基于Timoshenko梁理論的微細(xì)立銑刀動(dòng)力學(xué)建模

方澤平，王西彬，劉志兵，陳 明，徐宗偉

（1．北京理工大學(xué)先進(jìn)加工技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，北京 100081；2．上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240；3．天津大學(xué)精密測(cè)量技術(shù)與儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

基于Timoshenko梁理論的微細(xì)立銑刀動(dòng)力學(xué)建模

方澤平1，王西彬1，劉志兵1，陳 明2，徐宗偉3

（1．北京理工大學(xué)先進(jìn)加工技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，北京 100081；2．上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240；3．天津大學(xué)精密測(cè)量技術(shù)與儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

應(yīng)用Timoshenko梁理論綜合考慮了微細(xì)立銑刀特殊結(jié)構(gòu)及其高轉(zhuǎn)速工況引起的剪切效應(yīng)和慣性效應(yīng)，建立了微細(xì)立銑刀懸伸部分的動(dòng)力學(xué)模型；分析了所建立的模型的收斂性問(wèn)題，通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，并與歐拉梁理論計(jì)算結(jié)果和有限元軟件仿真結(jié)果比較，證明了模型的適用性；利用建立的微細(xì)立銑刀動(dòng)力學(xué)模型，研究了微細(xì)立銑刀刀頭直徑、刀頭部分長(zhǎng)徑比和刀頸半錐角等刀具結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)刀具固有頻率的影響。模型可用于微細(xì)立銑刀的參數(shù)化設(shè)計(jì)和優(yōu)化，改善其動(dòng)力學(xué)特性。

微細(xì)立銑刀；動(dòng)力學(xué)建模；Timoshenko梁；固有頻率

微細(xì)銑削是采用直徑極小的銑刀進(jìn)行材料去除的一種加工方法［1］。為了獲得足夠的切削線速度和材料去除率，微細(xì)立銑刀的轉(zhuǎn)速極高。通常，微細(xì)銑削的特征尺寸極小，要想獲得足夠的相對(duì)精度，需要達(dá)到極高的絕對(duì)精度，這對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)提出了極高的要求。考慮到刀具本身復(fù)雜的特性，微細(xì)立銑刀對(duì)微細(xì)銑削過(guò)程中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)起重要作用。

目前只有少量文獻(xiàn)研究了微細(xì)立銑刀的動(dòng)力學(xué)模型。Filiz等［2－4］提出微細(xì)立銑刀包括粗短的結(jié)構(gòu)和多種尺度范圍，需要考慮一般被忽略的剪切效應(yīng)，傳統(tǒng)的Euler-Bemoulli梁并不適用。而且，在微細(xì)銑削過(guò)程中使用極高的轉(zhuǎn)速，需要考慮動(dòng)力學(xué)模型中的慣性效應(yīng)。Jun等［5－6］通過(guò)將溝槽部分的橫截面近似為圓形，采用Timoshenko橫梁模型，研究了微細(xì)立銑刀的動(dòng)態(tài)特性。Mustapha等［7］開(kāi)發(fā)了一種基于離散結(jié)構(gòu)單元的動(dòng)力學(xué)混合分析模型，研究了刀具結(jié)構(gòu)和加工參數(shù)對(duì)刀具動(dòng)態(tài)性能的影響。

本文基于Timoshenko梁理論，用分段思路［8］建立微細(xì)立銑刀的動(dòng)力學(xué)模型，研究了微細(xì)銑刀結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)刀具固有頻率的影響，可用于指導(dǎo)微細(xì)銑刀的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和工藝參數(shù)優(yōu)化。

1 微細(xì)立銑刀結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 基于Timoshenko梁的動(dòng)力學(xué)建模

沿梁的軸線方向z取微段dz為隔離體，微段所受載荷如圖1所示。θ表示僅有彎曲變形時(shí)撓曲線的斜率，γ為微段的剪切變形，有

由微段的受力平衡條件建立Timoshenko梁橫向撓曲運(yùn)動(dòng)微分方程：

式中：A為截面面積；I為截面慣性矩；ρ為材料密度；E為材料彈性模型；G為材料剪切模量；k為截面的剪切變形系數(shù)。q為橫向分布載荷，m為分布外力矩。

圖1 Timoshenko梁微段的受力圖Fig．1 Force diagrams of the infinitesimal element of Timoshenko beam

考慮自由振動(dòng)狀態(tài)，則q＝0，m＝0。

根據(jù)式（2），有

1.2 微細(xì)立銑刀的動(dòng)力學(xué)建模

根據(jù)微細(xì)立銑刀的銑削加工形式，可以簡(jiǎn)化為如圖2所示的不等截面Timoshenko懸臂梁模型。通常將銑刀分為三部分：刀柄部分為等截面圓柱梁，刀徑部分為錐形梁，可簡(jiǎn)化為如圖2所示的等梯度變化等截面階梯梁，刀頭部分同樣簡(jiǎn)化為等截面圓柱梁。

