一維地下水溶質運移模型多參數反演

程 林，韓龍喜，劉曉華，王 琰，陳奇良

(1.河海大學環境學院，江蘇南京 210098;2.南通天虹環境科學研究所有限公司，江蘇南通 226600)

一維地下水溶質運移模型多參數反演

程 林1，韓龍喜1，劉曉華2，王 琰1，陳奇良1

(1.河海大學環境學院，江蘇南京 210098;2.南通天虹環境科學研究所有限公司，江蘇南通 226600)

以一維地下水溶質運移模型為基礎，利用微分進化算法重點探討監測頻次、測量誤差等因素對縱向彌散系數DL、有效孔隙度n以及水流速度u等參數聯合反演結果的影響，并構造瞬時源和連續源兩種工況的典型案例來驗證該方法的可靠性。結果表明:微分進化算法具有收斂速度快、精度高等特點，能夠運用于瞬時源和連續源地下水溶質運移模型水力、水質參數的反演問題。

地下水;溶質運移;微分進化算法;多參數反演;瞬時源;連續源

地下水水力、水質參數識別是環境水力學反問題中一類重要的問題。確定地下水水質模型的相關參數，對進一步的水質預報預警起到了至關重要的作用，具有重要的研究價值和應用背景。反問題基本原理是根據地下水水質模型的控制方程、初始條件、邊界條件以及環境水力學的測量數據(濃度數據)來識別方程中的部分或全部參數。Wagner［1］首次采用非線性最大似然估計法同時反演模型參數與污染源特征;王錦國等［2］采用實數編碼遺傳算法優化反演地下水污染物運移參數;韓一龍等［3］利用模擬退火遺傳算法，結合二維非均質各向異性承壓含水層模型，對導水系數、貯水系數進行反演計算;魏連偉等［4］基于遺傳算法這一全局優化技術，以及地下水的有限元模型，應用到北京市應急水源地水文地質參數的反演中;江思珉等［5］根據已有的監測數據(水位和濃度等)，利用和聲搜索算法對地下水污染源和未知含水層參數進行同步反演。

總體而言，關于地下水相關參數反問題主要集中于水位、貯水系數、滲透系數等水力參數的反演或者源強與上述參數的聯合反演，對于水力、水質參數的聯合反演研究較少;且地下水反問題中對參數反演的方法自身研究較多，而關于地下水多參數聯合反演的文獻未見反演精度的影響因素研究。針對以上問題，本文利用微分進化算法，結合一維地下水溶質運移模型，構造瞬時源和連續源兩種工況下的典型案例，探討監測頻次、測量精度等因素對縱向彌散系數DL、有效孔隙度n以及水流速度u等多參數聯合反演結果的影響。

1 地下水溶質運移微分進化反演

1.1 微分進化算法概述

微分進化算法是Rainer Storn和Kenneth Price提出的一種更簡單和更有效的基于種群進化的多點搜索算法，同樣應用了“優勝劣汰，適者生存”的自然進化法則，故應當歸屬于演化算法。筆者將一維地下水溶質運移模型的參數識別反問題轉化為非線性優化問題，即將參數的反演問題轉化為求解式(1)待求優化變量S來獲取最優參數的過程。

式中:ρ(x，ti)為x處不同時刻溶質質量濃度計算值;ρobs(x，ti)為x處不同時刻溶質質量濃度觀測值。

1.2 約束條件

約束條件包括縱向彌散系數DL、有效孔隙度n與水流速度u的上下界約束以及式(2)的約束。

式中:DL為縱向彌散系數，cm2/min;αL為彌散度，cm;u為水流速度，cm/min。

彌散度是1個與實驗尺度有關的參數，根據大量的彌散度土柱實驗結果［6］，土柱實驗測得的彌散度αL取值為［0.01，1］;有效孔隙度n取值范圍為(0，1.0);鑒于地下水流速土柱實驗的數據缺少一些綜述性的資料，筆者采用前人的一些實驗成果［7］，并在此基礎上以足夠大的數據作為水流速度u的一個上界約束，因此，水流速度u的取值范圍可為(0，10.0］。根據式(1)的約束關系，縱向彌散系數DL取值范圍為(0，10.0］。

1.3 反演步驟

a.產生初始種群。采用隨機方法產生初始種群:

式中:(0)為初始種群，Si(0)為種群中的第i個個體，i=1，2，…，N。

每個個體中有n個待求變量，那么Si(0)可表示為

其中，各個變量的初始值用隨機方法產生:

式中:x(i)j(0)為種群ˉX(0)中第i個個體Si(0)第j個待求變量的初始值;x(i)j，min(0)，x(i)j，max(0)分別為種群ˉX(0)中第i個個體Si(0)第j個待求變量的最小可能值和最大可能值。

b.計算適應值。計算種群中各個個體Si(t)的適應值f(Si(t))，在本問題中，適應值為監測點不同采樣時間上的溶質濃度計算值和給定監測值差值的平方和，然后取其平均值:

