常用激光峰值功率公式誤差分析

田金榮，宋晏蓉，王 麗

(北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京100124)

1 引言

在脈沖激光與超快物理現(xiàn)象的研究中，激光的峰值功率是一個非常重要的參量。例如飛秒激光作用下的高次諧波產(chǎn)生［1-2］、超快激光產(chǎn)生THz輻射［3-4］、超快激光產(chǎn)生等離子體通道［5-8］等過程中，激光的峰值功率直接決定了非線性效應(yīng)的強(qiáng)弱。這是由于脈沖激光峰值功率的平方根與產(chǎn)生的最強(qiáng)電場成正比，甚至直接決定了峰值光強(qiáng)。因此峰值功率是激光技術(shù)與激光工程中最重要的技術(shù)指標(biāo)之一，它的提高對激光技術(shù)和光與物質(zhì)相互作用的研究進(jìn)展至關(guān)重要［9-10］。

在目前的專業(yè)文獻(xiàn)中，計算脈沖激光的峰值功率公式是［11］:式中，Pp代表峰值功率，E為脈沖能量，τ為脈沖寬度(峰值半寬)。這個公式邏輯清楚，計算簡單，成為計算峰值功率使用范圍最廣的公式。但式(1)計算的峰值功率和實際峰值功率之間的誤差有多大呢?為了弄清楚這個問題，我們對常見規(guī)則脈沖和非規(guī)則脈沖的實際峰值功率進(jìn)行了計算。為了區(qū)分式(1)計算的峰值功率和實際峰值功率，把式(1)計算的功率Pp稱為標(biāo)稱峰值功率，把實際的峰值功率記為Ppp。

2 常規(guī)脈沖中常用峰值功率公式的誤差

常見的規(guī)則脈沖包括高斯脈沖、雙曲正割脈沖、洛侖茲脈沖及非對稱雙曲正割脈沖［12］。下面分別計算它們的標(biāo)稱峰值功率和峰值功率之間的差別。

(1)高斯脈沖

圖1為脈沖寬度為τ的高斯脈沖的強(qiáng)度包絡(luò)波形，其時域電場強(qiáng)度可寫為:

式中，E0為電場振幅，ω0為載波的角頻率。

由于光的功率與電場的平方成正比，由式

圖1 脈沖寬度為τ的高斯脈沖的強(qiáng)度波形Fig.1 Intensity waveform of a Gaussian pulse with pulse duration of τ

(2)可得激光脈沖的功率為:

式中，Ppp為實際峰值功率。

脈沖能量為功率對時間的積分，而式(3)為偶函數(shù)，因此脈沖能量可以寫為:

將式(3)代入式(4)再積分可得:

所以實際峰值功率與標(biāo)稱峰值功率的關(guān)系為:

由式(6)可以看出，對高斯脈沖來說，標(biāo)稱峰值功率比實際峰值功率大6.3%左右，誤差較小。因此對于高斯脈沖或接近高斯脈沖的脈沖激光來說，采用式(1)計算峰值功率不失為一個簡單精確的好辦法。

(2)雙曲正割型脈沖

圖2為脈沖寬度為τ的雙曲正割脈沖的強(qiáng)度波形(為了對比，用虛線同時畫出了相同脈沖寬度的高斯脈沖的強(qiáng)度波形)，其時域電場強(qiáng)度可寫為:

圖2 脈沖寬度為τ的sech2脈沖的強(qiáng)度波形Fig.2 Intensity waveform of a sech2pulse with pulseduration of τ

由式(7)可得，雙曲正割脈沖的功率可寫為:

將式(8)對時間積分，可以得到雙曲正割脈沖的能量為:∞

所以雙曲正割脈沖的實際峰值功率和標(biāo)稱峰值功率的關(guān)系為:

