基于S型曲線軌道的旋轉起重機殘留擺角抑制

歐陽慧珉，張廣明，梅 磊，鄧 歆

（南京工業大學自動化與電氣工程學院，南京 211816）

基于S型曲線軌道的旋轉起重機殘留擺角抑制

歐陽慧珉，張廣明，梅 磊，鄧 歆

（南京工業大學自動化與電氣工程學院，南京 211816）

旋轉起重機被廣泛地用于各種場合來運輸沉重物體或有害材料，例如建筑工地，工廠，核設施以及港灣等。由于旋臂的旋轉運動會使荷載產生一個二維擺角，因此針對此問題提出一種軌道生成的方式來同時實現旋臂的位置控制和荷載的殘留消擺控制。首先，導出一個包含離心力項的起重機部分線性模型。其次，基于該模型通過數值計算生成預先考慮了殘留擺角的S型曲線軌道。其中各個參數只需通過求解代數方程即可得到，降低了控制器設計的難度。同時該軌道可以應用于常用的工業控制器中從而降低了系統構建成本。最后，比較仿真和實驗結果驗證所提方法的有效性。通過使用此法可以實現在無測量擺角的傳感器系統情況下準確地操作起重機，從而大大地簡化其結構和降低其安裝成本。

旋轉起重機運動控制殘留擺角抑制S型曲線軌道跟蹤控制

起重機系統與工業機器人相比，前者使用較少的執行機構和具有較簡易的結構，因此被廣泛地應用于建筑工地，港灣等場合。特別地，旋轉起重機不像橋式起重機那樣需要行走軌道等大型設備，所以它們可以應用于像卡車的載物臺這樣的狹小空間。可是，旋臂的旋轉運動會使荷載產生一個二維擺角；因此，操作人員必須具備很高的熟練度來控制起重機使得荷載迅速而準確地到達指定位置。操作上的失誤會造成事故，人員傷亡以及破壞周圍的環境。

為了減輕操作人員的負擔和提高他們工作的安全性，許多研究人員已經為起重機系統開發了各種各樣的控制器。沈瀅等［1－2］提出了一種基于坐標變換的旋轉起重機直線搬送最優控制方法。歐陽慧珉等［3］提出了一種基于線性矩陣不等式（LMI）的魯棒控制器。除此之外還包括了滑模變結構控制4］，輸入整形控制［5－6］，增益調度控制［7］，基于李亞普諾夫穩定性定理的非線性控制［8］以及模糊控制［9］。

然而，在現存的研究中大多同時利用旋臂的起伏運動和旋轉運動來實現消擺控制。如果可以提出一種只利用旋臂的旋轉運動即無需其起伏運動而實現消擺控制方法的話，就可以實現無需控制旋臂起伏運動的執行機構的起重機，從而大大地簡化了起重機的結構和降低了制造成本。因為旋臂的起伏運動只是用來克服重力的。

但是，當只利用旋臂的旋轉運動來消除這個二維擺角時，起重機在目標位置附近的線性化系統則變成不可控制系統。為了解決這個問題，已經有研究者提出了一些方法［10－13］。這些方法主要可分為兩種類型：一種是開環控制，即無需擺角信息的軌道生成法［10－11］。另一種是閉環控制，即利用由傳感器系統測量到的擺角信息實現消擺控制［12－13］。前者雖然無需額外的傳感器系統，但是大多生成較為復雜的軌道從而很難應用于常用的工業控制器中。另一方面，后者雖然可以實現對起重機系統的魯棒控制，但是需要測量擺角的傳感器系統從而增加系統安裝難度和成本。

本文將提出一種S型曲線軌道生成法去實現對荷載二維擺角的抑制控制。該軌道可應用于常用的工業控制器中。為實現上述目的，首先，導出一個包含離心力項的起重機部分線性模型。其次，基于該模型通過數值計算生成預先考慮了殘留擺角的S型曲線軌道。最后，比較仿真和實驗結果驗證所提方法的有效性。

1 旋轉起重機模型

在如圖1所示的旋轉起重機模型中，θ1，θ2分別表示旋臂起伏運動平面的擺角和旋轉運動平面的切線方向的擺角；θ3，θ4分別表示旋臂的起伏角和旋轉角；L，l分別表示旋臂長度和懸繩長度；x，y，z表示荷載的三維空間位置。

