周期函數(shù)淺思

通過(guò)五個(gè)特例延伸性地探究了周期函數(shù)中會(huì)用到的五個(gè)結(jié)論，并給予精確完整的證明，是以周期函數(shù)為主要內(nèi)容的延伸探究，在高中教學(xué)中周期函數(shù)一直是一個(gè)難點(diǎn)，很多變化讓學(xué)生無(wú)所適從，函數(shù)的周期性、奇偶性是函數(shù)在其定義域內(nèi)的性質(zhì)，是函數(shù)的整體性質(zhì)。了解函數(shù)性質(zhì)間的聯(lián)系，準(zhǔn)確判斷，合理使用，可以大大提高分析、解決問(wèn)題的能力

周期函數(shù)周期性奇偶性對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)任何一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做f（x）的周期。

為了體現(xiàn)出學(xué)生舉一反三的思維靈活性以及特有的數(shù)學(xué)邏輯，函數(shù)的周期也會(huì)以其他形式給出。

設(shè)a為非零常數(shù)

特例1：若f（x+a）=-f（x），則函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，T=2a為它的一個(gè)周期。

證明：f（x）=-f（x+a）=f [（x+a）+a] = f（x+2a）

∴T=2a

評(píng)述：與定義相對(duì)比、f（x+a）=-f（x）中多一個(gè)負(fù)號(hào)所以T≠a，但以此式為依據(jù)展開數(shù)學(xué)邏輯推理，可得f（x）=-f（x+a），把“x+a”看作整體，再依據(jù)已知等式即可得-f（x+a）=f [（x+a）+a]，即f（x）=f（x+2a）

特例2：若f（x+a） =1f（x），則f（x）為周期函數(shù)，T=2a 為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期

證明：f（x）= 1f（x）= f [（x+a）+a] = f（x+2a）

特例3：若f（x+a）=f（x- a），則f（x）為周期函數(shù)，T=2a為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期

證明：f（x）=f [（x+a）- a] =f [（x+a）+a]=f（x+2a）

評(píng)述：f（x+a）=f（x- a）描述的是函數(shù)的周期性，而f（a+x）=f（a- x）描述的是函數(shù)f（x）關(guān)于x=a 對(duì)稱的對(duì)稱性，二者應(yīng)相互區(qū)別。

特例4：若函數(shù)f（x）同時(shí)關(guān)于x=a與x=b對(duì)稱（a