基于CS測量矩陣優化的圖像融合

孫永明，吳 謹，劉 勁

（武漢科技大學 信息科學與工程學院，湖北 武漢 430081）

1 引 言

圖像融合是將多個傳感器獲得的某一場景的多幅圖像進行綜合，以獲得信息更豐富、更符合人眼視覺特性或更適于計算機處理的新圖像。其應用已遍及機場導航、安全監控、醫學成像與診斷、機器視覺、智能交通、工業過程及軍事等領域。當前大多數圖像融合研究工作主要集中在像素級，像素級圖像融合存在中間環節數據量大、存儲空間大、實時性差等缺點。基于壓縮感知（Compressed Sensing，CS）的圖像融合技術由于其只對少量的采樣數據進行分析處理，解決了中間環節數據量大的問題。

目前國內外對基于壓縮感知的圖像融合中的采樣模式、測量矩陣設計、重構算法以及融合規則問題進行了探索研究。文獻［1］比較了3種壓縮采樣模式對壓縮感知重建性能的影響，并進行了圖像融合仿真實驗，在采樣率為50%時仍有較好的融合結果。文獻［2］提出了一種基于雙放射狀采樣模式的壓縮感知圖像融合算法，在相同采樣率下比單放射狀采樣模式的融合效果要好。文獻［3］提出了一種基于特征值分解減小Gram矩陣的整體互相關系數的測量矩陣優化方法，在優化速度和重建效果方面都有一定的優勢。由于高斯隨機測量矩陣硬件實現起來比較困難。因此，設計一種易于硬件實現的測量矩陣是基于CS圖像融合的重要問題。

測量矩陣主要有高斯隨機矩陣、循環矩陣和哈達瑪矩陣。其中高斯隨機矩陣最為常用，但由于其不確定性使得硬件實現比較困難；循環矩陣利于存儲和硬件實現，但是效果較差，需要對其進行優化；哈達瑪矩陣效果最好且易于硬件實現，但N 必需滿足N＝2k，k＝1，2，3…，限制了其應用范圍。針對以上問題，本文設計了一種由－1，0和1構成的測量矩陣，并對其進行優化，其優點是易于硬件實現，重構效果較好且不受圖像大小限制。

2 壓縮感知基本原理

壓縮感知理論是Candes、Donoho和Tao等人于2004年提出的一種新的信息獲取理論，與傳統的壓縮如文獻［4］中所述的壓縮有所不同，其核心思想是在信號采樣的同時實現信息的壓縮，它突破了奈奎斯特2倍最低采樣頻率的限制。該理論指出，若信號在某個變換域是稀疏的或可壓縮的，就可以利用與變換矩陣非相關的測量矩陣將變換系數投影為低維觀測向量。這種投影保持了重建信號所需的信息，通過進一步求解稀疏最優化問題就能夠從低維觀測向量精確地或高概率地重建原始高維信號。因此，將壓縮感知理論用于圖像融合，在壓縮域對少量的線性測量值進行融合，然后對融合的測量值進行重構，這在很大程度上減少了數據量和對存儲空間的需求。

假設圖像信號X∈RN×N，它的稀疏基為Ψ∈CN×N，ΨΨH＝ΨHΨ＝I，其中I為單位矩陣。利用稀疏基Ψ對X進行稀疏變換，可以得到X在Ψ域的等價表示Θ＝ΨX。

對X稀疏變換后，需要設計一個合理的測量矩陣Φ∈ZM×N，M＜N，實現對信號X的觀測取樣，獲得觀測值Y，其大小為M×N。即：

測量矩陣設計的目的是如何采樣得到M個觀測值，并保證從少量觀測值中有效重構出長度為N的高維度信號X，或其等價表示Ψ域下的稀疏向量值。由于觀測集合Y的數量小于原始信號X的維數，因此重構信號X變成了一個求解欠定性方程組的問題，不易求解。但當Φ×Ψ滿足有限等距特性（Restricted Isometry Property，RIP）［5－6］時，欠定性方程組的求解問題可轉化為l0范數的最優化求解問題：