圖1 旋轉起重機模型Fig．1 Schematic model of rotary crane

假設旋轉起重機模型具有以下特性：

（1）荷載可以看作是一個質點，且懸繩的扭力可以忽略不計。

（2）僅考慮荷載－懸繩振動系統中的1次振型。

（3）由于擺角θi很小，因此sinθi?θi和cosθi?1（i ＝1，2）成立。

根據拉格朗日運動方程懸繩和荷載組成的振動系統的動力學方程

由于旋臂旋轉運動產生的離心力主要影響著二維擺角，為了導出控制器，對式（1）和式（2）在旋臂到達目標位置附近進行線性化但不包括離心力項和重力項并假設θ很小，使得?0，θθ?0?0?

1ij?0（i，j＝1，2）成立。在這種情況下，得到其部分線性模型

由式（3）和式（4），得到以下簡易模型：

2 軌道生成與結果

2.1 軌道生成

本小節基于式（5）和式（6）所示模型為旋臂的旋轉運動生成預先考慮了殘留擺角的S型曲線速度軌道。該軌道如圖2所示，其中參數t，t，t，分別表示

123加速區間，勻速區間，減速區間以及最高速度。

圖2 S型曲線速度軌道Fig．2 S-shaped curve velocity trajectory

S型曲線速度軌道

首先，將式（7）代入式（5）中，得到起伏方向擺角θ1在區間t∈［0，t1）上的值θ11為

同理，旋轉方向擺角θ2在區間t∈［t1，t1＋t2）上的值θ22為

2.2 軌道生成條件及結果

由于式（15）～式（18）是非線性方程組，因此其數值解取決于它們的初始值。采用列文伯格算法求解并設定最高速度的初始值為0．3 rad／s。加速區間t1與減速區間t3相同，并使其初始值在0．05 s～1．5 s之間變化。旋轉角θ4的目標值θ4f分別設定為30°，45°和 60°。勻速區間t的初始值則可由t，t的初始值和

213θ4f求出，結果如表1所示。因為假設荷載固有角頻率ωn不變，所以對于不同的θ4f得到了相同的t1，t2，t3。

表1 軌道生成條件及結果Tab.1 Trajectory generation conditions and results

3 仿真與實驗

3.1 目標軌道

將式（7）所示S曲線速度軌道進行積分可得到其位置軌道

式中θ4f，Tf分別表示目標角度和最終時間，并設定Tf＝10 s。

3.2 跟蹤控制器設計

旋臂的旋轉運動可由下式表示：

式中J，d，K，u分別表示旋臂轉動慣量，包含非線性力的系統外部干擾，系統參數以及指令電壓。式（20）假設旋臂轉動慣量J是常量，但是其變化部分可看作系統外部干擾并包含于d。

為了補償系統外部干擾的影響，將以下所示干擾觀測器（DOB）應用于式（20）：

式中s，v，ω分別表示微分算子，由反饋控制器算出新的控制輸入以及低通濾波器（LPF）的截止角頻率。該控制系統的方框圖如圖3所示。

圖3 含有干擾觀測器控制系統Fig．3 Control system with disturbance observer

起重機系統動力學特性在低頻區域可表示為下式：

另外，假設目標軌道r的一階與二階導數r，r存在并可用于控制器設計。本文采用如下所示的比例微分控制器作為跟蹤控制器：

式中Kv，Kp為控制器增益。

將式（23）代入式（22）可得：

當Kv＞0，Kp＞0時，該系統漸進穩定。本文應用試湊法設定Kv＝50 1／s，Kp＝30 1／s2。

3.3 仿真驗證

由于在3．1節中所得出的S型曲線軌道是基于式（5）和式（6）所示模型（以下稱作簡易模型），因此除了要驗證對于簡易模型的有效性之外，還要驗證其對于式（1），式（2）和式（20）所示模型（以下稱作原模型）的有效性。仿真參數如表2所示，其中J，K由電機特性測試實驗所得；L，m為設計參數；l為測量所得。

表2 仿真參數Tab.2 Parameters of simulations

首先，基于簡易模型的仿真結果如圖4－圖6所示。圖4（c）和圖4（d）所示兩個方向的擺角都得到很好的抑制，同時圖4（a）所示旋轉角也與目標軌道一致，并且對于所有的目標角度θ4f都得到幾乎相同的結果。