由式(10)式可以看出，雙曲正割脈沖的標(biāo)稱峰值功率比實際峰值功率大13.6%左右，誤差有些大，但如果只考慮數(shù)量級的話，該誤差也可以接受。

(3)洛侖茲脈沖

圖3為脈沖寬度為τ的洛侖茲脈沖的強(qiáng)度波形(為了對比，用虛線同時畫出了相同脈沖寬度的高斯脈沖的強(qiáng)度波形)，其時域電場強(qiáng)度可寫為:

圖3 脈沖寬度為τ的洛侖茲脈沖的強(qiáng)度波形Fig.3 Intensity waveform of a Lorentzian pulse withpulse duration of τ

由式(11)可得，洛侖茲脈沖的功率可寫為:

將式(12)對時間積分，可以得到洛侖茲脈沖的能量為:

所以洛侖茲脈沖的實際峰值功率和標(biāo)稱峰值功率的關(guān)系為:

由式(14)可見，洛侖茲脈沖的標(biāo)稱峰值功率比實際峰值功率大22.1%左右。

(4)非對稱雙曲正割脈沖

圖4為脈沖寬度為τ的非對稱雙曲正割脈沖的強(qiáng)度波形(為了對比，用虛線同時畫出了相同脈沖寬度的高斯脈沖的強(qiáng)度波形)，其時域電場強(qiáng)度可寫為:

圖4 脈沖寬度為τ的非對稱雙曲正割脈沖的強(qiáng)度波形Fig.4 Intensity waveform of an asymmetric pulse with pulse duration of τ

由式(15)可得，非對稱雙曲正割脈沖的功率可寫為:

將式(16)對時間積分，可以得到非對稱雙曲正割脈沖的能量為:

所以非對稱雙曲正割脈沖的實際峰值功率和標(biāo)稱峰值功率的關(guān)系為:

由式(18)可見，非對稱雙曲正割脈沖的標(biāo)稱峰值功率比實際峰值功率大20.9%左右。

3 非常規(guī)脈沖中常用峰值功率公式的誤差

對規(guī)則的高斯脈沖、雙曲正割脈沖、洛侖茲脈沖和非對稱雙曲正割脈沖來說，由于具有解析的電場表達(dá)式，其標(biāo)稱峰值功率與實際峰值功率的關(guān)系是確定的。但對于不規(guī)則的脈沖來說，則標(biāo)稱峰值功率和實際峰值功率的關(guān)系要視具體的脈沖波形而定，兩者的數(shù)量和大小關(guān)系并不確定。這種情形往往出現(xiàn)在激光脈沖的光譜較寬且調(diào)制比較劇烈的情形，如文獻(xiàn)［13-15］。在我們的實驗中也遇到了此種情形。

圖5 實驗光譜及其對應(yīng)的傅里葉變換極限脈沖Fig.5 Experimental spectrum and its corresponding Fourier-transformation-limit pulse

圖5(a)為超短脈沖光參量振蕩器中測得的激光光譜，圖5(b)中實線為此光譜對應(yīng)的傅里葉變換極限脈沖的強(qiáng)度波形。為方便比較，還在圖5(b)中用虛線畫出了相同脈沖寬度的高斯脈沖的曲線。由圖5(b)可以看出，脈沖的包絡(luò)線不規(guī)則，這是由于光譜具有不規(guī)則的調(diào)制造成的。與脈沖寬度相同的高斯脈沖比較，兩者在時間為0左右的部分比較吻合，但不規(guī)則脈沖的兩翼有明顯的臺階，造成脈沖的對比度不高。通過計算兩條曲線下的面積，計算了脈沖能量與高斯脈沖能量的比值。不規(guī)則脈沖的能量是同等脈沖寬度高斯脈沖能量的2.5倍。因此盡管按照圖中所示高斯脈沖和不規(guī)則脈沖的脈沖寬度相等，峰值功率也相等，但如果按照式(1)計算則相差較大，實際峰值功率僅有標(biāo)稱峰值功率的40%左右，這是因為實際上脈沖的能量一部分留在兩翼，從而削弱了峰值功率。因此對于脈沖時間曲線不規(guī)則的超短脈沖，采用公式Pp=E/τ計算峰值功率會具有較大的誤差。