式中:W為監測數據總個數。

c.繁殖。微分進化算法采用特殊尋優原則進行繁殖，對種群中的每個個體Si(t)，通過隨機數方法分別生成3個兩兩不相等的隨機整數，r1，r2，r3∈{1，2，…，N}和隨機整數jrand∈{1，2，…n}，通過式(8)計算得到1個中間個體:

d.選擇進化。當且僅當式(7)中產生的中間個體適應值更好時，該個體才作為進化的個體進入下一代種群中，否則，仍然保留原來的個體，作為下一代生成中間個體的父個體。即，

e.終止檢驗。當種群代數到達設定的最大代數時，算法結束，將適應值最小的個體作為最優解輸出。

2 瞬時源條件下一維地下水溶質運移模型的多參數識別

2.1 瞬時源一維地下水溶質運移模型正問題

不妨假定某含水層中(-∞ ＜x＜+∞)存在一維均勻流場，流動方向為x軸的正向，當對該含水層瞬時投放示蹤劑進行試驗時，污染源可以概化為瞬時源。當瞬時排放質量為M的污染物質時，排泄區下游污染物濃度變化規律的一維溶質運移模型控制方程為

式中:K為降解系數，1/d;w為橫截面面積，m2;M為污染物質量，kg。

當溶質為不可降解物質時，即K=0時，該方程通過變化得到如下解析解為

2.2 數值試驗

算例1:在某多孔介質柱體中投放10 g示蹤劑，柱體橫截面面積w為1m2，首先設定準確的水力、水質參數，其中有效孔隙度n為0.3，平均流速u為5.0 m/d，縱向彌散系數DL為0.5 m2/d。為確定參數，利用解析解模型計算得到的一組數據作為一組污染物濃度的監測資料，其數學描述為

以監測點位(x=1.0 m)前提下，分別假定污染物投放0.10 d后，每隔0.05 d監測一次，計算結果見表1。采用本文所提出的微分進化算法自動識別參數DL、n和u，并分析監測頻次、測量精度對反演結果的影響。

表1 瞬時源示蹤劑試驗觀測數據

2.2.1 監測頻次對參數反演結果的影響

為分析監測頻次對參數反演精度的獨立影響，通過情景分析方法，以監測頻次為1次、2次、3次、4次4種工況下進行計算，結果見表2。

表2 不同監測頻次瞬時源參數反演結果

2.2.2 測量誤差對參數反演結果的影響

不同的監測儀器使得監測的數據精度不同，為研究不同測量誤差情況下的微分進化算法的反演精度情況，本次試驗觀測數據誤差采用不同的小數位數來模擬不同儀器下的測量精度，為獨立反應情況，4種工況都以監測頻次3次為基礎，計算結果見表3。

由表2和表3的數值試驗可以看出，監測頻次和測量誤差對瞬時源工況下一維地下水溶質運移模型的縱向彌散系數DL、有效孔隙度n以及水流速度u等多參數的聯合反演結果有一定的影響，當監測數據較少，或者測量誤差較大時，反演結果出現不穩定的情況，誤差較大;但當監測頻次大于2，且測量誤差多于1位時，反演結果具有較好的穩定性，且能夠給出較高精度的反演結果。

表3 不同測量誤差瞬時源參數反演結果

3 連續源條件下一維地下水溶質運移模型的多參數識別

3.1 連續源一維地下水溶質運移模型正問題

假定半無限含水層中(0≤x＜+∞)存在一維流場，流動方向為x軸正向，在起始端(x=0 m)連續釋放示蹤劑，若不考慮混合過程段，則在該斷面處質量濃度為ρ0，污染物的遷移擴散規律可以概化為如下公式:

當污染物為不可降解物質時，即K=0時，通過拉普拉斯變換可得這一問題的解析解為

3.2 數值試驗

算例2:本算例2的數據引自文獻［8］，原為采用erfc(x)近似公式求解地下水彌散系數的算例。在某多孔介質柱體中連續投放濃度為ρ0=3 333.33 g/m3的示蹤劑，u=5.0 m/d，DL=0.5 m2/d，在x=1.0m處的不同時刻溶質質量濃度與初始質量濃度的比值見表4。同時采用微分進化算法反演參數DL、u，并分析監測頻次、測量精度對反演結果的影響。

表4 不同時刻溶質濃度與初始濃度的比值

3.2.1 監測頻次對參數反演結果的影響

為分析監測頻次對連續源工況下地下水相關參數反演精度的獨立影響，通過情景分析方法，以監測頻次分別為1次、2次、3次、4次這4種工況下進行計算，結果見表5。

表5 不同監測頻次連續源參數反演結果

3.2.2 測量誤差對參數反演結果的影響

不同的監測儀器使得監測的數據精度不同，為研究不同測量誤差情況下的微分進化算法的反演精度情況，本次試驗觀測數據誤差采用不同的小數位數來模擬不同儀器下的測量精度，為獨立反應情況，4種工況下都以監測頻次3次為基礎，計算結果見表6。

