體育賽事中的概率問題

數學之所以有生命力，就在于有趣。數學之所以有趣，就在于它對思維有所啟迪。讓我們一起來研究下面這道與概率論起源息息相關的問題。

數學概率問題生活題目：在某種球的比賽中規定：每一次的結果不能出現平的情況，每勝一次記1分，輸一次記0分，先得滿20分者為贏，贏者可獲得16萬元獎金。現有甲、乙兩名水平相當的運動員。當比賽進行到甲、乙兩人積分為17︰18時，比賽因某種原因停止。如果按甲、乙兩人獲勝的概率來分這筆獎金，那么甲、乙各應分得多少錢？

解法一：

當比賽進行到甲、乙積分為17︰18時，如果甲、乙繼續比賽，最多只要再賽4場便可決出勝負。用“甲”表示甲獲勝，用“乙”表示乙獲勝，那么最后4場的結果不外乎以下16種排列

乙甲甲甲乙乙乙乙乙乙甲甲

甲乙甲甲乙乙乙甲乙甲乙甲

甲甲乙甲乙乙甲乙乙甲甲乙

甲甲甲乙乙甲乙乙甲甲乙乙

甲甲甲甲甲乙乙乙甲乙甲乙

甲乙乙甲

（甲獲勝）（乙獲勝）

在這16種排列中，甲獲勝的情況有5種，乙獲勝的情況有11種。因此，獎金應該按5︰11分配即甲得5萬元、乙得11萬元。

解法二：

解法三：

甲、乙的積分為17︰18即甲、乙已經比賽了35場，其中甲勝了17場，乙勝了18場。又甲、乙水平相當即每場比賽中甲、乙獲勝的概率各是12。

欲按甲、乙兩人獲勝的概率來分配獎金，則需計算如果繼續比賽甲乙獲勝的概率各是多大。

下面分析乙獲勝的幾種可能性：

事件A：前35場乙18勝17負，最后兩場乙全勝。共賽了37場。相當于進行了37次獨立重復試驗。

按甲、乙兩人獲勝的概率來分這筆獎金甲應分得5萬元，乙應分得11萬元。

解法四：

甲、乙水平相當，則每場比賽中甲、乙獲勝的概率各是12。如果甲、乙積分相同，則應由兩人平分這筆獎金；如果甲（或乙）先達到20分，則獎金全部歸甲（或乙）所有。下面分析如果繼續比賽，甲、乙積分的幾種可能情況：

①如果甲、乙再賽1場，乙輸了，則兩人各勝18場，獎金應該對半分；②如果甲、乙再賽2場，乙全勝，則獎金全部歸乙；③如果甲、乙再賽3場，乙1勝2負，則兩人各勝19場，獎金應該對半分；④如果甲、乙再賽3場，前兩場乙1勝1負，第三場乙勝了，則獎金全部歸乙。所以乙應該拿的錢是 （萬元），當然，甲就應該拿5萬元。

在上述解法中應用了概率論中一個重要概念——數學期望。數學期望是一個加權平均數。對將來不確定的錢今天應該怎么算，就要用乙贏、輸的概率12乘以他可能得到的錢，再把它們加起來。

解答本題可以用到獨立重復試驗、互斥事件、對立事件、數學期望、楊輝三角形等眾多數學知識且與實際生活息息相關。概率問題的最大特點是極具現實意義，幾乎每一道概率題講述的就是發生在我們周邊的一段原汁原味的小故事，是一道實實在在的應用題，所以近幾年很多省的高考試卷中就用概率題代替了傳統的應用題。正如著名數學家拉普拉斯所說：“生活中最重要的問題，絕大多數在實質上只是概率問題。”在數學中，排列、組合、概率與統計無論從內容上還是思想方法上，都體現了實際應用的觀點。在展現分類討論思想、化歸思想的同時，培養學生分析問題、解決問題的能力。此類問題不論是思考方法還是解題方法，都具備概念性強、抽象性強、靈活性強、思維方法新穎的特點。高考中概率與統計的問題一般出在解答題中。從教材改革和今后發展趨勢來看，高考勢必會對其加大考試力度且會常考常新。