RIP給出了上式高概率重構的條件。因此，Φ×Ψ必須滿足RIP條件。而Φ×Ψ是否滿足RIP條件由Φ和Ψ間的相關性決定，如果不相關，則Φ×Ψ 具有RIP性質的概率很高［7］。CS理論的框架如圖1所示。

圖1 CS理論框架Fig.1 CS theoretical framework

3 測量矩陣設計與優化方法

設D＝ΦΨ，其中Φ為測量矩陣，Ψ為稀疏變換矩陣。設D～表示對D進行列單位化之后的矩陣，則稱G＝D～TD～為 Gram 矩陣［8］。為了達到較好的重構效果，測量矩陣Φ和稀疏變換矩陣Ψ的相關性必須要小，即使得D＝ΦΨ有很小的列相關系數，即Gram矩陣的非對角線元素盡可能為零。互相關系數μ可以定義為Gram矩陣所有非對角線元素的絕對值之和，即

其中：g（i，j）是 Gram 矩陣的元素。

本文對測量矩陣的優化采用模擬退火法，該方法減小互相關系數的核心思想是：按一定的規則改變測量矩陣的每一個元素值，求得改變后相應的互相關系數；如果互相關系數變小，則以一定的概率p（本文中p＝0.5）改變該元素值；否則，保持不變。

Φ生成算法具體步驟如下：

步驟1：生成一個只含有－1、0和1的向量a，長度為N；

步驟2：對向量a以步長1循環移位N次得到向量序列a1，a2…aN得到初始測量矩陣Φ＝［a1，a2…aN］T，大小為 N×N；

步驟3：根據式（3）計算 Gram 矩陣G＝D～TD～的相關系數μ0；

步驟4：依次將0變為1求得相應Gram矩陣的相關系數μ1，將0變為－1求得相應Gram矩陣新的相關系數μ－1；令μnew＝min（μ1，μ－1），如果μnew大于μ0，保持0值不變；否則，如果μ1小于μ－1，將0變為1，如果μ1大于μ－1，將0變為－1。

4 基于壓縮感知的圖像融合

基于壓縮感知圖像融合的核心思想是在壓縮域對少量的測量值進行融合，然后對融合得到的測量值進行重構，以達到減小中間計算量的目的。

本文基于壓縮感知的圖像融合方案：

（1）對兩幅源圖像f1和f2分別進行小波變換，得到小波系數F1和F2；

（2）分別對其小波系數F1和F2進行測量取值，得到測量值Z1和Z2；

（3）按照系數絕對值取大法進行融合，得到融合后的測量值Z；

（4）采用正交匹配追蹤 （Orthogonal Matching Pursuit）算 法［9］重構出融合后的小波系數F；

（5）進行小波逆變換，得到融合后的圖像f。其框圖如圖2所示。

圖2 基于CS圖像融合框圖Fig.2 Image fusion framework based on CS theory

5 實驗仿真

5.1 測量矩陣設計及優化實驗

選取標準Lena圖像（256×256），由3中所提出的方法構造出大小為190×256的測量矩陣，測量矩陣優化前后的重構圖像峰值信噪比（PSNR）如圖3所示。

圖3 優化前后PSNR值Fig.3 PSNR values before and after optimization

優化前后重構圖像PSNR的均值μ和方差σ如表1所示。重構圖像的平均PSNR較優化前提高了8.232 5dB。方差近似為零表明優化后的該測量矩陣能保證圖像具有較穩定的重構結果。

表1 優化前后PSNR的均值和方差Tab.1 Mean value and variance of PSNR before and after optimization