4 分析與討論

由計算結(jié)果可見，對于常見的4種規(guī)則脈沖，Pp=E/τ的計算結(jié)果都大于實際峰值功率。按照誤差的比例大小順序分別為:高斯脈沖(6.3%)＜雙曲正割脈沖(13.6%)＜非對稱雙曲正割脈沖(20.9%)＜洛侖茲脈沖(22.1%)。高斯脈沖的誤差最小，因此對于與高斯脈沖比較接近的脈沖來說，公式Pp=E/τ具有較高的精度。雙曲正割脈沖的也可利用此公式進(jìn)行計算，但誤差較大。

對于脈沖不規(guī)則的情況，誤差可能很大，不能簡單用Pp=E/τ來估算其峰值功率。如果脈沖的強(qiáng)度波形與規(guī)則脈沖相比差距較大，可以考慮如下方法精確計算峰值功率，其具體的步驟是:(1)首先采用功率計或能量計測得脈沖的能量E;(2)對于皮秒或飛秒量級的脈沖，用自相關(guān)儀測量脈沖的自相關(guān)曲線，對于調(diào)Q脈沖用示波器測量其脈沖包絡(luò)。求出自相關(guān)曲線或包絡(luò)下面包圍的面積S，此面積實際與脈沖能量E成正比;(3)用自相關(guān)曲線上的最大值乘以E/S即可得到脈沖的實際峰值功率。對于與標(biāo)準(zhǔn)脈沖偏離較大的不規(guī)則的脈沖來說，這樣計算的結(jié)果將比直接用Pp=E/τ計算的結(jié)果更為精確。但是這樣計算工作量較大。一個折衷的辦法是觀察脈沖的自相關(guān)曲線與哪種標(biāo)準(zhǔn)脈沖相似(在數(shù)據(jù)處理中可以通過曲線擬合實現(xiàn))，然后直接通過根據(jù)脈沖類型估算實際的峰值功率即可。而在實驗中，脈沖通常接近標(biāo)準(zhǔn)的高斯脈沖或者雙曲正割脈沖，因此其誤差最大不超過13.6%。

對于脈沖寬度小于10 fs的情形，脈沖的自相關(guān)曲線并不準(zhǔn)確。因此如果采用上述方法計算峰值功率就不夠準(zhǔn)確了。此時應(yīng)該首先測量得到脈沖的光譜，然后利用頻率分辨光學(xué)開關(guān)法(FROG)［16］或者自參考光譜相干電場重建法(SPIDER)［17］測得脈沖的相位，之后利用光譜強(qiáng)度和相位進(jìn)行傅里葉變換合成脈沖的時域波形得到其峰值功率即可。

5 結(jié)論

本文針對高斯脈沖、雙曲正割脈沖、洛侖茲脈沖、非對稱雙曲正割脈沖及非常規(guī)激光脈沖，對常用峰值功率公式的誤差進(jìn)行了計算，給出了精確計算峰值功率的方法。對常規(guī)的高斯脈沖、雙曲正割脈沖、洛侖茲脈沖、非對稱雙曲正割脈沖，常用峰值功率公式的結(jié)果比實際峰值功率都要大，其誤差分別為 6.3%，13.6%，22.1%，20.9%。對非常規(guī)的脈沖激光來說，常用的峰值功率公式的結(jié)果與實際峰值功率不能確定。在實際操作中，可以根據(jù)自相關(guān)軌跡與4種脈沖的近似程度估計激光的實際峰值功率。對于近似程度較遠(yuǎn)的無規(guī)則脈沖，需要采用我們提出的方法進(jìn)行數(shù)值計算。

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