圖4 基于簡易模型的S型曲線軌道結果（θ4f＝30°）Fig．4 S-shaped curve trajectory results based on simple model（θ4f＝30°）

圖5 基于簡易模型的S型曲線軌道結果（θ4f＝45°）Fig．5 S-shaped curve trajectory results based on simple model（θ4f＝45°）

圖6 基于簡易模型的S型曲線軌道結果（θ4f＝60°）Fig．6 S-shaped curve trajectory results based on simple model（θ4f＝60°）

圖7 基于原模型的S型曲線軌道結果（θ4f＝30°）Fig．7 S-shaped curve trajectory results based on original model（θ4f＝30°）

圖8 基于原模型的S型曲線軌道結果（θ4f＝45°）Fig．8 S－shaped curve trajectory results based on original model（θ4f＝45°）

其次，驗證所提出軌道對原模型的有效性。式（20）所示外部干擾d不僅包括非線性力還包括了如下所示摩擦項：

式中C，fn分別表示粘性摩擦系數，靜摩擦或庫倫摩擦。fn的屬性為

式中fs，fc分別表示靜摩擦和庫倫摩擦，其值為C＝1．39 Nm／（rad／s），fs＝3．71 Nm，fc＝3．58 Nm。

采用圖3所示的含有干擾觀測器的控制系統對摩擦項進行補償并作仿真分析，其結果如圖7～圖9所示。

另外，本文所提出的S型曲線軌道分別應用于簡易模型，原模型（不含干擾觀測器）以及原模型（含干擾觀測器）時的旋轉角平均穩態誤差，最大起伏殘留擺角和最大旋轉殘留擺角如表3～表5所示。

由圖4～圖9以及表3～表5可知，盡管由于式（1）和式（2）中非線性項以及旋臂驅動系統的摩擦項式（25）的影響，存在于圖7～圖9中的無論是旋轉角穩態誤差還是殘留擺角振幅都要大于圖4～圖6中相對應的性能，并且和也會隨著旋轉角速度的增大而增大。但是，通過使用含有干擾觀測器的控制系統不僅減少了旋轉角的穩態誤差，也加強了擺角的抑制效果，并將其控制在很小的范圍內了。

表3 仿真結果比較（θ4f＝30°）Tab.3 Comparison of simulation results（θ4f＝30°）

表4 仿真結果比較（θ4f＝45°）Tab.4 Comparison of simulation results（θ4f＝45°）

圖9 基于原模型的S型曲線軌道結果（θ4f＝60°）Fig．9 S-shaped curve trajectory results based on original model（θ4f＝60°）

表5 仿真結果比較（θ4f＝60°）Tab.5 Comparison of simulation results（θ4f＝60°）

3.4 實驗設備

如圖10所示的系統由驅動旋臂起伏和旋轉運動的直流電動機，旋臂，懸繩，荷載等部分構成。旋轉角可由編碼器測得，其角度測量分辨率為1．8×10－3。在本文中，僅使用驅動旋臂旋轉運動的電機，即電機2。

測量擺角的傳感器系統如圖11所示。測量起伏方向擺角θ1的電位計1固定在旋臂上。測量旋轉方向擺角θ2的電位計2固定在部件1上，并圍繞電位計1的旋轉軸旋轉。部件2和長桿共同圍繞電位計2的旋轉軸旋轉。部件3相對于長桿，部件4相對于部件3分別旋轉。部件4可沿著懸繩滑動。其角度測量分辨率為6．4×10－2。在本文中，該系統僅用來觀測擺角。

圖10 實驗系統Fig．10 Experimental system

圖11 測量擺角的傳感器系統Fig．11 Sensor system for measuring load sway

另外，實驗設備各組件型號等參數如表6所示。

表6 實驗設備組件Tab.6 Elements of experimental apparatus

3.5 比較實驗

本小節通過比較實驗進一步驗證本文中所提出的S型曲線軌道的有效性。實驗參數與仿真參數相同。

用于比較的擺線軌道如下所示：

式中θ0，θ4f，ts，Tf分別表示初始角度，目標角度，到達時間，終了時間，并設定為θ0＝0°，θ4f＝45°，ts＝5 s，Tf＝10 s。其結果如圖12所示。在圖12（a），（b）和（d）中實驗結果與仿真結果幾乎一致。然而在圖12（c）中，實驗結果與仿真結果之間存在的差異是由于懸繩與旋臂頂端之間的摩擦所造成的，該摩擦因素使得起伏方向的擺角θ1發生了衰減。