表6 不同測量誤差連續源參數反演結果

由表5和表6的數值試驗可以看出，監測頻次和測量誤差對連續源一維地下水溶質運移模型的縱向彌散系數DL和水流速度u等參數聯合反演結果有一定的影響，當監測數據較少時，反演結果出現不穩定的情況，誤差較大;而測量誤差對結果反演影響較小，但當監測頻次大于1時，反演結果具有較好的穩定性，且能夠給出較高精度的反演結果。

4結語

a.從數值試驗結果可知，微分進化算法對瞬時源和連續源兩種工況下一維地下水溶質運移模型的水力、水質參數的聯合反演能夠給出較高的精度。但監測頻次和測量誤差對參數的反演精度有一定的影響，因此，利用該算法進行反演時，監測數據需要達到一定的要求。

b.在利用微分進化算法的過程中發現，該算法具有收斂速度較快的優點。

［1］ WAGNER B J.Simultaneously parameter estimation and contaminant source characterization for coupled groundwater flow and contaminant transport modeling［J］.Journal of Hydrology，1992，135:275-303.

［2］王錦國，周志芳，黃勇，等.基于實碼遺傳算法的地下水污染物運移參數反演［J］.水文，2002，22(5):9-11.(WANG Jinguo，ZHOU Zhifang，HUANG Yong，et al.Inverse analysis for parameters of contamination transport in groundwater based on real-coded genetic algorithm［J］.Journal of China Hydrology，2002，22(5):9-11.(in Chinese))

［3］韓一龍，單永明.運用模擬退火遺傳算法估計地下水反演參數［J］.計算機工程與應用，2012，48(12):224-228.(HAN Yilong，SHAN Yongming. Using improved simulated annealing genetic algorithm to estimate parameters in groundwater inverse problem［J］.Computer Engineering and Applications，2012，48(12):224-228.(in Chinese))

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［5］江思珉，蔡奕，王敏，等.基于和聲搜索算法的地下水污染源與未知含水層參數的同步反演研究［J］.水利學報，2012，43(12):1470-1477.(JIANG Simin，CAI Yi，WANG Min，et al. Simultaneous identification of groundwater contaminant source and aquifer parameters by harmony search algorithm［J］. Journal of Hydraulic Engineering，2012，43(12):1470-1477.(in Chinese))

［6］馬建良，陳喜，程勤波，等.一維變密度溶質運移實驗及參數推求［J］.水資源保護，2008，24(3):8-11.(MA Jianliang，CHEN Xi，CHENG Qinbo，et al.Identification of hydrodynamic parameters based on one dimensional variable density and solute transport numerical model［J］.Water Resources Protection，2008，24(3):8-11.(in Chinese))

［7］肖先煊，許模，蔡國軍，等.基于潛水滲流模型的地下水實際流速［J］.實驗室研究與探索，2013，32(4):11-14.(XIAO Xianxuan，XU Mo，CAI Guojun，et al.On actual flow velocity of groundwater based on diving percolation model tests［J］.Research and Exploration in Laboratory，2013，32(4):11-14.(in Chinese))

［8］王軍輝，周志芳.erfc(x)近似公式及其在求解地下水運移參數中的應用［J］.河海大學學報:自然科學版，2001，29(3):111-114.(WANG Junhui，ZHOU Zhifang.Approximation of erfc(x)and its application in determining the groundwater transport parameters［J］.Journal of Hohai University:Natural Sciences，2001，29(3):111-114.(in Chinese))

Multi-parameter inversion of one-dimensional groundwater solute transport model

CHENG Lin1，HAN Longxi1，LIU Xiaohua2，WANG Yan1，CHEN Qiliang1
(1.College of Environment，Hohai University，Nanjing 210098，China;2.Nantong Tianhong Environmental Science Research Institute Co.，Ltd.，Nantong 226600，China)

Based on a one-dimensional groundwater solute transport model，the influences of monitoring frequency and measurement precision on joint inversion results of the longitudinal dispersion coefficientDL，the effective porosityn，and the flow velocityuwere studied using the differential evolution algorithm.Two typical cases，the instantaneous source and continuous source conditions，were constructed to verify the reliability of the differential evolution algorithm.Numerical experimental results show that the differential evolution algorithm has the characteristics of fast convergence and high precision，and it can be applied to the inversion of hydraulic and water quality parameters of solute transport models under the conditions of an instantaneous source and a continuous source.

groundwater;solute transport;differentialevolution algorithm;multi-parameterinversion;instantaneous source;continuous source

P641.2

A

1004-6933(2014)03-0005-04

10.3969/j.issn.1004-6933.2014.03.002

程林(1987—)，男，碩士研究生，研究方向為環境水力學。E-mail:chenglin0891@163.com

韓龍喜，教授。E-mail:hanlongxi@sina.com

(收稿日期:2013-07-31 編輯:高渭文)