引入軸力效應之后，結果如圖5所示。MGM得到的前兩階頻率結果與DQM的一致性都很好。對比有無軸向運動速度的情況，軸向運動速度越大，則梁對應的臨界載荷越小，說明軸向壓力和運動速度耦合作用更易引起梁的失穩狀態。

圖6給出了kn＝0.1，0.3，0.5時三種方法計算得到的前兩階固有頻率隨軸向運動速度變化的對比，OGM得到的臨界速度大于MGM和DQM方法，可見不考慮軸向力效應，非對稱邊界條件的梁臨界速度偏大，而這種情況當軸向壓力越大時越明顯?？梢娨隡GM對于非對稱邊界條件的受壓運動梁有很好的適用性。

通過三種方法的對比，可以發現MGM在計算一階頻率時明顯優于OGM。另一方面，與DQM相比，MGM能夠給出軸向載荷影響運動系統低階固有頻率的根本原因，即軸向壓力作用使得一階頻率在接近臨界載荷時的急速下降，同時其它階下降緩慢，且高階頻率與試函數低階特性無關。

圖5 MGM/DQM法第一、二階頻率與在不同運動速度下與載荷系數關系Fig.5 1st and 2nd natural frequencies vs.load and speed by MGM/DQM

圖6 OGM/MGM/DQM法第1、2階頻率與在不同運動速度下與載荷系數關系Fig.6 1st and 2nd natural frequency vs.speed and load by OGM/MGM/DQM

3 結 論

通過在控制方程和邊界條件中考慮軸向壓力作用，分析了不同邊界條件下的軸向受壓運動Timoshenko梁的橫向振動特性，采用基于Galerkin截斷法的改進方法揭示了軸向壓力對運動梁固有頻率影響的根本原因，并得到以下結論：

（1）改進方法在處理軸向受載運動梁問題時，在對稱和非對稱邊界條件下適用性很好，可以應用于此類問題的動力學分析；

（2）對軸向受壓的運動梁，對稱且無自由端的邊界條件下，當軸向壓力接近一階臨界載荷時須考慮其對一階模態的影響；非對稱有自由端的邊界條件下，則必須考慮軸向壓力在較大范圍內對一階模態的影響；

（3）Timoshenko梁在軸向壓力和運動效應耦合作用下與僅有其中一種作用相比，更易引起失穩狀態。

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Numerical analysis of free vibration of an axially moving beam under com pressive load

CHEN Hong-yong，CHEN Hai-bo，ZHANG Pei-qiang
（CASKey Laboratory of Mechanical Behavior and Design of Materials，Department of Modern Mechanics，University of Science and Technology of China，Hefei230026，China）

Errors become larger when using Galerkin method to calculate lower order natural frequencies of an axially moving beam with axial load.By introducing the effect of axial compressive load，the test functions weremodified and the vibration characteristics of an axially moving Timoshenko beam under clamped-clamped and clamped-free boundary conditions were investigated.Simulation results showed that the effect of axial load can not be ignored when calculating lower order natural frequencies of the axial moving beam with axial compressive load；the proposed modification approach based on Galerkinmethod improves the numerical results greatlywhen the axial compressive load is larger，and it also has a good applicability for different boundary conditions；the common action of axial compressive load and axiallymoving causes the beam state to be instablemore easily.

Galerkin method；axial compressive load；axially moving beam；vibration characteristic

O32

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.24.017

2013－10－21 修改稿收到日期：2013－12－12

陳紅永男，博士生，1986年5月生

陳海波男，博士，教授，1968年2月生