S型曲線軌道的結果如圖13所示。雖然與圖12一樣起伏方向擺角θ1也發生了衰減，但是很明顯S型曲線軌道更好地抑制了旋轉方向擺角θ2，同時比擺線軌道要快0．6 s到達目標位置。

當目標角度θ4f分別為30°和60°時的結果如圖14和圖15所示，并得到與θ4f＝45°時幾乎相同的結果。

表7 實驗結果比較（θ4f＝45°）Tab.7 Comparison of experimental results（θ4f＝45°）

圖12 擺線軌道結果（θ4f＝45°）Fig．12 Cycloid curve trajectory results（θ4f＝45°）

圖13 S型曲線軌道結果（θ4f＝45°）Fig．13 S-shaped curve trajectory results（θ4f＝45°）

圖14 S型曲線軌道結果（θ4f＝30°）Fig．14 S-shaped curve trajectory results（θ4f＝30°）

圖15 S型曲線軌道結果（θ4f＝60°）Fig．15 S-shaped curve trajectory results（θ4f＝60°）

圖16 閉環控制方式結果（θ4f＝45°）Fig．16 Closed-loop control results（θ4f＝45°）

3.6 閉環控制方法

為了進一步驗證S型曲線軌道的有效性，本小節將基于李雅普諾夫穩定性定理的非線性反饋控制器用于與本文相同的起重機系統實現擺角的消擺控制［14］。在文獻［14］中，為了對旋臂驅動系統摩擦項的補償從而可以獲得良好的旋轉角跟蹤特性，采用了與3．2節相同的干擾觀測器。其次，基于起重機簡易模型設計了一種非線性變結構控制器，該方法不僅反饋了旋轉角及其角速度而且還利用了兩個方向的擺角及其角速度信息。其仿真和實驗結果如圖16所示。

另外，擺線軌道，S型曲線軌道以及閉環控制法分別應用于起重機系統時的旋轉角平均穩態誤差，最大起伏殘留擺角，最大旋轉殘留擺角以及到達時間如表7所示。

由圖12，圖13，圖16以及表7可知，因為使用了擺角的信息，所以閉環控制法獲得了較短的運送時間，但是荷載搬送中的擺角要大于前種方法。因此也證明了即使不使用擺角信息且僅用S型曲線軌道同樣可以獲得很好的旋臂定位精度和擺角抑制效果。

4 結 論

本文的目的是在不使用測量擺角的傳感器的前提下只使用旋臂旋轉運動實現起重機消擺控制。為此，首先導出了一個包含離心力項的起重機部分線性模型。其次，基于該模型通過數值計算生成了預先考慮了殘留擺角的S型曲線軌道。其中各個參數只需通過求解代數方程即可得到，降低了控制器設計的難度。最后，比較仿真和實驗結果驗證了該方法的有效性。該軌道可以應用于常用的工業控制器中從而降低了系統構建成本，同時也為簡化起重機結構和增加其安全性提供了一種可能。該控制方法可適用于其他類似的起重機模型，具有一定的普遍性。

然而，在實際的起重機操作過程中懸繩長度的變化會影響控制系統的穩定性以及控制性能，接下來將該方法擴展到繩長變化的情況。

［1］Terashima K，Shen Y，Yano K．Modeling and optimal control of a rotary crane using the straight transformation method［J］．Control Engineering Practice，2007，15：1179－1192．

［2］沈瀅，曹金城，王玲．旋轉起重機建模及負載擺動最優控制［J］．沈陽建筑大學學報（自然科學版），2009，3（25）：605－608．

SHEN Ying，CAO Jin-cheng，WANG Ling．Modeling of a rotary crane and the optimal control for load swing［J］．Journal of Shenyang Jianzhu University（Natural Science），2009，3（25）：605－608．

［3］歐陽慧珉，佐野滋則，內山直樹，等．基于LMI的旋轉起重機魯棒控制器設計［J］．振動與沖擊，2014，33（1）：106 －112．

OUYANG Hui-min，SANO S，UCHIYAMA N，et al．Robust controller for rotary cranes based on LMI［J］．Journal of Vibration and Shock，2014，33（1）：106－112．