因?yàn)槲⒓?xì)立銑刀的截面尺寸與長(zhǎng)度相比不算很小，且工作轉(zhuǎn)速很高，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剪切變形不可忽略，因此采用Timoshenko橫梁方程描述其動(dòng)態(tài)特性，以綜合考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量效應(yīng)的影響。

圖2 微細(xì)立銑刀的簡(jiǎn)化模型Fig．2 Model of micro－endmill

基于分段思想，將微細(xì)立銑刀分為互相連接的若干段，如圖2所示。第i段梁長(zhǎng)度、截面面積和截面慣性矩可分別表示為：

因此，第i段梁的模態(tài)函數(shù)為：

考慮i＝1，2，…，N－1，得第1段待定系數(shù)C（1）和第N段待定系數(shù)C（N）之間的關(guān)系：

微細(xì)立銑刀安裝后為懸臂梁結(jié)構(gòu)，其邊界條件：

將式（7）代入相應(yīng)的邊界條件，建立包含C1～C4的四個(gè)齊次方程。因?yàn)辇R次方程存在非零解，可通過(guò)方程的特征方程式計(jì)算固有頻率，進(jìn)而求解相應(yīng)振型。

2 模型精度分析

為了確定分段數(shù)對(duì)計(jì)算精度的影響，即收斂性，對(duì)比分析了不同分段數(shù)所得的固有頻率，并利用有限元仿真結(jié)果進(jìn)行評(píng)估。第r階固有頻率因分段數(shù)增加導(dǎo)致的偏差可以表示為：

選取表1所列的微細(xì)立銑刀結(jié)構(gòu)參數(shù)，刀具材料密度ρ＝14．45×103kg／m3，楊氏模量E＝580 GPa，剪切模量G＝242 GPa，截面剪切系數(shù)k＝0．9，則其前三階的固有頻率的收斂性如圖3所示。由圖可見(jiàn)，分段數(shù)n＝224時(shí)，獲得的微細(xì)立銑刀前三階模態(tài)的偏差已低于0．04%。

表1 微細(xì)立銑刀結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structure parameters of micro－endmill

圖3 模型的收斂性Fig．3 Convergence behavior for the model

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置Fig．4 Experimental setup

圖5 一階固有頻率實(shí)驗(yàn)值Fig．5 Experimental result of the first natural frequency

為了驗(yàn)證所建立模型的正確性，將微細(xì)立銑刀安裝在微小型數(shù)控車(chē)銑磨復(fù)合加工中心CXKM25－Ⅲ上，如圖4所示，采用Polytec激光測(cè)振儀CLV2534－2測(cè)量銑刀上節(jié)點(diǎn)在振動(dòng)沖擊力錘敲擊下的響應(yīng)信號(hào)。力錘和測(cè)振儀采集的信號(hào)經(jīng)電荷電壓濾波積分放大器DLF－6和智能信號(hào)采集處理分析儀INV306DF5120傳輸?shù)接?jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。取三次有效敲擊（每次錘擊的相干系數(shù)均大于0．85）的平均為最終結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示，測(cè)得的一階固有頻率為4 846．87Hz，與計(jì)算的理論值的相對(duì)誤差為5．02%。

圖6 固有頻率計(jì)算結(jié)果Fig．6 Calculated results of natural frequency

為了比較高階頻率時(shí)，不同模型對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，以ABAQUS有限元軟件進(jìn)行銑刀實(shí)體模型仿真的結(jié)果為基準(zhǔn)，將Euler梁模型、Timoshenko梁模型計(jì)算獲得的固有頻率值與ABAQUS有限元仿真的結(jié)果進(jìn)行比較，如圖6所示。可見(jiàn)，對(duì)于微細(xì)銑刀結(jié)構(gòu)，采用Timoshenko梁方法獲得的結(jié)果更為準(zhǔn)確，而且頻率越高，效果越明顯。采用224個(gè)分段數(shù)的計(jì)算結(jié)果與ABAQUS仿真軟件銑刀實(shí)體模型的動(dòng)態(tài)仿真結(jié)果的誤差范圍控制可在1%以內(nèi)。可見(jiàn)，該算法具有較高的計(jì)算精度，適用于對(duì)微細(xì)立銑刀結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析。

圖7 固有頻率隨刀具結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化Fig．7 Natural frequency with the variation of tool structure parameters

3 刀具結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律

基于所建立的微細(xì)立銑刀動(dòng)力學(xué)模型，分析了微細(xì)立銑刀幾何結(jié)構(gòu)對(duì)微細(xì)立銑刀固有頻率的影響。分析的參數(shù)包括刀頭部分直徑dt（從250 μm到750μm）、刀頭部分長(zhǎng)徑比Lt／dt（1．5～10）、半錐角α（5°～30°）。刀柄直徑ds和懸伸長(zhǎng)度L保持不變，分別為3 mm和20 mm。安裝誤差和主軸速度設(shè)置為0。

