一類任意項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別與分析

李麗容

摘 要 利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別以及交錯級數(shù)斂散性的判別法：萊布尼茲判別法給出了一道任意項(xiàng)級數(shù)條件收斂還是絕對收斂的判別方法，并由此推廣到更一般的形式。

關(guān)鍵詞 任意項(xiàng)級數(shù) 交錯級數(shù) 萊布尼茨判別 誘導(dǎo)公式 收斂

中圖分類號：O173 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Discrimination and Analysis of a Class of

Progression of Convergence and Divergence

LI Lirong

（Department of Information， Zhongnan University of Economics and Law Wuhan College， Wuhan， Hubei 430070）

Abstract Trigonometric formulas use induction， the positive series convergence and divergence of discrimination and alternating series convergence and divergence of discrimination law： Leibniz Criterion any item gives a series of conditional convergence or absolute convergence of discrimination method， and thus extended to a more general form.

Key words progression； alternating series； Leibniz discrimination； induction formula； convergence

引入問題：討論下列級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂？

下面，我們將介紹這道題的解法并推廣到更為一般的形式。

很顯然，這是任意項(xiàng)級數(shù)，對任意項(xiàng)級數(shù)，我們有如下定義：

定義：若任意項(xiàng)級數(shù)通項(xiàng)的絕對值構(gòu)成的級數(shù)∣∣收斂，則稱級數(shù)為絕對收斂；若級數(shù)收斂而∣∣發(fā)散，則稱為條件收斂。

對于數(shù)項(xiàng)級數(shù)，我們討論了正項(xiàng)級數(shù)的收斂性問題，關(guān)于任意項(xiàng)級數(shù)的收斂性判別問題要比正項(xiàng)級數(shù)復(fù)雜，于是我們主要討論某些特殊類型級數(shù)：交錯級數(shù)的收斂性問題。

定義： 若級數(shù)的各項(xiàng)符合正負(fù)相間，即：

+…++… =

（>0，=1，2，3，4……）

則稱級數(shù)為交錯級數(shù)。

不作任何變形，該題就是一任意項(xiàng)級數(shù)，而且各項(xiàng)沒有任何規(guī)律，但我們?nèi)绻褂孟旅娴娜呛瘮?shù)誘導(dǎo)公式：

= ， =

該題就可作如下變形：

= （1）

= （2）

于是，我們就可以很明顯地發(fā)現(xiàn)這是交錯級數(shù)了，對于交錯級數(shù)我們有：

定理 1：（交錯級數(shù)收斂的必要條件）若交錯級數(shù)（>0）

收斂，則有 = 0。

定理2：（萊布尼茨判別法）若交錯級數(shù)滿足下述兩個條件：

（1） = 0；

（2）數(shù)列{}單調(diào)遞減；

則該交錯級數(shù)收斂。

本題完整解法：

因?yàn)?= （） =

是交錯級數(shù)，且滿足 =

∵是關(guān)于遞減的，且0<<，而正弦函數(shù)[0，]在內(nèi)是逐漸遞增的，所以 = 是關(guān)于單調(diào)遞減的，即>

又 = = 0

所以，由萊布尼茨判別法知該級數(shù)是收斂的。

另外，對于加了絕對值后的級數(shù)

有∽∽·，因?yàn)槭前l(fā)散的，故正項(xiàng)級數(shù)是發(fā)散的。

由此，可以判斷原級數(shù)是條件收斂。

下面關(guān)于該解法有幾點(diǎn)說明：

可能有人會問，該題不是有兩種變形嗎？還可作如下變形：（ + ） =

如果作這樣變形我們可以解嗎？又怎樣解呢？解釋如下：

①如果不是無窮小，級數(shù)本身就不收斂。利用（1）能判別的一個原因是：當(dāng)→（即足夠大時），∽∽·，而（2）不好直接判別的一個原因是：雖然 是無窮小（直接看不出來，要對三角函數(shù)變形為（1）類型才知道），但沒有上面類似的結(jié)果，因?yàn)?→，故 與 是沒有聯(lián)系的，更談不上等價(jià)了。

②判別正項(xiàng)級數(shù)的斂散性的一般方法是：求出的一種等價(jià)無窮小，由與同斂散。這就要求的形式簡單而且易于判別，比如級數(shù)或等比級數(shù)。

并不是說（2）不能判別，是（2）不好直接判別，還是要將（2）變形為（1）后再判別。

比如，舉個簡單例子：判別（），因?yàn)椴皇菬o窮小，自然就不能用等價(jià)無窮小方法判別了，必須先變?yōu)椋ǎ?= 再判別了。

總結(jié)及推廣：由于上面的解法用了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及共軛根式的有理化變形，因此我們可以將此題推廣到更為一般的形式：

判斷級數(shù)（）的斂散性，若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？

參考文獻(xiàn)

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