［4］Almutairi N B，Zribi M．Sliding mode control of a threedimensional overhead crane［J］．Journal of Vibration and Control，2009，15（11）：1679－1730．

［5］董明曉，孫杰，鄭康平，等．閉環輸入整形器消除多模態柔性系統殘留振蕩［J］．機械工程學報，2006，42（5）：110－114．

DONG Ming-xiao，SUN Jie，ZHENG Kang-ping，et al．Closed-loop input shaper eliminating residual vibration of multi-modeflexiblesystems［J］．ChineseJournalof Mechanical Engineering，2006，42（5）：110－114．

［6］Lawrence J，Singhose W．Command shaping slewing motions for tower cranes［J］．ASME Journal of Vibration and Acoustics，2010，132（91）：1－11．

［7］Omar H M，Nayfeh A H．Gantry cranes gain scheduling feedback control with friction compensation［J］．Journal of Vibration and Control，2005，281：1－20．

［8］Yazied T G，Hagag S Y，Ajmi M S，et al．Nonlinear modelling and vibration control of jib cranes［J］．World Applied Sciences Journal，2012，16（11），1543－1550．

［9］Wang Xiao-jun，Shao Hui-he．Hybrid control approach for container cranes［J］．ChineseJournalofMechanical Engineering（English Edition），2005，18（3）：351－355．

［10］Ohto M，Yasunobu S．A rotary crane control method based on a skillful operator's knowledge［J］．Transactions of the Society of Instruments and Control Engineers（In Japanese），1997，33（9）：923－929．［11］Kondo R，Takeda T，Taguchi H，et al．Sway control for rotary crane based on load swing period［J］．Transactions of the JapanSocietyofMechanicalEngineers（C）（In Japanese），2000，67（655）：725－731．

［12］Nakazono K，Ohnishi K，Kinjo H，et al．Vibration control of load for rotary crane system using neural network with GA-based training［J］．Artificial Life and Robotics，2008，13：98－101．

［13］Kondo R，Shimahara S．Anti-sway control of a rotary crane via two-mode switching control［J］．Transactions of the Society of Instruments and Control Engineers（In Japanese），2005，41（4）：307－331．

［14］歐陽慧珉，內山直樹，佐野滋則，等．只利用旋臂旋轉運動的起重機消擺控制［J］．振動與沖擊，2014，33（4）：131 －137．

OUYANG Hui-min，UCHIYAMA N，SANO S，et al．Load swaysuppressioncontrolforrotarycranesusingonly horizontal boom motion［J］．Journal of Vibration and Shock，2014，33（4）：131－137．

Residual load sway suppression for rotary cranes based on an S-shaped curve trajectory

OUYANG Hui-min，ZHANG Guang-ming，MEI Lei，DENG Xin
（College of Automation and Electrical Engineering，Nanjing Tech University，Nanjing 211816，China）

Rotary cranes are widely used to transport heavy loads and hazardous materials in various environments，such as，shipyards，factories，nuclear installations，and construction sites．Because horizontal motion of booms in rotary cranes typically generates an undesirable two-dimensional load sway，a trajectory generation method was proposed to realize boom positioning control and residual load sway suppression．Firstly，a partial linearized dynamic model of a rotary crane including a centrifugal force term responsible for the two-dimensional load sway was derived．Next，an S-shaped curve trajectory suppressing residual load sway was generated with the numerical calculation method．The parameters of the trajectory were obtained only by solving algebraic equations．This trajectory was applied to conventional industrial controllers for reducing their system construction cost．Finally，comparing the results of simulations and tests demonstrated the effectiveness of the proposed method．Thus，the crane could be precisely operated without sensor systems for measuring load sway，the structure of the crane was simplified and its installing cost was reduced．

rotary crane；motion control；residual load sway suppression；S-shaped curve trajectory；tracking control

TH21

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．030

國家自然科學基金（51277092）；江蘇省基礎研究計劃（自然科學基金）資助項目（BK20130938）；江蘇省高校自然科學研究項目資助（14KJB510013）

2014－06－09 修改稿收到日期：2014－07－23

歐陽慧珉男，博士，講師，1982年6月