最小二乘廣義逆求解方法研究及應用

張亞飛，韓凱歌，沈艷

哈爾濱工程大學理學院，黑龍江哈爾濱 150001

最小二乘廣義逆求解方法研究及應用

張亞飛，韓凱歌，沈艷

哈爾濱工程大學理學院，黑龍江哈爾濱 150001

廣義線性系統是自動控制理論的一個重要組成部分，在研究廣義線性系統的諸多問題中常常需要計算系統狀態矩陣的廣義逆，因而廣義逆矩陣的求解方法就顯得格外重要。文中給出了矩陣最小二乘廣義逆的2種求解方法，分別證明了2種方法的正確性，最后舉出廣義線性控制系統的實際算例。通過用這2種方法求解系統狀態矩陣的最小二乘廣義逆，驗證了所給方法的有效性和可行性，同時方法簡單易行，適合計算機編程計算。

廣義系統；Moore-Penrose方程；矩陣廣義逆；最小二乘廣義逆；行式

1920年穆爾（Moore）首先提出了廣義逆的概念，其后的30年并未受到人們的重視，直到1955年英國物理學家彭諾斯（Penrose）明確提出與Moore的廣義逆等價的定義，廣義逆的概念才引起數學界的重視，從此以后廣義逆矩陣進入了一個新的研究階段。現如今，廣義逆矩陣主要應用于數據分析、系統理論、信號處理、現代控制理論等領域［1］，這大大推動了廣義逆矩陣理論的迅速發展，使其成為矩陣論的一個重要分支。

1 廣義逆矩陣的定義

根據文獻［2-4］，矩陣廣義逆的定義如下：

定義1 設矩陣A∈?m×n，若存在矩陣G∈?n×m，滿足以下4個方程（Moore-Penrose簡稱M-P方程的全部或者一部分，則G稱為A的1個Moore-Penrose廣義逆矩陣（AH為A的共軛轉置矩陣）。

按照定義，如果G是滿足第i個條件的廣義逆矩陣，就記為A{ i}，如果G是滿足第i、j個條件的廣義逆矩陣，就記為A｛i，j｝，如果G是滿足第i、j、k個條件的廣義逆矩陣，就記為A｛i，j，k｝，如果G是滿足4個條件的廣義逆，就記為A｛1，2，3，4｝或A＋。其中只有A＋是唯一確定的，其余A｛i｝、A｛i，j｝、A｛i，j，k｝中廣義逆矩陣都是不唯一的，每一種廣義逆都包含一類矩陣，應用較多的主要以下5種：

A｛1｝，A｛1，2｝，A｛1，3｝，A｛1，4｝，A｛1，2，3，4｝。A｛1，3｝中任意一個確定的廣義逆矩陣稱作矩陣A的最小二乘廣義逆。

文獻［5］中給出了求滿秩矩陣A的減號逆矩陣A｛1｝的2種方法；文獻［6］在文獻［5］的基礎上將其推廣到求自反廣義逆矩陣A｛1，2｝，本文將根據已有結論繼續推廣至求矩陣A的最小二乘廣義逆矩陣A｛1，3｝。

式中：i1，i2，…，im是1，2，…，n中m個數碼的選排列；τ（i1，i2，…，im）是排列i1，i2，…，im的逆序數。

若D是一個m×n（m≥n）階列式，則有：

式中：j1，j2，…，jn是 1，2，…，m 中 n個數碼的選排列。τ（j1，j2，…，jn）是排列j1，j2，…，jn的逆序數。

不難證明，行式與行列式有相同的有關行的性質［7］，對于行式可以先進行行變換，化成階梯型，則行式可求；同樣，列式與行列式有相同的有關列的性質，通過列變化可求得列式的值。

為A的廣義伴隨矩陣，這里Aij（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n）是矩陣A中元素aij的代數余子行（列）式［7］。

即行式有依行展開：

2 求矩陣最小二乘廣義逆的2種方法

由線性代數的有關結論有：若矩陣A∈?n×n，A＝（aij）n×n，則一行元素與另一行相應元素的代數余子式的乘積之和為零；若A∈?m×n，A＝（aij）m×n，文獻［7］中：

