基于蒙特卡羅法的失真度測量不確定度分析

葉春生，武曉東，周 健

(天津市河西區計量檢定所 天津 300191)

0 引 言

測量不確定度是指測量結果變化的不肯定，是與測量結果關聯的一個參數，用以表征被測量值的分散性。[1]基于快速傅里葉變換的失真度測量方法(以下簡稱“FFT失真度”)是通過快速傅里葉變換獲得基波和各次諧波分量，通過計算獲得波形的總諧波失真度。[2]目前對 FFT失真度測量不確定度評定的研究還不健全，缺乏完整、客觀和準確的評定方法。ISO發布的《測量不確定度評定指南》(GUM)提出，測量結果必須表明結果的測量不確定度，其不確定度可以作為下一個測量結果的不確定度分量，它們是可以傳播的。[3]但是現在常用的測量不確定度判定有 A類評定，即重復性統計分析方法和 B類評定，即非統計分析方法。這兩種分析方法在 FFT失真度的不確定度的評定中都受到各種相關量的非線性、分布規律、誤差源、環境溫度等的影響和限制，因此難以對FFT失真度進行完整評定。本文提出了基于蒙特卡羅方法的FFT失真度不確定度評定方法。

1 蒙特卡羅法FFT失真度不確定度評定原理

蒙特卡羅方法(Monte Carlo Method)也稱統計模擬方法，是一種以概率統計理論為指導的數值計算方法，以偽隨機抽樣獲得服從特定概率分布的隨機數，并以此模擬測量過程中的各種隨機誤差。蒙特卡羅方法在不確定度的評定中通過對輸入量按照特定的概率分布采樣，由測量模型傳播輸入量的分布，計算輸出量的分布函數，進而獲取輸出量(被測量)的最佳估計值和不確定度。[4]其平均值為：

失真度是評價信號偏離純正信號的程度，其定義為信號中全部諧波電壓的有效值與基波電壓的有效值之比。[5]如下面公式所示：

式中：U1——基波信號的有效值電壓；U2～Un——各次諧波信號的有效值電壓。

本文的 FFT失真度是通過快速傅里葉變換(FFT)獲得基波和各次諧波分量的電壓有效值，代入公式(3)獲得總諧波失真度。根據傅里葉變換原理，把周期信號展開為傅里葉級數為：[6]

由于(6)式的偏導數計算復雜，不易得到(5)式精確的不確定度傳遞公式，而蒙特卡羅法適用于偏導數計算困難的模型，因此對于 FFT失真度不確定度的評定蒙特卡羅法尤為適合。

本文構造了基于虛擬儀器技術的 FFT失真度測量系統，正弦波信號由 NI USB-6210數據采集卡采集到計算機，使用Labview對采集的信號進行快速傅里葉變換(FFT)，產生被測信號的幅值-頻率譜，對產生的幅值-頻率譜進行分析和計算，求出各次諧波分量及其有效值，就可得到被測信號的失真度。被測信號的不確定度的評定是通過蒙特卡羅法進行評定，其評定傳播模型如圖 1所示，不同概率分布的輸入量，經過數據采集和數據分析模型傳播，得到輸出量概率分布的過程。

圖1 失真度評定傳播模型Fig.1 Model of FFT distortion evaluation and propagation

綜上所述，應用蒙特卡羅法進行FFT失真度不確定度的評定就是對數據采集模塊和數據處理模塊誤差源及其統計特性進行分析和評估，再累加到采樣信號，依靠隨機抽樣進行M次模擬仿真建立概率模型，依據概率模型得到參數的估計值和標準不確定度。[7]

2 蒙特卡羅法FFT失真度測量不確定度評定

2.1 數據采集模塊測量不確定度來源

FFT失真度數據采集模塊主要是通過 NI USB-6210數據采集卡進行數據采集，其測量不確定度來源就是數據采集卡的誤差源。

NI USB-6210數據采集卡的誤差源主要有增益誤差及其溫度系數、偏移誤差及其溫度系數、積分非線性、微分非線性、噪聲、多通道道間干擾、靈敏度、量化誤差、時間轉換間隔、A/D轉換精度等，其中噪聲誤差可以認為服從正態分布，其余誤差源可以認為服從均勻分布，誤差源數據可以從數據采集卡技術指標得到，如表 1所示，其中選擇的測量范圍為-5～5,V，基準溫度為 5,℃，環境溫度為 25,℃，測量幅值為2,V。

表1 數據采集卡技術指標及其誤差概率分布Tab.1 DAQ technical indexes and its error probability distribution