5.2 圖像融合實驗

實驗選取大小為512×512的Clock和Pepsi左右聚焦圖像，采樣率為50%的情況下，分別用高斯測量矩陣和本文測量矩陣進行CS圖像融合，得到融合圖像的峰值信噪比（PSNR）、空間頻率（SF）、平均梯度（G）［10］如表2和表3所示，融合效果如圖4和圖5所示。從實驗結果數據和融合效果圖都可以可以看出，本文測量矩陣基本能夠達到高斯測量矩陣的性能，取得了較好的融合效果。

圖4 Clock圖像融合結果Fig.4 Fusion results of Clock image

表2 Clock圖像融合評價指標Tab.2 Evaluation index of Clock image fusion

表3 Pepsi圖像融合評價指標Tab.3 Evaluation index of Pepsi image fusion

圖5 Pepsi圖像融合結果Fig.5 Fusion results of Pepsi image

6 結 論

針對隨機測量矩陣的不確定性和硬件實現難度大的問題，本文設計的測量矩陣僅含有－1、0和1三個值，其優點是易于硬件實現。實驗結果表明，經過優化后的該測量矩陣取得了不錯的重構效果。將該測量矩陣用于基于壓縮感知的圖像融合，在采樣率僅為50%的情況下仍能取得較好的融合效果。

［1］ Wan T，Canagarajah N，Achim A.Compressive image fusion ［C］／／Processing of the International Conference on Image Processing，California，USA：IEEE Press，2008：1308－1311.

［2］ 黃曉生，戴秋芳，曹義親一種基于小波稀疏基的壓縮感知圖像融合算法［J］.計算機應用研究，2012，29（9）：2581－2583.Huang X S，Dai Q F，Cao Y Q.Compressive sensing image fusion algorithm based on wavelet sparse basis ［J］.Application Research of Computers，2012，29（9）：2581－2583.（in Chinese）

［3］ 趙瑞珍，秦周，胡紹海.一種基于特征值分解的測量矩陣優化方法［J］.信號處理，2012，28（5）：653－657.Zhao R Z，Qin Z，Hu S H.An optimization method for measurement matrix based on eigenvalue decomposition［J］.Signal Processing，2012，28（5）：653－657.（in Chinese）

［4］ 殷亞男，王曉東，李丙玉.基于預測和JPEG2000的MODIS紅外輻射多光譜圖像無損壓縮算法［J］.液晶與顯示，2013，28（6）：922－926.Yin Y N，Wang X D，Li B Y.Lossless compression method based on prediction and JPEG2000for MODIS emissive IR bands multispectral image［J］.Chinese Journal of Liquid Crystals and Displays，2013，28（6）：922－926.（in Chinese）

［5］ Donoho D.Compressed sensing［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）：1289－1306.

［6］ Candes E，Tao T.Robust uncertainty principles：exact signal reconstruction from highly incomplete information［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（2）：489－509.

［7］ 鄭萬澤，何勁，魏星，等.基于Contourlet變換的圖像壓縮感知重構［J］.計算機工程，2012，38（12）：194－196.Zheng W Z，He J，Wei X，et al.Image compressive sensing reconstruction based on contourlet transform ［J］.Computer Engineering，2012，38（12）：194－196.（in Chinese）

［8］ Abolghasemi V，Ferdowsi S，Sanei S.A gradient－based alternating minimization approach for optimization of the measurement matrix in compressive sensing［J］.Signal Processing，2012（92）：999－1009.

［9］ Needell D，Vershynin R.Uniform uncertainty principle and signal recovery via regularized orthogonal matching pursuit［J］.Foundations of Computational Mathematics，2007，9（3）：317－334.

［10］ 傅瑤，孫雪晨，薛旭成，等.基于非下采樣輪廓波變換的全彩色圖像與多光譜圖像融合方法研究［J］.液晶與顯示，2013，28（3）：429－433.Fu Y，Sun X C，Xue X C，et al.Panchromatic and multispectral image fusion method based on nonsubsampled contourlet transform ［J］.Chinese Journal of Liquid Crystals and Displays，2013，28（3）：429－433.（in Chinese）