式中Im為m階單位陣。

由于文中研究均為實矩陣，故AH可寫為AT。

2．1 求矩陣最小二乘廣義逆A｛1，3｝的伴隨矩陣法

2．2 求矩陣最小二乘廣義逆A｛1，3｝的初等變換法

不妨設矩陣A∈?m×n，r≤min｛m，n｝，用

表示矩陣 A 位于 i1，i2，…，ir行，j1，j2，…，jr列的元素保持位置不變的r階方陣，故

的計算與線性代數中求方陣逆矩陣方法一致，可用初等變換或公式法求得。

定理2 設矩陣A∈?m×n，（m≤n），如果矩陣

為滿秩方陣，則

是矩陣A的最小二乘廣義逆，其中O是（n－m）× m階零矩陣。

是A的最小二乘廣義逆（證畢）。

3 算例分析

矩陣最小二乘廣義逆是現代控制理論研究的基礎，它廣泛應用于自動控制理論中［8-9］。下面給出廣義線性控制系統的算例。

例 考慮廣義線性控制系統：

式中：x（t）為狀態向量，u（t）為輸入向量。設該系統的狀態矩陣為這里分別用上述2種方法求出狀態矩陣A的最小二乘廣義逆。

1）伴隨矩陣法

即為狀態矩陣A的最小二乘廣義逆。

2）初等變換法

顯然，矩陣A的秩r（A）＝2，若取

以上G1、G2、G3均為A的最小二乘廣義逆。

算例只討論到系統狀態矩陣最小二乘廣義逆，后續系統研究問題在此暫不詳述。

廣義線性系統狀態矩陣A的最小二乘廣義逆矩陣是研究廣義系統解耦問題、系統等價變換以及魯棒控制器設計等諸多問題的基礎，因此矩陣最小二乘廣義逆的求解方法對自動控制理論研究有重要意義。另外，最小二乘廣義逆還用于求解線性方程組［10-11］。

4 結束語

文中給出2種求解矩陣最小二乘廣義逆的方法，公式簡單易行，便于計算機編程處理。在處理線性方程組、廣義線性控制系統有關問題時，經常需要求得相關矩陣的最小二乘廣義逆，利用文中給出的結論易將最小二乘廣義逆顯式給出。

［1］劉成，李一兵，袁泉．基于完全信息的車速建模及Moore-Penrose廣義逆求解［J］．汽車工程，2003，25（6）：621-629．

［2］方保镕，周繼東，李醫民．矩陣論［M］．北京：清華大學出版社，2005：251-288．

［3］程云鵬．矩陣論［M］．2版．西安：西北工業大學出版社，2005：295-309．

［4］陳景良，陳向暉．特殊矩陣［M］．北京：清華大學出版社，2001：467-482．

［5］張靜．求矩陣的廣義逆［J］．內蒙古大學學報：自然科學版，2005，36（4）：379-382．

［6］徐美進．求矩陣廣義逆的另一種初等變換法［J］．大學數學，2009，25（1）：168-171．

［7］張靜．行式與列式［J］．山東師范大學學報：自然科學版，1993，8（1）：102-104．

［8］范慶民．矩陣廣義逆在動態解耦模糊控制系統中的應用研究［J］．太原理工大學學報，2007，38（2）：180-188．

［9］劉國海，董蓓蓓．基于支持向量機廣義逆的永磁同步電機模型參考自適應控制［J］．東南大學學報：自然科學版，2010，40（s1）：13-18．

［10］魏木生．廣義最小二乘問題的理論與計算［M］．北京：科學出版社，2006：155-173．

［11］尹釗，賈尚暉．Moore-Penrose廣義逆矩陣與線性方程組的解［J］．數學實踐與認識，2009，39（9）：239-244．

Research and application on the solution of
the least square generalized inverses

ZHANG Yafei，HAN Kaige，SHEN Yan
College of Science，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China

A generalized linear system is an important part of automatic control theory，and the generalized inverse of status matrix needs to be calculated usually in the research of generalized linear system，thus the solving methods of generalized inverse is especially significant．This paper discusses two methods to get the least square generalized inverse of matrix，both the processes of proof are given．A generalized linear system as an example shows that the two methods are valid and practical．The least square generalized inverse is obtained by the two methods respective-ly．It also validates that the two methods are simple and easy，suitable for programming and computing．

generalized linear system；Moore-Penrose equation；generalized inverse of matrix；least square general-ized inverse；determinants of rows

O151．21

A

1009-671X（2014）03-0060-004

10．3969／j．issn．1009－671X．201307017

http：／／www．cnki．net／kcms／doi／10．3969／j．issn．1009-671X．201307017．html

2013-07-22．

日期：2014-06-05．

國家自然科學基金資助項目（11002037）．

張亞飛（1988-），男，碩士；

沈艷（1965-），女，教授，博士．

張亞飛，E-mail：314888842＠qq．com．