2.2 數據處理模塊(FFT)測量不確定度來源

數據處理模塊是利用快速傅里葉變換(FFT)把時域信號轉換為頻域信號，通過分析基波和各次諧波的能量而得到正弦波失真度，在進行 FFT運算時會產生混疊、柵欄效應和頻譜泄露，因而引入運算誤差。該誤差源數據可以認為服從反正弦分布，其相對誤差數據為0.003,8%；[8]FFT量化誤差也是FFT測量不確定度的來源，該誤差源數據可以認為服從均勻分布，其相對誤差可以控制在0.001,5%，如表2所示。

表2 數據采集模塊(FFT)誤差及其概率分布Tab.2 FFT errors and their probability distribution

2.3 蒙特卡羅法FFT失真度測量不確定度評定

FFT失真度測量誤差由數據采集模塊和數據處理模塊的誤差數據累加而成，依據誤差源數據和其所服從的各種概率分布隨機抽樣，經M 次蒙特卡羅仿真，得到偽測量誤差，，依據 FFT失真度測量公式(5)，建立蒙特卡羅FFT失真度的數學模型：

2.4 實驗驗證

在實驗室條件下，環境溫度為 25,℃，采用本文基于虛擬儀器技術構造的失真度測量系統對 EGC-1C型智能心腦電圖機檢定儀輸出的標準正弦信號進行實驗。本文使用GUM法和蒙特卡羅發對測量結果不確定度進行評定，以驗證蒙特卡羅法不確定度的評定結果。

2.5 實驗結果

對幅值為 2,V、頻率為 100,Hz的正弦波失真度進行 10次測量，測量結果如表 3所示，其測量結果平均值為3.22%。

表3 幅值2,V、頻率為100,Hz的正弦波失真度測量結果Tab.3 Measuring result of sine wave distortion (amplitude as 2,V and frequency as 100,Hz)

2.6 GUM法測量結果不確定度實驗分析

2.7 蒙特卡羅法測量結果不確定度實驗分析

蒙特卡羅法不確定度實驗利用MATLAB對誤差源數據進行分析，數據采集模塊誤差數據和概率分布見表1，數據處理模塊的誤差數據和概率分布見表2，樣本容量為100,000次，其相對誤差均值 δ = 0 .0414，對公式(6)的數學模型進行蒙特卡羅仿真(諧波分量n＝5)，得到失真度 D 的均值= 3 .21%，標準差σ= 0 .0008。概率分布直方圖如圖 2所示，其 95%概率區間內的失真度D值為：(3.06%，3.36%)。

圖2 蒙特卡羅失真度概率直方圖Fig.2 Histogram of distortion probability based on Monte Carlo Method

2.8 結果分析

使用 GUM 法評定的標準不確定度與使用蒙特卡羅法評定的不確定度結果基本一致，說明兩種方法具有很好的一致性，可以驗證蒙特卡羅法的準確性，因此蒙特卡羅法可以很好地對 FFT失真度的不確定度進行評定。

由于已經知道 GUM法評定FFT失真度具有一定的局限性，因此證明蒙特卡羅法是 FFT失真度不確定度評定方法的首選。

3 結 論

本文通過蒙特卡羅法對 FFT失真度不確定度評定進行了分析，通過實驗驗證了蒙特卡羅法與 GUM法的一致性，驗證了蒙特卡羅法對 FFT失真度不確定度評定的準確性。

［1］ 費業泰. 誤差理論與數據處理[M]. 第五版. 北京：機械工業出版社，2007.

［2］ 梁志國，耿書雅. 基于傅里葉變換的正弦信號源波形失真評價方法[J]. 計量學報，2004，25(4)：357-361.

［3］ ISO/IEC Guide98-3：2008Uncertainty of measurementpart 3：Guide to expression of uncertainty in measurement(GUM：1995)[S].

［4］ 用蒙特卡羅法評定測量不確定度[S]. JJF1059.2011.

［5］ 袁曉峰，許化龍，陳淑紅. 正弦信號失真度測量方法述評[J]. 航空計測技術，2004，24(1)：1-3.

［6］ 周浩敏，王睿. 測試信號處理技術[M]. 北京：北京航空航天大學出版社，2004.

［7］ 劉文文，葛樂矣. 基于蒙特卡羅方法的虛擬儀器測量不確定度評估[J]. 電子測量與儀器學報，2007，21(3)：56-60.

［8］ 宋瓊，朱長春，朱寶良. 基 2快速傅里葉變換引入的不確定度估算[J]. 計量學報，2004，25(3)：281-283.