圖7（a）～（c）顯示了刀頭直徑對(duì)前三階固有頻率的影響。當(dāng)分析刀頭直徑影響時(shí)，刀頭長(zhǎng)度、刀錐角分別為2．5 mm和15°。從圖中可以看出在一階模態(tài)，固有頻率隨刀頭直徑的增大而減小；在二階模態(tài)，固有頻率卻隨刀頭直徑的增大而增大，并趨于平穩(wěn)；在三階模態(tài)，刀頭直徑從250 μm增大到375 μm時(shí)，固有頻率略微減小，而后隨著直徑的增大急劇增大。

圖7（d）～（f）顯示了刀頭直徑500 μm，半錐角15°時(shí)，刀頭部分長(zhǎng)徑比對(duì)固有頻率的影響。隨著長(zhǎng)徑比的增大，刀具的一階固有頻率增大，二階固有頻率減小。當(dāng)長(zhǎng)徑比從1．5增大到5時(shí)，三階固有頻率減小，而后隨著長(zhǎng)徑比的繼續(xù)增大開(kāi)始逐漸變大。

圖7（g）～（i）顯示了刀頭直徑500 μm，刀頭長(zhǎng)徑比5時(shí)，微細(xì)立銑刀半錐角對(duì)刀具固有頻率的影響。隨著刀具半錐角的增大，刀具一階和二階固有頻率的變化趨勢(shì)完全相反，三階固有頻率在半錐角為10°時(shí)最大，隨后減小并趨于平穩(wěn)。

三個(gè)刀具結(jié)構(gòu)參數(shù)按對(duì)刀具固有頻率影響的劇烈程度由大到小依次為刀頭部分長(zhǎng)徑比、刀頸半錐角和刀頭直徑。各刀具結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)各階頻率的影響趨勢(shì)也各不相同。通過(guò)合理的刀具結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)，可以有效調(diào)整刀具的動(dòng)態(tài)特性，獲得滿足應(yīng)用需求的微細(xì)刀具。

4 結(jié) 論

（1）根據(jù)Timoshenko梁模型，應(yīng)用分段思想建立了微細(xì)立銑刀懸伸部分的動(dòng)力學(xué)模型，綜合考慮了微細(xì)立銑刀結(jié)構(gòu)和高轉(zhuǎn)速工況引起的不可忽略的剪切效應(yīng)和慣性效應(yīng)，改進(jìn)了微細(xì)立銑刀固有頻率的求解方法。

（2）分析了模型分段數(shù)對(duì)模型計(jì)算精度的影響，通過(guò)模態(tài)實(shí)驗(yàn)測(cè)量微細(xì)銑刀安裝狀態(tài)下的固有頻率，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，并將所建模型求得的固有頻率與有限元軟件仿真結(jié)果和Euler梁理論的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明了所建模型求解微細(xì)立銑刀動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的適用性。

（3）利用建立的微細(xì)立銑刀動(dòng)力學(xué)模型，分析了微細(xì)立銑刀刀頭直徑、刀頭部分長(zhǎng)徑比和刀頸半錐角對(duì)刀具固有頻率的影響。模型的精度和適用性使其可用于基于動(dòng)力學(xué)特性的微細(xì)立銑刀的設(shè)計(jì)研究和參數(shù)優(yōu)化。

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Dynamic modeling of a micro-endmill based on Timoshenko beam theory

FANG Ze-ping1，WANG Xi-bin1，LIU Zhi-bing1，CHEN Ming2，XU Zong-wei3
（1．Key Laboratory of Fundamental Science for Advanced Machining，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China；2．School of Mechanical Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China；3．State Key Laboratory of Precision Measuring Technology＆Instruments，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

A dynamic model for the over-hanged part of a micro-endmill was proposed comprehensively considering shear deformations and rotary inertia effect due to the nature of the micro-endmill with the theory of Timoshenko beam．The convergence behavior of the built model was analysed，and its correctness was verified with tests．The applicability of the model was proved by comparing the test data with the calculated results using the finite element method and the Euler beam theory．Based on the developed model，the effects of its tool tip diameter，tip section aspect ratio and semi-taper angle on the natural frequencies of the micro-endmill were studied．The proposed model provided a better basis for parametric design and optimization of micro-endmills to improve their dynamic performance．

micro-endmill；dynamic modeling；timoshenko beam；natural frequency

TH165；TG506．1

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．020

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目（50935001，51005023）

2013－06－07 修改稿收到日期：2013－12－19

方澤平男，博士生，1985年生

王西彬男，教授，博士生導(dǎo)師，1958年生